\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Amérique du Nord, 29 mai 2024}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\section*{Exercice 1 \hfill 20 points}
Voici cinq affirmations. Pour chacune d'entre elles, dire si elle est vraie ou fausse. On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.

\begin{enumerate}
	\item Voici les prix en euros d'un vêtement relevés dans différents magasins.

\[12~;~15~;~10~;~7~;~13\]

	\textbf{Affirmation A :} La moyenne des prix est 11,40~\euro{}.

	\textbf{Affirmation B :} La médiane des prix est 10~\euro{}.

	\item Lors d'un entraînement, une élève court 20~m en 6 secondes.

	\textbf{Affirmation C :} Lors de cet entraînement, sa vitesse moyenne était de 14~km/h.

	\item Une urne contient 15 boules indiscernables numérotées de 1 à 15.

	\textbf{Affirmation D :} La probabilité de tirer au hasard une boule sur laquelle apparaît un nombre premier est $\dfrac{7}{15}$.

	\item Le triangle A$'$B$'$C$'$ est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport $(-3)$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=10mm,y=10mm]
\draw (-3,1)   node[above left]{B} -- (-1.5,1.3) node[above right]{A} -- (-0.5,-0.5) node[below]{C} -- cycle;
\draw (9,-1)   node[right]{B$'$}   -- (4.5,-3.9) node[below left]{A$'$} -- (1.5,1.5) node[above right]{C$'$} -- cycle;
\draw (-2pt,-2pt)--(2pt,2pt) (-2pt,2pt)--(2pt,-2pt);
\node[above right] at (0,0) {O};
\node at (0,-3.8) {\emph{Le dessin n'est pas à l'échelle}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

	\textbf{Affirmation E :} L'aire du triangle A$'$B$'$C$'$ est égale à 3 fois l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 \hfill 20 points}
Voici un programme de calcul :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth]
	\draw[shift={(0,8)}]   (-2.5,-0.4) rectangle (2.5,0.4) (0,0) node {Nombre choisi au départ};
	\draw[shift={(-4.5,6)}](-2.5,-0.4) rectangle (2.5,0.4) (0,0) node {Ajouter 2};
	\draw[shift={(-4.5,4)}](-2.5,-0.4) rectangle (2.5,0.4) (0,0) node {Multiplier par 4};
	\draw[shift={(4.5,6)}] (-2.5,-0.4) rectangle (2.5,0.4) (0,0) node {Multiplier par 5};
	\draw[shift={(4.5,4)}] (-2.5,-0.4) rectangle (2.5,0.4) (0,0) node {Soustraire 3};
	\draw[shift={(0,2)}]   (-2.5,-0.4) rectangle (2.5,0.4) (0,0) node {Multiplier les deux nombres};
	\draw[shift={(0,0)}]   (-2.5,-0.4) rectangle (2.5,0.4) (0,0) node {Résultat obtenu à l'arrivée};
	\draw[->] (0,7.6)--(-4.5,6.5);
	\draw[->] (0,7.6)--(4.5,6.5);
	\draw[->] (-4.5,5.6)--(-4.5,4.5);
	\draw[->] (4.5,5.6)--(4.5,4.5);
	\draw[->] (-4.5,3.6)--(0,2.5);
	\draw[->] (4.5,3.6)--(0,2.5);
	\draw[->] (0,1.6)--(0,0.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ, le résultat à l'arrivée est 112.
	\item Quel est le résultat obtenu à l'arrivée quand on choisit $-3$ comme nombre de départ?
	\item On choisit $x$ comme nombre de départ.

	Parmi les expressions suivantes, lesquelles permettent d'exprimer le résultat à l'arrivée de ce programme de calcul. Aucune justification n'est demandée.

	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			Expression A & Expression B & Expression C & Expression D \\
			\hline
			$(x+2 \times 4)(x \times 5-3)$ & $(4x+2)(5x-3)$ & $(4x+8)(5x-3)$ & $(x+2) \times 4 \times(5x-3)$ \\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}

	\item Trouver les deux nombres de départ qui permettent d'obtenir 0 à l'arrivée. Expliquer la démarche.
	\item Développer et réduire l'expression B.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 20 points}
Un cinéma propose trois tarifs :

\textbf{Tarif \og Classique \fg{} :} La personne paye chaque entrée 11~\euro{}.

\textbf{Tarif \og Essentiel \fg{} :} La personne paye un abonnement annuel de 50~\euro{} puis chaque entrée coûte 5~\euro{}.

\textbf{Tarif \og Liberté \fg{} :} La personne paye un abonnement annuel de 240~\euro{} avec un nombre d'entrées illimité.

\begin{enumerate}
	\item Avec le tarif \og Classique \fg{}, une personne souhaite acheter trois entrées au cinéma.

	Combien va-t-elle payer ?

	\item Avec le tarif \og Essentiel \fg{}, une personne souhaite aller huit fois au cinéma.

	Montrer qu'elle va payer 90~\euro{}.

	\item Dans la suite, $x$ désigne le nombre d'entrées au cinéma.

	On considère les trois fonctions $f$, $g$ et $h$ suivantes :

	\hfill~$f: x \longmapsto 50+5x \qquad g: x \longmapsto 240 \qquad h: x \longmapsto 11x$\hfill~

	Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions au tarif correspondant.
\end{enumerate}

Le graphique ci-dessous représente le prix à payer en fonction du nombre d'entrées pour chacun de ces trois tarifs.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=2mm,y=0.2mm,>=stealth]
\draw [color=gray!75, line width=0.5pt, xstep=1, ystep=10] (0,0) grid (46,280);
\draw[->,line width=1.3pt] (0,0) -- (47,0) node[above right]{Nombre d'entrées};
\foreach \x in {5,10,...,45}
  \draw[shift={(\x,0)},line width=1.3pt] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below,fill=white] {\footnotesize $\np{\x}$};
\draw[->,line width=1.3pt] (0,0) -- (0,290) node[above right]{Prix à payer (en \euro{})};
\foreach \y in {50,100,...,250}
  \draw[shift={(0,\y)},line width=1.3pt] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left,fill=white] {\footnotesize $\np{\y}$};
\draw[color=black] (-2pt,-2pt) node[below left] {{\footnotesize 0}};
\draw[line width=1.2pt,color=red]  (0,0)--(25.4545,280) node[above]{$(\mathrm{d}_1)$};
\draw[line width=1.2pt,color=blue] (0,240)--(46,240)     node[right]{$(\mathrm{d}_3)$};
\draw[line width=1.2pt,color=teal] (0,50)--(46,280)      node[above right]{$(\mathrm{d}_2)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

La droite $(\mathrm{d}_{1})$ représente la fonction correspondant au tarif \og Classique \fg{}.

La droite $(\mathrm{d}_{2})$ représente la fonction correspondant au tarif \og Essentiel \fg{}.

La droite $(\mathrm{d}_{3})$ représente la fonction correspondant au tarif \og Liberté \fg{}.

\begin{enumerate}[resume*]
	\item Quel tarif propose un prix proportionnel au nombre d'entrées ?
	\item Pour les questions suivantes, aucune justification n'est attendue.
	\begin{enumerate}
		\item Avec 150~\euro{}, combien peut-on acheter d'entrées au maximum avec le tarif \og Essentiel \fg{}?
		\item À partir de combien d'entrées, le tarif \og Liberté \fg{} devient-il le tarif le plus intéressant?
		\item Si on décide de ne pas dépasser un budget de 200~\euro{}, quel est le tarif qui permet d'acheter le plus grand nombre d'entrées ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 \hfill 21 points}
M. et M\up{me} Martin veulent construire une terrasse en béton dans leur jardin. Ils souhaitent que leur terrasse ait une hauteur de 15~cm. Les représentations ci-dessous ne sont pas à l'échelle.

\begin{tikzpicture}[x={(6:8.5mm)},y={(115:8mm)},z={(90:5mm)},scale=0.8,>=stealth,baseline={(T)}]
\draw[fill opacity=0.1,fill=gray] (0,0,0)--(10,0,0)--(10,0,1)--(6,3,1)--(0,3,1)--(0,3,0)--cycle;
\node at(3,1.5,0.5) {Terrasse en béton};
\draw (0,0,0) node[below]{A}--(6,0,0)node[below]{D}--(10,0,0)node[below]{I}--(10,0,1)node[above]{J}--
(6,3,1)node[above]{G}--(0,3,1)node[above]{H}--(0,3,0) node[left]{D}--cycle (0,0,0)--(0,0,1)
(0,3,1)--(0,0,1)node[above right]{E}--(10,0,1)
(6,0,0)--(6,0,1)node[above right]{F}--(6,3,1);
\draw[dashed] (0,3,0)--(6,3,0)node[below left]{C}--(10,0,0) (6,3,1)--(6,3,0)--(6,0,0);
\draw[<->,shift={(0.3,0,0)}] (10,0,0)--(10,0,1) node[pos=0.5,right]{15~cm};
\node at (8,-1,0) {IJ = 15~cm};
\draw[line width=1.5pt] (-2cm,5cm) rectangle (10cm,-1cm);
\node (T) at (-2cm,5cm) [below right] {\textbf{Vue en perspective de la terrasse}};
\end{tikzpicture}
\hfill
\begin{tikzpicture}[baseline={(T)}]
\draw[line width=1.5pt] (0cm,2.5cm) rectangle (4.5cm,0cm);
\node (T) at (0cm,2.5cm) [below right] {\textbf{Rappel :}};
\node[text width=4.5cm,below right] at (0cm,1.8) {Le volume d'un prisme est donné par la formule :\linebreak $V= \mathrm{Aire}_\mathrm{base} \times \mathrm{Hauteur}$};
\end{tikzpicture}

\medskip

\begin{tikzpicture}[>=stealth]
\draw[line width=1.5pt] (-1cm,4.5cm) rectangle (12cm,-1.5cm);
\node (T) at (-1cm,4.5cm) [below right] {\textbf{Vue de dessus de la terrasse}};
\draw (0,0)node[below left]{E}--(10,0)node[below right]{J}--(6,3)node[above]{G}--(0,3)node[above left]{H}node[pos=0.5,above]{6 m}--cycle node[pos=0.5,left]{3~m};
\draw[dashed] (6,3)--(6,0)node[below]{F};
\draw[red,line width=1pt] (6,0.35)--(6.35,.35)--(6.35,0);
\draw[<->] (0,-0.65)--(10,-0.65) node[pos=0.5,below]{10~m};
\node at (9.5,2.5) {EFGH est un rectangle};
\end{tikzpicture}

\begin{enumerate}
	\item Montrer que FJ $= 4$~m.
	\item Afin de pouvoir couler le béton, M. et M\up{me} Martin doivent délimiter la terrasse en installant des planches tout autour. Quelle longueur de planches doivent-ils acheter au minimum ?
	\item M. et M\up{me} Martin souhaitent réaliser 4~m$^3$ de béton.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume de la terrasse est bien inférieur à 4~m$^3$.
		\item Sachant que pour faire 1~m$^3$ de béton, il faut 250~kg de ciment, quelle masse de ciment (en kg) doivent-ils acheter pour réaliser 4~m$^3$ de béton ?
		\item Pour faire du béton, on ajoute de l'eau à un mélange de ciment, de gravier et de sable. Dans ce mélange, les masses de ciment — gravier — sable sont dans le ratio $2:7:5$. Déterminer (en kg), la masse de gravier et la masse de sable nécessaires pour réaliser les 4~m$^3$ de béton.
	\end{enumerate}
	\item M. et M\up{me} Martin souhaitent peindre la surface supérieure de leur terrasse.

	À l'aide des documents 1, 2 et 3, déterminer le type et le nombre de pots nécessaires pour effectuer ces travaux avec un coût minimum.

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Document 1 :} Pots de peinture proposés
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{} & Pot A & Pot B \\
\hline
Contenance (en litres) & 5 & 10 \\
\hline
Prix (en euros) & 79,90 & 129,90 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}}

\bigskip

\fbox{\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Document 2 :} L'offre du mois
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node at(0,30pt) {Moins 50\,\%};
\node at(0,15pt) {sur le deuxième article};
\node at(0,0) {identique};
\draw (0,15pt) circle (2.8cm and 1cm);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}}

\bigskip

\fbox{\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Document 3 :}
\medskip

Deux couches de peinture sont nécessaires.

1 litre de peinture permet de réaliser une couche de 5~m$^2$.
\end{minipage}}
\end{center}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 5 \hfill 19 points}
\begin{minipage}[t]{9cm}
Dans cet exercice on considère la figure codée ci-contre.
\begin{itemize}
	\item Les points A, C et E sont alignés.
	\item Les points B, C et D sont alignés.
	\item $\mathrm{AB}=240$~mm.
	\item $\mathrm{CE} =80$~mm.
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[baseline={(D.base)}]
\draw (0,0)node[below left]{A}--(3.8,0)node[below right]{B} node[pos=0.5,below]{240 mm}--++(120:5)node[above left](D){D} node[pos=0.88,sloped]{{\scriptsize ||}}--++(1.2,0)node[above right]{E}node[pos=0.5,sloped]{{\scriptsize ||}}--cycle node[pos=0.12,sloped]{{\scriptsize ||}}node[pos=0.12, right=3mm]{80~mm} node[pos=0.24, right]{C};
\draw[fill=gray,fill opacity=0.1] (0,0)--(0.4,0)arc(0:60:0.4)--(0,0);
\draw (30:0.3)--(30:.5) (30:0.8) node {60°};
\draw[shift={(3.8,0)},fill=gray,fill opacity=0.1] (0,0)--(-0.4,0)arc(180:120:0.4)--(0,0);
\draw[shift={(3.8,0)}] (150:0.3)--(150:.5);
\node at (1.9,-1) {\emph{le dessin n'est pas à l'échelle}};
\end{tikzpicture}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
	\item Montrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

On donne le programme suivant qui permet de tracer la figure précédente.

Ce programme comporte une variable nommée \og côté \fg{}.

Les longueurs sont données en pas : \textbf{1 pas représente 1 mm.}

On rappelle que l'instruction \begin{scratch} \blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}\end{scratch} signifie que le lutin se dirige horizontalement vers la droite.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
Programme & Le bloc \textbf{triangle} \\
\begin{scratch}[num blocks]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x : \ovalnum{-180} y : \ovalnum{-150}}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{côté} à \ovalnum{...}}
\blockmoreblocks{triangle}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{240}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{côté} à \ovaloperator{\ovalvariable{côté}/\ovalnum{3}}}
\blockmoreblocks{triangle}
\end{scratch}&
\begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{triangle}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}{
\blockmove{avancer de \ovalvariable{côté} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degré}}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}\\\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
	\item Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ? Aucune justification n'est demandée.
	\item Quelle valeur doit être saisie à la ligne 4 dans le programme ? Aucune justification n'est demandée.
	\item Le lutin démarre à la case D8. Dans quelle case se trouve-t-il lorsqu'il vient d'exécuter la ligne 7 du programme ? Aucune justification n'est demandée.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth,x=9mm,y=9mm]
\draw[dotted,xstep=1,ystep=1] (0,1) grid (11,-8);
\foreach \y in {1,...,8}{
  \node[shift={(0.5,0.5)}] at(0,-\y){\y};}
\foreach \x/\l in {1/A,2/B,3/C,4/D,5/E,6/F,7/G,8/H,9/I,10/J}{
  \node[shift={(0.5,0.5)}] at(\x,0){\l};}
\draw[] (4.5,-7.5)--(10.5,-7.5)--(6.5,-.5)--(8.5,-.5)--cycle;
\draw[<-] (4.4,-7.5)--(3.5,-7.5)node[left]{Départ du lutin};
\end{tikzpicture}
\end{center}

	\item Expliquer l'instruction \og côté $/ 3$ \fg{} de la ligne 8 du programme pour le tracé de la figure.
\end{enumerate}

\end{document}
