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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}
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\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Amérique du Sud, 2 décembre 2024}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
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    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Amérique du Sud, 2 décembre 2024}

\vspace{0.3cm}
\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}

\medskip

\textbf{{\large Exercice 1} \hfill 20 points}

\bigskip

Cet exercice est un Q.C.M. (questionnaire à choix multiple).

Pour chacune des cinq questions, trois réponses sont proposées et une seule convient.

Écrire sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

\textbf{Aucune justification n'est attendue.}

Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne retire pas de point.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{~} & A & B & C\\ \hline
1 & Une urne contient trois jetons verts et deux jetons blancs. On tire un jeton au hasard.

Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton blanc ?
  & $\dfrac{2}{3}$ & $\dfrac{3}{5}$ & $\dfrac{2}{5}$\\ \hline
2 &
\begin{tikzpicture}[x=0.6cm,y=0.6cm,line cap=round,line join=round,baseline=0pt]
    % front face rectangle
    \draw (0,0) rectangle (3,1);
    \draw (1,0) -- (1,1); \draw (2,0) -- (2,1);
    % right side face
    \draw (3,0) -- (3.4,0.35) -- (3.4,1.35) -- (3,1);
    \draw (3.4,1.35) -- (3.8,1.7);
    % view arrow
    \draw[->] (5.5,1) -- (4,1);
    % top edges
    \draw (1,1) -- (1.4,1.35) -- (3.4,1.35);
    % right stepped part
    \draw (2,1) -- (2.8,1.7) -- (3.8,1.7) -- (3.8,0.7) -- (3.4,0.35);
    \draw (3.8,0.7) -- (3.8,-0.3) -- (3.4,-0.65) -- (3.4,0.35);
    \draw (3.4,-0.65) -- (2.4,-0.65) -- (2.4,0);
    % upper tower
    \draw (1.4,1.35) -- (1.4,3.35) -- (0.4,3.35) -- (0,3) -- (1,3) -- (1,1);
    \draw (1,3) -- (1.4,3.35);
    \draw (0,2) -- (1,2) -- (1.4,2.35);
    \draw (0,3) -- (0,1);
\end{tikzpicture}

Quelle est la vue de droite de ce solide ?
&
\begin{tikzpicture}[x=0.6cm,y=0.6cm,line cap=round,baseline=0pt]
    \path (0,-0.5) rectangle (3.5,5.5);
    \draw (0,1) rectangle (1,5);
    \draw (0,2) -- (1,2); \draw (0,3) -- (1,3); \draw (0,4) -- (1,4);
    \draw (1,1) -- (3,1) -- (3,2) -- (1,2);
    \draw (2,0) rectangle (3,2);
    \draw (2,1) -- (2,2);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[x=0.6cm,y=0.6cm,line cap=round,baseline=0pt]
    \path (0,-0.5) rectangle (2.5,5);
    \draw (0,1) rectangle (1,4);
    \draw (0,1) rectangle (2,2);
    \draw (0,3) -- (1,3);
    \draw (1,0) rectangle (2,2);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[x=0.6cm,y=0.6cm,line cap=round,baseline=0pt]
    \path (0,-0.5) rectangle (2.5,5);
    \draw (0,1) rectangle (2,2);
    \draw (1,0) rectangle (2,4);
    \draw (1,3) -- (2,3);
\end{tikzpicture}\\ \hline
3 &
\begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=0.9cm,line cap=round,baseline=0pt]
    \draw (0.2,2.3) -- (0.5,0.2) -- (3.6,0.2) -- cycle;
    \draw (1,0.2) -- (0.44,0.53);
    \node[left,font=\footnotesize]  at (0.2,2.3)  {A};
    \node[below left,font=\footnotesize] at (0.5,0.2) {B};
    \node[below right,font=\footnotesize] at (3.6,0.2) {C};
    \node[above,font=\footnotesize] at (1,0.2)    {D};
    \node[left,font=\footnotesize]  at (0.44,0.53){H};
\end{tikzpicture}

B, H et A sont alignés.

B, D et C sont alignés.

BD~=~2~cm ; BC~=~10~cm ;

AC~=~16~cm ; (DH)~//~(AC).

Quelle est la longueur du segment [DH] ?
& 3,2~cm & 4~cm & 4,8~cm\\ \hline
4 &
\parbox{4cm}{\centering Voici un engrenage :\rule{0pt}{10pt}\\ 12~dents \hspace{6mm} 9~dents}

\begin{tikzpicture}[x=0.3cm,y=0.3cm,line cap=round]
    % large gear (12 teeth) at (0,0)
    \foreach \a in {0,30,...,330} {
        \draw ({2.4*cos(\a)},{2.4*sin(\a)}) arc[start angle=\a,end angle={\a+12},radius=2.4]
              -- ({2.9*cos(\a+12)},{2.9*sin(\a+12)})
              arc[start angle={\a+12},end angle={\a+18},radius=2.9]
              -- ({2.4*cos(\a+18)},{2.4*sin(\a+18)})
              arc[start angle={\a+18},end angle={\a+30},radius=2.4];
    }
    % small gear (9 teeth) at (5.75,0)
    \foreach \a in {0,40,...,320} {
        \draw ({5.75+1.5*cos(\a)},{1.5*sin(\a)}) arc[start angle=\a,end angle={\a+16},radius=1.5]
              -- ({5.75+2.0*cos(\a+16)},{2.0*sin(\a+16)})
              arc[start angle={\a+16},end angle={\a+24},radius=2.0]
              -- ({5.75+1.5*cos(\a+24)},{1.5*sin(\a+24)})
              arc[start angle={\a+24},end angle={\a+40},radius=1.5];
    }
\end{tikzpicture}

Si la petite roue effectue exactement 4 tours complets, combien de tours complets effectue la grande roue ?
& 3 tours complets & 4 tours complets & 6 tours complets\\ \hline
5 &
\begin{tikzpicture}[x=0.7cm,y=0.7cm,line cap=round,baseline=0pt]
    % grid
    \foreach \n in {0,1,2,3} { \draw[line width=0.2pt] (\n,0) -- (\n,3); }
    \foreach \n in {0,1,2,3} { \draw[line width=0.2pt] (0,\n) -- (3.2,\n); }
    % large square AGFE (0,0)-(2,2)
    \draw (0,0) rectangle (2,2);
    % small square ADCB (2,2)-(3,3)
    \draw (2,2) rectangle (3,3);
    % diagonals
    \draw (0,2) -- (2,0); % GE diagonal of AGFE
    \draw (2,3) -- (3,2); % BD diagonal of ADCB
    \node[below left,font=\footnotesize]  at (0,0)  {F};
    \node[below,font=\footnotesize]       at (2,0)  {E};
    \node[left,font=\footnotesize]        at (0,2)  {G};
    \node[above left,font=\footnotesize]  at (2,2)  {A};
    \node[right,font=\footnotesize]       at (3,2)  {D};
    \node[above right,font=\footnotesize] at (3,3)  {C};
    \node[above left,font=\footnotesize]  at (2,3)  {B};
\end{tikzpicture}

Le carré AGFE est l'image du carré ADCB par une homothétie de centre A.

Le triangle EGF est l'image d'un triangle par cette même homothétie.

Quel est ce triangle ?
& GEA & ABD & BDC\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{{\large Exercice 2} \hfill 24 points}

\bigskip

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies par :
\[f(x) = x^2 - x - 6 \qquad \qquad g(x) = -2x.\]

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que l'image de 5 par la fonction $f$ est 14.
        \item Déterminer l'antécédent de 4 par la fonction $g$.
    \end{enumerate}

Pour calculer des images de nombres par les fonctions $f$ et $g$, on utilise un tableur et on obtient la copie d'écran suivante :

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.3}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|c|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{lightgray}   & A & B & C & D & E & F & G & H\\ \hline
1 & $x$             & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2\\ \hline
2 & $f(x)=x^2-x-6$  & 14   & 6    & 0    & $-4$ & $-6$ & $-6$ & $-4$\\ \hline
3 & $g(x)=-2x$      & 8    & 6    & 4    & 2    & 0 & $-2$ & $-4$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

    \begin{enumerate}[resume]
        \item À l'aide des informations précédentes, citer deux antécédents de 14 par la fonction $f$.
        \item Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B2 avant de l'étirer vers la droite jusqu'à la cellule H2 ?
        \item Existe-t-il un nombre qui a la même image par la fonction $f$ et par la fonction $g$ ?
    \end{enumerate}

\item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que, pour tout nombre $x$, $f(x)$ est égal à $(x + 2)(x - 3)$.
        \item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large Exercice 3} \hfill 22 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le tableau ci-dessous présente, pour quatre félins étudiés, les probabilités d'attraper leur proie quand ils la poursuivent.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
Félin étudié & Probabilité d'attraper la proie qu'il poursuit\\ \hline
Le lion & 25\,\%\\ \hline
Le guépard & $\dfrac{1}{2}$\rule[-10pt]{0pt}{28pt}\\ \hline
Le tigre & $0{,}1$\\ \hline
Le chat à pieds noirs & $\dfrac{6}{10}$\rule[-10pt]{0pt}{28pt}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Vérifier que, parmi les quatre félins étudiés, le chat à pieds noirs a la probabilité la plus élevée d'attraper sa proie quand il la poursuit.

\item Le plus souvent, le guépard est le félin le plus rapide avec une vitesse pouvant atteindre 115~km/h.

À cette vitesse, en combien de secondes le guépard parcourt-il 100~mètres ?

On donnera une valeur approchée au centième de seconde près.

Dans un pays d'Afrique, on estimait à :
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item \np{1200} guépards en 1999.
\item 170 guépards en 2016.
\end{itemize}

Dans ce pays, est-il vrai que le nombre de guépards a baissé d'environ 86\,\% entre 1999 et 2016 ?

\item Dans le parc national d'Etosha en Namibie, on peut observer des lions et des guépards.

À l'aide de la carte ci-dessous, donner approximativement la latitude et la longitude du parc national d'Etosha.

\begin{center}
\fbox{\parbox{12cm}{\centering\vspace{2cm}
\textit{[Carte géographique — voir le sujet officiel APMEP]}
\vspace{2cm}}}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large Exercice 4} \hfill 20 points}

\medskip

On dispose d'un terrain en pente sur lequel on souhaite construire une maison. Il faut pour cela enlever de la terre afin d'obtenir un terrain horizontal.

On dispose des informations suivantes :

\medskip

\begin{minipage}{0.28\linewidth}
La maison sera construite sur le terrain horizontal représenté par le segment [BC].

Le triangle ABC est rectangle en C et :

AC~= 2,6~m

AB~= 17~m
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.67\linewidth}
\begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm,line cap=round,line join=round]
    % dotted ground area
    \fill[pattern=dots,pattern color=lightgray]
        (0,0) -- (12,0) -- (12,1) -- (3.2,1) -- (3.2,2.4) -- (0,2.4) -- cycle;
    % hatched earth-to-remove triangle
    \fill[pattern=north east lines,pattern color=gray]
        (8.3,1) -- (3.2,2.4) -- (3.2,1) -- cycle;
    % right angle at C
    \draw (3.2,1) rectangle (3.4,1.2);
    % visible edges
    \draw (12,1) -- (3.2,1) -- (3.2,2.4) -- (0,2.4);
    % dashed AB
    \draw[dashed] (8.3,1) -- (3.2,2.4);
    % house icons
    \fill[lightgray] (0.5,2.4) -- (0.5,3.2) -- (1.4,4.6) -- (2.3,3.2) -- (2.3,2.4) -- cycle;
    \fill[lightgray] (9.7,1) -- (9.7,1.8) -- (10.6,3.2) -- (11.7,1.8) -- (11.7,1) -- cycle;
    % labels
    \node[below,font=\small]      at (8.3,1)   {B};
    \node[above,font=\small]      at (3.2,2.4) {A};
    \node[below left,font=\small] at (3.2,1)   {C};
    % annotation
    \node[font=\small] at (6,2.8) {Terre à enlever};
    \draw[->] (6,2.4) -- (5,1.6);
    \node[font=\small,align=center] at (6,5.3) {\textbf{Vue en coupe du terrain}};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la longueur CB est égale à 16,8~m.
\item Le coût des travaux pour enlever la terre dépend de la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.

Si la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ est supérieure à $8{,}5\degres$, cela entraînera un surcoût des travaux.

Est-ce le cas pour ce terrain ?
\item On admet que le volume de terre enlevée correspond au volume du prisme droit CBAFED de hauteur [CF] et de bases triangulaires ACB et DFE, comme représenté ci-dessous. On rappelle que les longueurs CF et AD sont égales.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round,line join=round]
    % front triangle CBA
    \draw (0.2,0.5) -- (2.5,0.2) -- (0.2,1.7) -- cycle;
    % back triangle DFE (visible parts)
    \draw (2.5,0.2) -- (4.7,1.2) -- (2.4,2.7) -- (0.2,1.7);
    % dashed edges
    \draw[dashed] (0.2,0.5) -- (2.4,1.5) -- (4.7,1.2);
    \draw[dashed] (2.4,1.5) -- (2.4,2.7);
    % right angle marks
    \draw (0.2,0.5) rectangle (0.4,0.7);
    \draw (2.4,1.5) rectangle (2.6,1.7);
    % labels
    \node[above left,font=\small]  at (0.2,1.7)  {A};
    \node[below right,font=\small] at (2.5,0.2)  {B};
    \node[below left,font=\small]  at (0.2,0.5)  {C};
    \node[above,font=\small]       at (2.4,2.7)  {D};
    \node[right,font=\small]       at (4.7,1.2)  {E};
    \node[left,font=\small]        at (2.4,1.7)  {F};
    \node[rotate=90,font=\small]   at (-0.1,1.1) {2,6~m};
    \node[rotate=-30,font=\small]  at (3.6,2.3)  {17~m};
    \node[rotate=24,font=\small]   at (1.2,2.5)  {30~m};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Déterminer le volume de terre à enlever en m$^3$.

On rappelle la formule :

Volume d'un prisme droit~= aire d'une base du prisme $\times$ hauteur du prisme.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large Exercice 5} \hfill 14 points}

\bigskip

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue pour les réponses apportées aux questions 1. et 2.

À l'aide d'un logiciel de programmation, on définit un bloc \og Losange \fg{} pour construire un losange.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Bloc \og Losange \fg}\rule{0pt}{15pt} & \textbf{Losange obtenu}\\
& \\
\parbox{6cm}{%
\begin{scratch}[scale=1]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Losange}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalnum{20}}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{$a$}}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{$b$} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}
}
&
\parbox{5cm}{%
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,>=stealth,line cap=round]
    \path (0,-0.5) rectangle (4.2,1.5);
    \draw (3.3,0.7) -- (4.1,0.7) -- (4.45,0) -- (3.65,0) -- cycle;
    \draw[->] (2.6,0.7) -- (3.3,0.7);
    \node[right,font=\small] at (0,1.1) {Point et};
    \node[right,font=\small] at (0,0.7) {orientation de};
    \node[right,font=\small] at (0,0.3) {départ};
\end{tikzpicture}
}
\\ & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le bloc \og Losange \fg, par quelles valeurs faut-il remplacer $a$ et $b$ pour obtenir le losange ci-dessus ?
\item On définit ensuite un nouveau bloc nommé \og Motif A \fg{} :

\begin{center}
\begin{scratch}[scale=1]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif A}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}
{
\blockmoreblocks{Losange}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}
}
\end{scratch}
\end{center}

Parmi les figures suivantes, quelle est celle qui est obtenue en exécutant le bloc \og Motif A \fg{} ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Figure 1} & \textbf{Figure 2} & \textbf{Figure 3}\\ \hline
% Figure 1: 3 rhombuses at 0, -45, -90
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round]
    \path (-2,-2) rectangle (2,2);
    \foreach \rot in {0,-45,-90} {
        \begin{scope}[rotate=\rot]
            \draw (0,0) -- (1,0) -- (1.5,-0.866) -- (0.5,-0.866) -- cycle;
        \end{scope}
    }
\end{tikzpicture}
&
% Figure 2: 6 rhombuses (upward petal) at 0,60,...,300
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round]
    \path (-2,-2) rectangle (2,2);
    \foreach \rot in {0,60,...,300} {
        \begin{scope}[rotate=\rot]
            \draw (0,0) -- (1,0) -- (1.5,0.866) -- (0.5,0.866) -- cycle;
        \end{scope}
    }
\end{tikzpicture}
&
% Figure 3: 3 rhombuses at 0, -60, -120
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round]
    \path (-2,-2) rectangle (2,2);
    \foreach \rot in {0,-60,-120} {
        \begin{scope}[rotate=\rot]
            \draw (0,0) -- (1,0) -- (1.5,-0.866) -- (0.5,-0.866) -- cycle;
        \end{scope}
    }
\end{tikzpicture}
\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On a défini un nouveau bloc nommé \og Motif B \fg. En l'exécutant, on a obtenu la figure ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round]
    \path (0,-1.2) rectangle (6,0.3);
    \foreach \dx in {0,2,4} {
        \begin{scope}[xshift=\dx cm]
            \draw (0,0) -- (1,0) -- (1.5,-0.866) -- (0.5,-0.866) -- cycle;
        \end{scope}
    }
\end{tikzpicture}
\end{center}

Écrire un script du bloc \og Motif B \fg.
\end{enumerate}
\end{document}
