\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Amérique du Sud, novembre 2013}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-ameri-sud-nov-2013}
\newcommand{\codefiche}{DNBAMSN13}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}


% ════════════════════════════════════════════════════════════════════
%  Figures — Brevet Amérique du Sud, novembre 2013
% ════════════════════════════════════════════════════════════════════

% ── Exercice 2 : les deux champs ──────────────────────────────────
% Quadrilatère ABCD partagé par la diagonale [AC] en deux triangles :
% ABC (le champ de Jean-Michel) et ADC (celui du voisin).
\newcommand{\figchamps}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.80,line join=round]
  \coordinate (A) at (0,1.75);
  \coordinate (B) at (2.05,2.5);
  \coordinate (C) at (2.5,0);
  \coordinate (D) at (0.2,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick] (A) -- (C);
  \node[left=2pt]  at (A) {\footnotesize A};
  \node[above]     at (B) {\footnotesize B};
  \node[right=2pt] at (C) {\footnotesize C};
  \node[below]     at (D) {\footnotesize D};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 5 : les dix étiquettes ───────────────────────────────
\newcommand{\etiq}[1]{%
  \fbox{\begin{minipage}{0.40\linewidth}\centering\footnotesize #1\end{minipage}}}
\newcommand{\etiqcourt}[1]{%
  \fbox{\begin{minipage}{0.34\linewidth}\centering\footnotesize #1\end{minipage}}}

% ── Exercice 6 : le rectangle ABCD ────────────────────────────────
\newcommand{\figrectangle}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.80,line join=round]
  \draw[thick] (0,0) rectangle (3.4,1.9);
  \node[above left=-2pt]  at (0,1.9)   {\footnotesize A};
  \node[above right=-2pt] at (3.4,1.9) {\footnotesize B};
  \node[below right=-2pt] at (3.4,0)   {\footnotesize C};
  \node[below left=-2pt]  at (0,0)     {\footnotesize D};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 6, question 3 : l'aire en fonction de x ──────────────
% Aire = x(15,5 - x) : parabole de sommet (7,75 ; 60,0625).
\newcommand{\graphaire}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
  \def\ux{0.72} \def\uy{0.062}
  \draw[->,thick] (-0.35,0) -- (16.6*\ux,0);
  \draw[->,thick] (0,-3*\uy) -- (0,68*\uy);
  \foreach \x in {0,1,...,15}{
    \draw[thick] (\x*\ux,-1.2*\uy) -- (\x*\ux,1.2*\uy);
    \node[below=2pt,scale=0.9] at (\x*\ux,-1.4*\uy) {\footnotesize \x};}
  \foreach \y in {0,10,...,60}{
    \draw[thick] (-0.06,\y*\uy) -- (0.06,\y*\uy);
    \node[left=2pt,scale=0.9] at (-0.08,\y*\uy) {\footnotesize \y};}
  \draw[blue,very thick,samples=160,domain=0:15.5]
    plot ({\x*\ux},{(\x*(15.5-\x))*\uy});
  \node[anchor=north] at (11.5*\ux,-0.42) {\footnotesize Valeur de $x$};
  \node[rotate=90,anchor=south] at (-0.72,32*\uy) {\footnotesize Aire de ABCD};
\end{tikzpicture}}


\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}{\large\bfseries Durée : 2 heures}\end{center}

\begin{center}L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.\end{center}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{1}{6}

Voici trois documents :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\begin{minipage}[t]{0.46\linewidth}\raggedright\vspace{1mm}
\textbf{Document 1}\\[2pt]
Le salaire moyen brut\up{1} des Français s'établissait en 2010 à \np{2764} \euro{} par mois.
\vspace{2mm}
{\scriptsize\itshape Étude publiée par l'INSEE en juin 2012}\\
{\scriptsize (1) \itshape Le salaire moyen brut est le salaire non soumis aux charges}
\vspace{1mm}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{0.46\linewidth}\raggedright\vspace{1mm}
\textbf{Document 2}\\[2pt]
La population française est estimée en 2010 à 65 millions d'habitants.
\vspace{1mm}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}

\smallskip
\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}[t]{0.94\linewidth}\raggedright\vspace{1mm}
\textbf{Document 3}\\[2pt]
«~Encore un peu moins d'argent dans le porte-monnaie des Français en 2010. Le salaire médian
brut est celui qui partage la population en deux parties égales, la moitié qui gagne plus,
l'autre moitié qui gagne moins ; il est égal à \np{1610} \euro{} par mois.\\
Le niveau de vie des français a baissé par rapport à 2009.\\
D'ailleurs, le taux de pauvreté enregistré en cette année 2010 est le plus haut jamais observé
depuis 1997. Il concerne 8,6 millions de Français qui vivent donc en dessous du seuil de
pauvreté évalué à 964 \euro{} par mois.~»\\
{\scriptsize\itshape Extrait d'un reportage diffusé sur BFM TV en septembre 2012}
\vspace{1mm}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item En France, le salaire que touche effectivement un employé est égal au salaire brut,
  diminué de 22 \% et est appelé le salaire net.\\
  Montrer que le salaire net moyen que percevait un français en 2010 était de
  \np{2155}{,}92 \euro.

  \item Expliquer à quoi correspond le salaire médian brut.

  \item Comparer le salaire médian brut et le salaire moyen brut des Français.\\
  Comment peut-on expliquer cette différence ?

  \item Calculer le pourcentage de français qui vivaient en 2010 sous le seuil de pauvreté. On
  arrondira le résultat à l'unité.
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{2}{4}

Jean-Michel est propriétaire d'un champ, représenté par le triangle ABC ci-dessous.\\
Il achète à son voisin le champ adjacent, représenté par le triangle ADC. On obtient ainsi un
nouveau champ formé par le quadrilatère ABCD.

\medskip
\begin{minipage}[c]{0.62\linewidth}
Jean Michel sait que le périmètre de son champ ABC est de 154 mètres et que BC $=56$ m.\\
Son voisin l'informe que le périmètre du champ ADC est de 144 mètres et que AC $=65$ m.\\
De plus, il sait que AD $=16$ m.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.34\linewidth}
\centering
\figchamps
\end{minipage}

\begin{enumerate}
  \item \begin{minipage}[t]{0.93\linewidth}
  \begin{enumerate}[topsep=0pt]
    \item Justifier que les longueurs AB et DC sont respectivement égales à 33 m et 63 m.
    \item Calculer le périmètre du champ ABCD.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}

  \item Démontrer que le triangle ADC est rectangle en D.\\
  On admet que le triangle ABC est rectangle en B.

  \item Calculer l'aire du champ ABCD.

  \item Jean-Michel veut clôturer son champ avec du grillage. Il se rend chez son commerçant
  habituel et tombe sur l'annonce suivante :

  \begin{center}
  \fbox{\begin{minipage}{0.40\linewidth}\centering Grillage : 0,85 \euro{} par mètre\end{minipage}}
  \end{center}

  Combien va-t-il payer pour clôturer son champ ?
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{3}{7}

Un pâtissier a préparé 840 financiers\up{*} et \np{1176} macarons\up{*}. Il souhaite faire des
lots, tous identiques, en mélangeant financiers et macarons. Il veut utiliser tous les
financiers et tous les macarons.

\begin{enumerate}
  \item \begin{minipage}[t]{0.93\linewidth}
  \begin{enumerate}[topsep=0pt]
    \item Sans faire de calcul, expliquer pourquoi les nombres 840 et \np{1176} ne sont pas
    premiers entre eux.
    \item Le pâtissier peut-il faire 21 lots ? Si oui, calculer le nombre de financiers et le
    nombre de macarons dans chaque lot.
    \item Quel est le nombre maximum de lots qu'il peut faire ? Quelle sera alors la composition
    de chacun des lots ?
  \end{enumerate}
  \end{minipage}

  \item Cette année, chaque lot de 5 financiers et 7 macarons est vendu 22,40 \euro.\\
  L'année dernière, les lots, composés de 8 financiers et de 14 macarons étaient vendus
  42 \euro.\\
  Sachant qu'aucun prix n'a changé entre les deux années, calculer le prix d'un financier et
  d'un macaron.
\end{enumerate}

\smallskip
{\footnotesize * Les financiers et les macarons sont des pâtisseries.}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{4}{3}

\textbf{Dans cet exercice, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la
recherche, elle sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
Le fleuve Amazone est celui qui possède le débit moyen le plus important au monde. Il est
d'environ \np{190000} m$^{3}$/s.\\
En France, un foyer de 3 personnes consomme en moyenne \np{10000} L d'eau par mois.\\
Donner un ordre de grandeur du nombre de ces foyers que pourrait alimenter ce fleuve en un an.\\
Rappel : 1 L $=1$ dm$^{3}$ et 1 m$^{3}=\np{1000}$ L

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{5}{7}

Un jeu\up{1} est constitué des dix étiquettes suivantes toutes identiques au toucher qui sont
mélangées dans un sac totalement opaque.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\etiq{Deux angles droits seulement}   & \etiq{Quatre angles droits}\\[3pt]
\etiq{Côtés égaux deux à deux}        & \etiq{Deux côtés égaux seulement}\\[3pt]
\etiq{Quatre côtés égaux}             & \etiq{Côtés opposés parallèles}\\[3pt]
\etiq{Deux côtés parallèles seulement}& \etiq{Diagonales égales}\\[3pt]
\etiq{Diagonales qui se coupent en leur milieu} & \etiq{Diagonales perpendiculaires}\\
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item On choisit au hasard une étiquette parmi les dix.
  \begin{enumerate}
    \item Quelle est la probabilité de tirer l'étiquette «~Diagonales égales~» ?
    \item Quelle est la probabilité de tirer une étiquette sur laquelle est inscrit le mot
    «~diagonales~» ?
    \item Quelle est la probabilité de tirer une étiquette qui porte à la fois le mot
    «~côtés~» et le mot «~diagonales~» ?
  \end{enumerate}

  \item On choisit cette fois au hasard deux étiquettes parmi les dix et on doit essayer de
  dessiner un quadrilatère qui a ces deux propriétés.
  \begin{enumerate}
    \item Madjid tire les deux étiquettes suivantes :

    \begin{center}
    \etiqcourt{Diagonales perpendiculaires}\quad\etiqcourt{Diagonales égales}
    \end{center}

    Julie affirme que la figure obtenue est toujours un carré. Madjid a des doutes. Qui a
    raison ? Justifier la réponse.

    \item Julie tire les deux étiquettes suivantes :

    \begin{center}
    \etiqcourt{Côtés opposés parallèles}\quad\etiqcourt{Quatre côtés égaux}
    \end{center}

    Quel type de figure Julie est-elle sûre d'obtenir ?
  \end{enumerate}

  \item Lionel tire les deux étiquettes suivantes :

  \begin{center}
  \etiqcourt{Deux côtés égaux seulement}\quad\etiqcourt{Quatre angles droits}
  \end{center}

  Lionel est déçu. Expliquer pourquoi.
\end{enumerate}

\smallskip
{\footnotesize 1 D'après «~Géométrie à l'Ecole~» de François Boule. Savoir dire et savoir-faire,
IREM de Bourgogne.}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{6}{9}

\begin{minipage}[c]{0.56\linewidth}
Dans cet exercice, on considère le rectangle ABCD ci-contre tel que son périmètre soit égal à
31 cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.40\linewidth}
\centering
\figrectangle
\end{minipage}

\begin{enumerate}
  \item \begin{minipage}[t]{0.93\linewidth}
  \begin{enumerate}[topsep=0pt]
    \item Si un tel rectangle a pour longueur 10 cm, quelle est sa largeur ?
    \item Proposer une autre longueur et trouver la largeur correspondante.
    \item On appelle $x$ la longueur AB.\\
    En utilisant le fait que le périmètre de ABCD est de 31 cm, exprimer la longueur BC en
    fonction de $x$.
    \item En déduire l'aire du rectangle ABCD en fonction de $x$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}

  \item On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x(15{,}5-x)$.
  \begin{enumerate}
    \item Calculer $f(4)$.
    \item Vérifiez qu'un antécédent de 52,5 est 5.
  \end{enumerate}

  \item Sur le graphique ci-dessous, on a représenté l'aire du rectangle ABCD en fonction de la
  valeur de $x$.

  \begin{center}
  \graphaire
  \end{center}

  À l'aide de ce graphique, répondre aux questions suivantes en donnant des valeurs approchées :
  \begin{enumerate}
    \item Quelle est l'aire du rectangle ABCD lorsque $x$ vaut 3 cm ?
    \item Pour quelles valeurs de $x$ obtient-on une aire égale à 40 cm$^{2}$ ?
    \item Quelle est l'aire maximale de ce rectangle ? Pour quelle valeur de $x$ est-elle
    obtenue ?
  \end{enumerate}

  \item Que peut-on dire du rectangle ABCD lorsque AB vaut 7,75 cm ?
\end{enumerate}

\end{document}
