\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Amérique du Sud, 16 novembre 2023}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-ameri-sud-nov-2023}
\newcommand{\codefiche}{DNBAMSN23}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}


% ════════════════════════════════════════════════════════════════════
%  Figures — Brevet Amérique du Sud, 16 novembre 2023
% ════════════════════════════════════════════════════════════════════

% ── Exercice 1 : les deux triangles semblables ────────────────────
% F, G, H alignés ; (LH) perpendiculaire à (FH) ; EF = 18, FG = 24,
% EG = 30, GH = 38,4. L'angle droit en F n'est PAS codé : c'est la
% question 1 qui demande de le démontrer.
\newcommand{\figefglh}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.075,line join=round]
  \coordinate (F) at (0,0);
  \coordinate (G) at (24,0);
  \coordinate (H) at (62.4,0);
  \coordinate (E) at (0,18);
  \coordinate (L) at (62.4,28.8);
  \draw[thick] (F) -- (H);
  \draw[thick] (E) -- (F);
  \draw[thick] (E) -- (G);
  \draw[thick] (G) -- (L);
  \draw[thick] (L) -- (H);
  \draw (62.4,3.4) -- (59,3.4) -- (59,0);
  \draw[thick] (G) ++(160:5) arc[start angle=160,end angle=143,radius=5];
  \draw[thick] (G) ++(37:5)  arc[start angle=37,end angle=20,radius=5];
  \node[below] at (F) {\footnotesize F};
  \node[below] at (G) {\footnotesize G};
  \node[below] at (H) {\footnotesize H};
  \node[above] at (E) {\footnotesize E};
  \node[above] at (L) {\footnotesize L};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 2 : la feuille aux quatre coins coupés ───────────────
% Rectangle ABCD de 10 cm sur 8 cm, coins coupés par des triangles
% rectangles isocèles identiques. Polygone FELKJIHG.
\newcommand{\figfeuille}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.42,line join=round]
  \def\c{2.6}
  \coordinate (A) at (0,8); \coordinate (D) at (10,8);
  \coordinate (B) at (0,0); \coordinate (C) at (10,0);
  \coordinate (E) at (\c,8);      \coordinate (L) at (10-\c,8);
  \coordinate (F) at (0,8-\c);    \coordinate (K) at (10,8-\c);
  \coordinate (G) at (0,\c);      \coordinate (J) at (10,\c);
  \coordinate (H) at (\c,0);      \coordinate (I) at (10-\c,0);
  \draw[thick] (A) rectangle (C);
  \draw[dashed,thick] (E) -- (F); \draw[dashed,thick] (L) -- (K);
  \draw[dashed,thick] (G) -- (H); \draw[dashed,thick] (J) -- (I);
  \foreach \p/\pos in {A/above left, D/above right, B/below left, C/below right,
                       E/above, L/above, F/left, K/right, G/left, J/right, H/below, I/below}{
    \node[\pos=1pt] at (\p) {\footnotesize \p};}
  % codages : les huit segments coupés sont de même longueur
  \foreach \x/\y/\r in {1.3/8/0, 8.7/8/0, 1.3/0/0, 8.7/0/0,
                        0/6.7/90, 10/6.7/90, 0/1.3/90, 10/1.3/90}{
    \begin{scope}[shift={(\x,\y)},rotate=\r]
      \draw[thick] (-0.10,-0.28) -- (-0.10,0.28);
      \draw[thick] ( 0.10,-0.28) -- ( 0.10,0.28);
    \end{scope}}
  % les ciseaux, comme sur le sujet
  \node[rotate=-40,scale=0.7] at (1.0,1.0) {\ding{34}};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 2, question 5 : la courbe de f(x) = 80 - 2x^2 ────────
\newcommand{\courbef}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
  \def\ux{1.55} \def\uy{0.048}
  \draw[black!45] (0,0) grid[xstep=0.5*\ux,ystep=10*\uy] (4.4*\ux,90*\uy);
  \draw[->,thick] (0,0) -- (4.9*\ux,0); \node[below right=1pt] at (4.9*\ux,0) {\footnotesize $x$};
  \draw[->,thick] (0,0) -- (0,96*\uy);  \node[above left=1pt] at (0,96*\uy) {\footnotesize $f(x)$};
  \foreach \x in {0,0.5,...,4.0}{
    \node[below=2pt,scale=0.9] at (\x*\ux,0) {\footnotesize \x};}
  \foreach \y in {0,10,...,80}{
    \node[left=2pt,scale=0.9] at (0,\y*\uy) {\footnotesize \y};}
  \draw[blue,very thick,samples=120,domain=0:4.4]
    plot ({\x*\ux},{(80-2*\x*\x)*\uy});
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 3, question 2 : le point A sur la droite graduée ─────
% L'unité est partagée en huit : chaque graduation vaut 0,125.
\newcommand{\droitegraduee}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,line join=round]
  \def\u{4.4}
  \draw[line width=1.4pt] (-0.30*\u,0) -- (1.55*\u,0);
  \foreach \i in {-2,-1,...,11}{
    \draw[thick] (\i*\u/8,-0.16) -- (\i*\u/8,0.16);}
  \node[below=3pt] at (0,-0.16) {\footnotesize 1};
  \node[below=3pt] at (\u,-0.16) {\footnotesize 2};
  \node[above=3pt] at (10*\u/8,0.16) {\footnotesize A};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 3, question 3 : l'engrenage ──────────────────────────
\newcommand{\roue}[3]{% #1 rayon, #2 nombre de dents, #3 rayon du moyeu
  \foreach \k in {1,...,#2}{
    % les quatre angles sont calculés d'abord : une parenthèse dans une
    % coordonnée polaire serait prise par TikZ pour un nom de nœud.
    \pgfmathsetmacro{\aa}{360/#2*\k-90/#2}
    \pgfmathsetmacro{\ab}{360/#2*\k-40/#2}
    \pgfmathsetmacro{\ac}{360/#2*\k+40/#2}
    \pgfmathsetmacro{\ad}{360/#2*\k+90/#2}
    \pgfmathsetmacro{\re}{#1*1.22}
    \fill[black] (\aa:#1) -- (\ab:\re) -- (\ac:\re) -- (\ad:#1) -- cycle;}
  \fill[black] (0,0) circle (#1);
  \fill[white] (0,0) circle (#3);
}
\newcommand{\figengrenage}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.62,line join=round]
  \node[anchor=south] at (0.9,2.4) {\footnotesize Position initiale des roues};
  \begin{scope}[shift={(-0.55,0.55)}] \roue{1.05}{12}{0.34} \end{scope}
  \begin{scope}[shift={(1.55,-0.35)}] \roue{0.72}{8}{0.24} \end{scope}
  \node[anchor=east] at (-1.85,1.30) {\footnotesize Roue B};
  \node[anchor=west] at (2.55,0.20) {\footnotesize Roue A};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 4 : la bougie cylindrique ────────────────────────────
\newcommand{\figbougie}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.55,line join=round,>=stealth]
  \def\rx{1.0} \def\ry{0.32} \def\h{4.0}
  \draw[thick] (-\rx,0) -- (-\rx,\h);
  \draw[thick] ( \rx,0) -- ( \rx,\h);
  \draw[thick] (0,\h) ellipse [x radius=\rx, y radius=\ry];
  \draw[thick] (-\rx,0) arc[start angle=180,end angle=360,x radius=\rx,y radius=\ry];
  \draw[thick,dashed] (-\rx,0) arc[start angle=180,end angle=0,x radius=\rx,y radius=\ry];
  \draw[thick] (0,\h+\ry) -- (0,\h+0.75);
  \node[anchor=west] at (0.12,\h+0.85) {\footnotesize la mèche};
  \draw[<->] (-1.65,0) -- (-1.65,\h);
  \node[anchor=east] at (-1.72,\h/2) {\footnotesize 12 cm};
  \draw[<->] (-\rx,-0.75) -- (\rx,-0.75);
  \node[below] at (0,-0.80) {\footnotesize 3 cm};
  \node[anchor=west] at (1.25,\h/2) {\footnotesize la bougie};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 4, question 2 : le diagramme circulaire codé ─────────
% Codage : angle droit sur le secteur « Vanille » (donc 25 %) et deux
% arcs identiques marquant l'égalité des angles « Miel » et « Jasmin ».
\newcommand{\figcamembert}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.90,line join=round]
  \def\R{2.1}
  \draw[thick] (0,0) circle (\R);
  \foreach \a in {90,270,180,-8}{ \draw[thick] (0,0) -- (\a:\R); }
  \node at (135:1.25) {\footnotesize Lavande};
  \node at (42:1.30)  {\footnotesize Miel};
  \node at (225:1.25) {\footnotesize Vanille};
  \node at (-48:1.30) {\footnotesize Jasmin};
  % angle droit du secteur Vanille
  \draw (180:0.30) -- ($(180:0.30)+(270:0.30)$) -- (270:0.30);
  % arcs égaux : Miel et Jasmin
  \foreach \d in {0.50,0.58}{
    \draw[thick] (90:\d) arc[start angle=90,end angle=-8,radius=\d];}
  \foreach \d in {0.50,0.58}{
    \draw[thick] (-8:\d) arc[start angle=-8,end angle=-90,radius=\d];}
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 5 : la roue et l'urne ────────────────────────────────
\newcommand{\figroueurne}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.72,line join=round,>=stealth]
  \draw[thick] (0,0) circle (1.35);
  \foreach \a/\n in {135/1, 45/4, 225/2, -45/3}{
    \node at (\a:0.78) {\footnotesize \n};}
  \draw[->,line width=1.6pt] (-2.35,1.95) -- (-1.10,0.98);
  \node[below] at (0,-1.75) {\footnotesize La roue : chiffre des dizaines};
  \begin{scope}[shift={(5.4,0)}]
    \draw[thick] (-1.15,-1.15) -- (1.15,-1.15) -- (0.72,1.15) -- (-0.72,1.15) -- cycle;
    \foreach \x/\y/\n in {0/0.42/3, -0.48/-0.42/2, 0.48/-0.42/4}{
      \draw[thick] (\x,\y) circle (0.34);
      \node at (\x,\y) {\footnotesize \n};}
    \node[below] at (0,-1.75) {\footnotesize L'urne : chiffre des unités};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}}


\newcommand{\vide}{\ovalnum{\rule{0pt}{1.4ex}\hspace{1.1em}}}
\newcommand{\videlong}{\ovalnum{\rule{0pt}{1.4ex}\hspace{3.4em}}}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}{\large\bfseries Durée : 2 heures}\end{center}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{1}{20}

\begin{minipage}[c]{0.42\linewidth}
On considère la figure ci-contre dans laquelle :
\begin{itemize}[label=$\bullet$,leftmargin=*,nosep,topsep=3pt]
  \item Les points F, G et H sont alignés
  \item (LH) est perpendiculaire à (FH)
  \item EF $=18$ cm ; FG $=24$ cm ; EG $=30$ cm ; GH $=38{,}4$ cm
  \item $\widehat{\mathrm{EGF}}=\widehat{\mathrm{LGH}}$.
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.55\linewidth}
\centering
\figefglh\\[2pt]
{\footnotesize\itshape La figure n'est pas en vraie grandeur.}
\end{minipage}

\medskip
\begin{enumerate}
  \item Montrer que le triangle EFG est rectangle en F.
  \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{EGF}}$.\\
  Donner l'arrondi au degré près.
  \item Montrer que les triangles EGF et LGH sont semblables.
  \item Parmi les propositions suivantes, quel est le coefficient d'agrandissement qui permet de
  passer du triangle EFG au triangle LHG ?\\
  Expliquer.

  \begin{center}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
  \hline
  0,625 & 1,28 & 1,6 & 2,6\\
  \hline
  \end{tabular}
  \end{center}

  \item Quel est le périmètre du triangle LGH ?
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{2}{21}

\begin{minipage}[c]{0.52\linewidth}
À partir d'une feuille rectangulaire de dimension 10 cm sur 8 cm, on coupe les quatre coins de
manière identique.\\
On obtient ainsi un polygone FELKJIHG et quatre triangles rectangles isocèles égaux comme
représenté ci-contre.\\
AD $=10$ cm ; AB $=8$ cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.44\linewidth}
\centering
\figfeuille
\end{minipage}

\medskip
\textbf{Les deux parties sont indépendantes.}

\medskip
\textbf{Première partie : on suppose que AE $=3$ cm.}

\begin{enumerate}
  \item Quelle est l'aire du triangle AEF ?
  \item En déduire l'aire du polygone FELKJIHG.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Deuxième partie :}\\
On souhaite que l'aire du polygone FELKJIHG soit de 60 cm$^{2}$.\\
Pour cela, on fait varier la longueur AE et on observe l'effet sur l'aire du polygone
FELKJIHG.\\
On note $x$ la longueur AE exprimée en cm.

\begin{enumerate}[start=3]
  \item \begin{minipage}[t]{0.93\linewidth}
  \begin{enumerate}[topsep=0pt]
    \item Exprimer l'aire du triangle AEF en fonction de $x$.
    \item Montrer que l'aire du polygone FELKJIHG, en cm$^{2}$, est donnée par l'expression
    $80-2x^{2}$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}

  \item On considère la fonction $f:x\longmapsto 80-2x^{2}$.\\
  À l'aide d'un tableur, on a produit le tableau de valeurs ci-dessous :

  \begin{center}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
   & \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{C} & \textbf{D} & \textbf{E} & \textbf{F} & \textbf{G} &
   \textbf{H} & \textbf{I}\\
  \hline
  \textbf{1} & $x$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5\\
  \hline
  \textbf{2} & $f(x)$ & 80 & 79,5 & 78 & 75,5 & 72 & 67,5 & 62 & 55,5\\
  \hline
  \end{tabular}
  \end{center}

  Proposer une formule qui a pu être saisie en B2 avant d'être étirée vers la droite.\\
  Ne pas justifier.

  \item Voici la courbe représentative de la fonction $f$ :

  \begin{center}
  \courbef
  \end{center}

  \begin{enumerate}
    \item La fonction $f$ est-elle affine ?
    \item Par lecture graphique, déterminer une valeur approchée de la longueur AE permettant
    d'obtenir un polygone FELKJIHG d'aire égale à 60 cm$^{2}$.
    \item Trouver par le calcul la valeur exacte de cette longueur.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{3}{20}

\textbf{Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la
réponse.}

\begin{enumerate}
  \item On considère le tableau ci-dessous :

  \begin{center}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
  \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
  \hline
  Nombre de baguettes & 1 & 2 & 3 & 4\\
  \hline
  Prix en \euro & 1,10 & 2,20 & 3,30 & 4\\
  \hline
  \end{tabular}
  \end{center}

  \textbf{Affirmation 1 :} «~Le prix est proportionnel au nombre de baguettes.~»

  \item On considère ci-dessous le point A sur une droite graduée :

  \begin{center}
  \droitegraduee
  \end{center}

  \textbf{Affirmation 2 :} «~L'abscisse du point A est un nombre décimal.~»

  \item \begin{minipage}[t]{0.56\linewidth}
  On considère cet engrenage qui est composé d'une roue A à 8 dents et d'une roue B à 12
  dents.

  \smallskip
  \textbf{Affirmation 3 :}\\
  «~Cet engrenage sera dans la même position au bout de 6 tours pour la roue A et 4 tours pour
  la roue B.~»
  \end{minipage}\hfill
  \begin{minipage}[t]{0.40\linewidth}
  \vspace{1mm}
  \centering
  \fbox{\figengrenage}
  \end{minipage}

  \item \textbf{Affirmation 4 :}\\
  «~Pour tout nombre $x$, l'égalité suivante est vraie :
  \[(x+8)(2x-1)=2x^{2}-(8-15x).\text{~»}\]
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{4}{16}

Une usine fabrique des bougies parfumées en cire de forme cylindrique.

\medskip
\textbf{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\begin{minipage}[t]{0.40\linewidth}\raggedright\vspace{1mm}
\textbf{Document 1}
\begin{center}\figbougie\end{center}
Rayon du cylindre : 3 cm\\
Hauteur du cylindre : 12 cm
\vspace{1mm}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{0.50\linewidth}\raggedright\vspace{1mm}
\textbf{Document 2}\\
Aire d'un disque : rayon\up{2}$\times\pi$\\
Volume d'un cylindre : Aire de la base $\times$ hauteur

\smallskip
\textbf{Document 3}
\begin{itemize}[label=---,leftmargin=*,nosep,topsep=2pt]
  \item Une bougie est composée de cire et de parfum.
  \item Le volume de cire nécessaire à la fabrication d'une bougie correspond au
  $\dfrac{9}{10}$ du volume de cette bougie.
  \item 1 cm$^{3}$ de cire a une masse de 0,7 g.
\end{itemize}
\vspace{1mm}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item \begin{minipage}[t]{0.93\linewidth}
  \begin{enumerate}[topsep=0pt]
    \item Montrer que le volume d'une bougie est d'environ 339 cm$^{3}$.
    \item Quelle est la masse de cire nécessaire pour une bougie ? On donnera une valeur
    approchée au gramme près.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}

  \item \begin{minipage}[t]{0.58\linewidth}
  Au mois de novembre, l'usine a fabriqué des bougies de 4 parfums différents : vanille, miel,
  lavande et jasmin.\\
  Le diagramme circulaire codé ci-contre donne la répartition, pour le mois de novembre, du
  nombre de bougies fabriquées en fonction de leur parfum.\\
  Les bougies au miel représentent 22 \% de la production du mois de novembre.\\
  Quel est le pourcentage de bougies à la lavande fabriquées au mois de novembre ?
  \end{minipage}\hfill
  \begin{minipage}[t]{0.38\linewidth}
  \vspace{1mm}
  \centering
  \figcamembert
  \end{minipage}

  \item Durant les trois premiers mois de l'année suivante, l'entreprise se donne pour objectif
  de produire en moyenne \np{7900} bougies par mois.\\
  En janvier, elle fabrique \np{6500} bougies et \np{8000} en février.\\
  Quel est le nombre de bougies à produire en mars pour atteindre l'objectif ?
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{5}{23}

On dispose d'une roue dont les 4 secteurs ont tous la même aire et sont numérotés :
1 ; 2 ; 3 ; 4.\\
On dispose également d'une urne contenant 3 boules numérotées : 2 ; 3 et 4.\\
Les boules sont indiscernables au toucher.\\
On considère l'expérience aléatoire suivante :\\
«~On fait tourner la roue puis on tire au hasard une boule dans l'urne. On forme alors un nombre
entier à deux chiffres tel que :

\begin{itemize}[label=$\bullet$,leftmargin=*,nosep]
  \item Le chiffre des dizaines est le numéro indiqué par la flèche sur la roue.
  \item Le chiffre des unités est le numéro de la boule tirée dans l'urne.~»
\end{itemize}

\begin{center}
\figroueurne
\end{center}

\smallskip
\emph{Exemple} : Si la flèche indique le numéro 1 sur la roue et que la boule tirée dans l'urne
porte le numéro 3, on forme le nombre 13.

\begin{enumerate}
  \item Écrire la liste des 12 issues possibles.
  \item Déterminer la probabilité de l'évènement : «~Obtenir un nombre impair~».
  \item \begin{minipage}[t]{0.93\linewidth}
  On considère l'évènement $A$ : «~Le nombre formé est un nombre premier et inférieur à 30~».
  \begin{enumerate}[topsep=3pt]
    \item Quelle est la probabilité de l'évènement $A$ ?
    \item Quelle est la probabilité de son évènement contraire ?
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
\end{enumerate}

À l'aide de cette expérience aléatoire, on crée un jeu de hasard.\\
Le joueur gagne s'il obtient un multiple de 11.

\begin{enumerate}[start=4]
  \item Montrer que la probabilité d'obtenir un multiple de 11 est égale à 0,25.

  \item On souhaite simuler ce jeu à l'aide d'un logiciel de programmation.\\
  On a rédigé le script ci-dessous :

  \begin{center}
  \begin{scratch}[scale=0.62,num blocks]
  \blockinit{quand \greenflag\ est cliqué}
  \blockvariable{mettre \selectmenu{Gagné} à \ovalnum{0}}
  \blockrepeat{répéter \ovalnum{100} fois}{%
  \blockvariable{mettre \selectmenu{Chiffre des dizaines} à \ovaloperator{nombre aléatoire entre \ovalnum{1} et \ovalnum{4}}}
  \blockvariable{mettre \selectmenu{Chiffre des unités} à \ovaloperator{nombre aléatoire entre \vide{} et \vide}}
  \blockif{si \booloperator{\videlong{} = \videlong} alors}{%
  \blockvariable{ajouter \ovalnum{1} à \ovalvariable{Gagné}}
  }
  }
  \blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{La fréquence d'apparition d'un multiple de 11 est de :} et \ovaloperator{\ovalvariable{Gagné} / \ovalnum{100}}} pendant \ovalnum{2} secondes}
  \end{scratch}
  \end{center}

  Information : l'instruction «~nombre aléatoire entre 1 et 4~» renvoie au hasard un nombre
  parmi 1, 2, 3, 4.

  \begin{enumerate}
    \item Écrire sur la copie comment compléter les deux cases vides de la ligne 5.\\
    \emph{Ne pas justifier.}
    \item Écrire sur la copie comment compléter les deux cases vides de la ligne 6.\\
    \emph{Ne pas justifier.}
    \item On a cliqué sur le drapeau et voici le résultat du programme :\\
    «~La fréquence d'apparition d'un multiple de 11 est 0,23.~»\\
    Pourquoi le résultat est-il différent de celui obtenu dans la question 4 ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
