\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Antilles-Guyane, 30 juin 2026}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|} \hline
	\hfill~\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet.}\hfill~\\
	\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.}\\ \hline
\end{tabularx}

\section*{\hfill~ PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES (6 points) \hfill~}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\bigskip
\begin{minipage}[t]{0.55\linewidth}
\subsection*{Question 1}
Dans le repère ci-contre, quelles sont les coordonnées du point A ?
\end{minipage}
\hfill~
%Début tikz
\begin{tikzpicture}[x=12mm,y=12mm,baseline={(y.base)},>=stealth]
	\draw [color = gray!75, line width = 0.5pt, xstep=1, ystep = 1] (-2.5,-1.2) grid (3.5,3.5);
	\draw[line width=1.2pt,->] (-2.5,0) -- (3.5,0);
	\foreach \x in {-2,-1,1,2}
	\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below, fill = white] {\footnotesize $\np{\x}$};
	\draw[line width=1.2pt,->] (0,-1.2) -- (0,3.5);
	\foreach \y in {-1,1,2,3}
	\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left, fill = white] (y) {\footnotesize $\np{\y}$};
	\draw[color=black] (-2pt,-2pt) node[below left] {{\footnotesize 0}};
	\draw[shift={(-2,2)},line width=1pt] (3pt,3pt) -- (-3pt,-3pt)
	(-3pt,3pt) -- (3pt,-3pt) (0,0) node[above right] {A};
\end{tikzpicture} \hfill~
%Fin tikz
%%Début PSTricks
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture*}(-2.5,-1.1)(2.5,3.5)
%	\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-1.1)(2.5,3.5)
%	\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](-3,-1.)(3,4)
%	\psdots(-2,2)\uput[ul](-2,2){A}
%\end{pspicture*}
%%Fin PSTricks

\medskip

\begin{minipage}[b]{0.55\linewidth}
\subsection*{Question 2}
	Dans le quadrillage ci-contre, quel est le symétrique du point K par la symétrie centrale de centre O ?
\end{minipage}\hfill~
%Début tikz
\begin{tikzpicture}[x=7mm,y=7mm,baseline={(current bounding box.center)}]
	\draw [color = gray!75, line width = 0.5pt, xstep=1, ystep = 1] (0,0) grid (8,8);
	\foreach \coordonnees/\nom/\pos in
	{{(6,6)}/K/{above right},
	{(2,2)}/M/{above right},
	{(6,2)}/N/{above right},
	{(2,6)}/L/{above right},
	{(4,4)}/O/{above left},
	{(5,5)}/P/{above left}}
		{\draw[shift=\coordonnees,line width=1pt] (2pt,2pt) -- (-2pt,-2pt)
			(-2pt,2pt) -- (2pt,-2pt) (0,0) node[\pos] {\nom};}
\end{tikzpicture}\hfill~
%Fin tikz
%%Début PSTricks
%\begin{minipage}{0.3\linewidth}
%	\psset{unit=0.5cm}
%	\begin{pspicture}(8,8)
%		\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt]
%		\psdots(2,2)(2,6)(4,4)(5,5)(6,2)(6,6)
%		\uput[ul](2,2){M}\uput[ul](2,6){L}\uput[ul](4,4){O}\uput[ul](5,5){P}\uput[ul](6,6){K}
%	\end{pspicture}
%\end{minipage}
%%Fin PSTricks


\medskip

\begin{minipage}[t]{0.55\linewidth}
\subsection*{Question 3}
	On souhaite connaitre l'aire du triangle ABC représenté ci-contre.

	Quel calcul doit-on effectuer ?

	\begin{tblr}{colspec = {*2{X}}}
		\textbf{A.}\quad AB + BC + AC &
		\textbf{B.}\quad AC $\times$ BD $\div$ 2\\
		\textbf{C.}\quad AB $\times$ BC $\times$ CA	&
		\textbf{D.}\quad AC $\times$ BD	\\
	\end{tblr}
\end{minipage}\hfill~
%%Début tikz
\begin{tikzpicture}[baseline={(B.base)}]
	\draw[fill=gray!30] (0,0) rectangle (0.3,0.3) ;
	\draw[line width=1.2pt]
	(-1.7,0) node[below left] {A}--
	(0,4)    node[above] (B)  {B}--
	(3.8,0)  node[below right]{C}--cycle
	(0,0)    node[below ]     {D}--(0,4);
\end{tikzpicture}
%%Fin tikz
%%%Début PSTricks
%\begin{minipage}{0.35\linewidth}
%	\psset{unit=0.9cm}
%	\begin{pspicture}(5.8,4.3)
%		\pspolygon(1.7,3.9)(0.3,0.3)(5.3,0.3)(1.7,3.9)(1.7,0.3)%BACBD
%		\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[u](1.7,3.9){B} \uput[dr](5.3,0.3){C} \uput[d](1.7,0.3){D}
%	\end{pspicture}
%\end{minipage}
%%%Fin PSTricks

\subsection*{Question 4}
	On lance 10 fois une pièce de monnaie.

	Les résultats obtenus sont les suivants : \emph{pile, pile, face, pile, face, face, face, face, pile, face}.

	Quelle est la fréquence d'apparition de \og \emph{pile} \fg ?

	\begin{tblr}{*{4}{X}}
		\textbf{A.}\quad $\dfrac{1}{2}$ &
		\textbf{B.}\quad $\dfrac{6}{10}$ &
		\textbf{C.}\quad $\dfrac{4}{10}$ &
		\textbf{D.}\quad $\dfrac{4}{6}$ \\
	\end{tblr}

\subsection*{Question 5}
	On note $n$ un nombre entier.

	Parmi les propositions suivantes, quelle expression donne la moitié de $n$ ?

	\begin{tblr}{*{4}{X}}
		\textbf{A.}\quad $2n$ &
		\textbf{B.}\quad $n^2$ &
		\textbf{C.}\quad $n + 2$ &
		\textbf{D.}\quad $\dfrac{n}{2}$
	\end{tblr}

\subsection*{Question 6}
	Parmi les propositions suivantes, quelle durée correspond à $\dfrac{1}{10}$ d'heure ?

	\begin{tblr}{*{4}{X}}
		\textbf{A.}\quad 0,1 min &
		\textbf{B.}\quad 1 min &
		\textbf{C.}\quad 6 min &
		\textbf{D.}\quad 10 min
	\end{tblr}

\subsection*{Question 7}
	On donne la série suivante : 10 ; 10 ; 12 ; 16.

	Calculer la moyenne de cette série.

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
	\subsection*{Question 8}
	La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. Quelle est la valeur de $x$ ?
\end{minipage}\hfill~
%Début tikz
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)}]
	\draw[fill=gray!30] (0,0)--(0.5,0) arc (0:-120:0.5)--cycle (-60:0.8) node{120\textdegree};
	\draw[fill=gray!30,shift={(4.2,0)}] (0,0)--(-0.7,0) arc (180:210:0.7)--cycle (195:1) node(A){$x$};
	\draw[fill=gray!30,shift={(-120:4.2)}] (0,0)--(30:0.7) arc (30:60:0.7)--cycle (45:1) node{$x$};
	\draw[line width=1.2pt] (0,0) -- (4.2,0) node[pos=0.5]{||}-- (-120:4.2)--cycle node[pos=0.5,sloped]{||};
	\end{tikzpicture}
%Fin tikz
%%Début PSTricks
%\begin{minipage}{0.37\linewidth}
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(-2,0.1)(4,-3.5)
%	\pspolygon(4;0)(0;0)(4;240)
%	\def\barre{\psline(-0.05,-0.1)(-0.05,0.1)\psline(0.05,-0.1)(0.05,0.1)}
%	\rput(2,0){\barre}\rput{60}(2;240){\barre}
%	\psarc(0;0){0.6}{-120}{0}
%	\psarc(4;240){0.4}{30}{60}\rput(-1.5,-3){$x$}
%	\psarc(4;0){0.4}{180}{210}\rput(3.35,-0.18){$x$}
%	\rput(1;-60){$120\degres$}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
%%Fin PSTricks

\subsection*{Question 9}

Un vélo roule à la vitesse moyenne de \np[km/h]{20}.

Quelle est la durée d'un trajet de \np[km]{15} ?

\needspace{10\baselineskip}
% saut de page si moins de 10 lignes disponibles
\section*{\hfill~ DEUXIÈME PARTIE (14 pts)\hfill~}

\section*{Exercice 1 (4 points)}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	Sur la figure ci-contre, qui n'est pas représentée en vraie grandeur :
	\begin{itemize}
		\item A est le point d'intersection des droites (BE) et (TM);
		\item le triangle ABM est rectangle en A ;
		\item AT = 2,2 m; MT = 7,7 m;
		\item AE = 1,92m et MB = 7,3 m.
	\end{itemize}
\end{minipage}\hfill~
%Début tikz
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)}]
	\draw[fill=gray!30] (0,0) rectangle (0.3,0.3) ;
	\draw[line width=1.2pt]
	(0,5)    node[above](B){B}--
	(-2.3,0) node[left] {T}--
	(0,-2)   node[below]{E}--
	(5.4,0)  node[right]{M}--cycle
	(-2.3,0)--(5.4,0)
	(0,-2)--(0,5)
	(0,0)    node[below left] {A};
\end{tikzpicture}
%Fin tikz
%%%Début PSTricks
%\begin{minipage}{0.47\linewidth}
%	\psset{unit=0.8cm}
%	\begin{pspicture}(0,-2.3)(6.2,5)
%		\pspolygon(2.3,5.6)(0.2,0)(2.3,-1.8)(7.6,0)(2.3,5.6)(2.3,-1.8)(7.6,0)(0.2,0)%BTEBMT
%		\psframe(2.3,0)(2.55,0.25)
%		\uput[u](2.3,5.6){B} \uput[l](0.2,0){T} \uput[d](2.3,-1.8){E} \uput[dl](2.3,0){A} \uput[r](7.6,0){M}
%	\end{pspicture}
%\end{minipage}
%%%Fin PSTricks
\medskip

\begin{enumerate}
	\item Justifier que AM = 5,5~m.

	\item Montrer que la longueur AB est égale à 4,8~m.

	\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABM}}$. Donner la valeur arrondie au degré.

	\item Montrer que les droites (TE) et (BM) sont parallèles.

	\textit{Détailler la réponse en précisant la démarche.}

	\item Le triangle ABM est l'image du triangle AET par une homothétie de centre A.

	Choisir le rapport de cette homothétie parmi les propositions suivantes. Aucune justification n'est demandée.

	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			\textbf{Proposition 1} & \textbf{Proposition 2} & \textbf{Proposition 3} \\
			\hline
			2,5 & $-0,4$ & $-2,5$ \\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{enumerate}

\needspace{15\baselineskip}
\section*{Exercice 2 (4 points)}

On considère le programme de calcul ci-dessous.

\begin{center}
	\fbox{
		\begin{minipage}{0.55\linewidth}
			\centering \textbf{Programme A}
			\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
				\item Choisir un nombre
				\item Soustraire 2
				\item Multiplier par 5
				\item Ajouter le triple du nombre de départ
			\end{itemize}
		\end{minipage}
	}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Vérifier qu'en choisissant 1 comme nombre de départ, on obtient $-2$ avec ce programme de calcul.

	\item On note $x$ le nombre choisi au départ.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le résultat du programme est $8x - 10$.

		\item Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme soit égal à 0 ?
	\end{enumerate}

	\item \emph{Question d'algorithmique}
	\begin{enumerate}
		\item On considère ci-dessous le programme de calcul B, réalisé avec le logiciel \og Scratch \fg.

		\begin{center}
			%\fbox{
				%\begin{minipage}{0.6\linewidth}
				\centering \textbf{Programme B}\\[6pt]

				\begin{scratch}
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blocksensing{demander \ovalnum{choisir un nombre} et attendre}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalnum{4}*\ovalvariable{réponse}}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{résultat} - \ovalnum{5}}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalnum{2} *\ovalvariable{résultat}}}
					\blocklook{dire \ovalvariable{résultat}}
				\end{scratch}
				%\end{minipage}
				%}
		\end{center}

		En appliquant ce programme de calcul au nombre 1, quel résultat final obtient-on ?

		\item Montrer que le résultat du programme A est toujours le même que celui du programme B quel que soit le nombre choisi au départ.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\needspace{10\baselineskip}
\section*{Exercice 3 (4 points)}

Un centre de loisirs organise pour les jeunes d'une commune des activités pendant les vacances.

Pour s'inscrire dans ce centre de loisirs, plusieurs tarifs sont proposés :
\begin{itemize}
	\item Tarif A : on paie 5,50~\euro{} par demi-journée passée dans le centre de loisirs ;
	\item Tarif B : on paie un abonnement annuel de 15~\euro{} puis 3,50~\euro{} pour chaque demi-journée passée dans le centre ;
	\item Tarif C : on paie un forfait annuel de 64~\euro{} donnant accès à autant de demi-journées que l'on veut.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Quel est le prix pour 12 demi-journées avec le tarif B ?
	\item On désigne par $x$ le nombre de demi-journées passées dans le centre de loisirs.
	On considère les trois fonctions $f,\, g$, et $h$ suivantes :

	\[f : x \longmapsto 15 + 3,5x \qquad\qquad g : x \longmapsto 64 \qquad\qquad h : x \longmapsto 5,5x\]

	Sans justifier, associer chacune de ces fonctions au tarif qu'elle représente.

	\item Le graphique ci-dessous représente les fonctions $f,\, g$, et $h$.
	Sans justifier, associer à chaque représentation graphique ($d_1$), ($d_2$) et ($d_3$) la fonction $f$, $g$ ou $h$ correspondante.

	\begin{center}
		%Début Tikz
		\begin{tikzpicture}[x=11mm, y=1.1mm, >=stealth]
		\draw[color = gray!35, line width = 0.3pt, xstep=0.2, ystep = 2] (0,0) grid (11.4,84);
		\draw[color = gray!55, line width = 0.5pt, xstep=1, ystep = 10] (0,0) grid (11.4,84);
		\draw[->,line width=1pt] (0,0) -- (11.4,0) node[above left,text width=2.4cm,align = center] {\footnotesize Nombre de demi-journées};
		\draw[->,line width=1pt] (0,0) -- (0,84) node[below right] {Prix en \euro{}};
		\foreach \x in {1,...,11}
			\draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\np{\x}};
		\foreach \y in {10,20,...,80}
			\draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\np{\y}};
		\draw[teal,line width=1.4pt] (0,64) -- (11.4,64) node[pos=0.4,above]{$(d_2)$};
		\draw[blue,line width=1.4pt] (0,0) -- (11.4,62.7) node[pos=0.4,below]{$(d_3)$};
		\draw[red,line width=1.4pt] (0,15) -- (11.4,54.9)
		node[pos=0.4,above]{$(d_1)$};
		\end{tikzpicture}
		%Fin Tikz
%		%Début PSTricks
%		\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 3}
%		\begin{pspicture}(-0.6,-5)(11,85)
%			\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(11,85)
%			\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,85)}
%			\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(11,\n)}
%			\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{11}{3.5 x mul 15 add}
%			\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11}{5.5 x mul}
%			\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=green](0,64)(11,64)
%			\uput[u](9,0){\footnotesize Nombre de demi-journées}
%			\uput[r](0,83){\footnotesize Prix en \euro}
%			\rput(3,14){\blue $(d_3)$}\rput(3,30){\red $(d_1)$}\rput(3,66){\green $(d_2)$}
%		\end{pspicture}
		%Fin PSTricks
	\end{center}

	\item La droite ($d_1$) représente-t-elle une situation de proportionnalité ?

	\textit{Détailler la réponse en précisant la démarche.}

	\item Lire graphiquement le nombre de demi-journées à partir duquel le tarif B devient plus avantageux que le tarif A. Aucune justification n'est demandée.

	\needspace{10\lineskip}
	\item On a réalisé dans un tableur le tableau de valeurs correspondant au tarif B suivant le nombre de demi-journées de présence.

	\begin{tblr}{hlines, vlines, colsep=1pt,
			colspec={*{18}{X}},
			columns={c,font=\sffamily},	rows={m},
			cell{2-Z}{2-Z}={font=\small \sffamily},
			row{1}={rowsep=0pt,ht=7mm, bg=gray9},
			column{1}={colsep=0pt,7mm,bg=gray9},
			column{2}={2.8cm},
			cell{1}{1}={gray9,halign=r,valign=b,cmd={\tikz[baseline={(0,0.15)}]{\clip(0,0) rectangle (0.6,0.5) ;\fill[gray!50] (0,0)--(0.5,0.5)--(0.5,0);}}}
			}
		  & A                                   & B    & C  & D    & E  & F    & G  & H    & I  & J    & K  & L    & M  & N    & O  & P    & Q   \\
		1 & Nombre de demi-journées d'activités & 1    & 2  & 3    & 4  & 5    & 6  & 7    & 8  & 9    & 10 & 11   & 12 & 13   & 14 & 15   & 16  \\
		2 & Tarif B en \euro                    & 18,5 & 22 & 25,5 & 29 & 32,5 & 36 & 39,5 & 43 & 46,5 & 50 & 53,5 & 57 & 60,5 & 64 & 67,5 & 71
	\end{tblr}

	\begin{enumerate}
		\item Parmi les trois formules proposées ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule \textsf{B2}, puis étirée vers la droite pour compléter le tableau.

		\begin{center}
			\begin{tblr}{colspec={*{3}{X[c,font=\sffamily]}},hlines, vlines}
				=15+3,5*$x$ & =15+3,5*1 & =15+3,5*B1 \\
			\end{tblr}
		\end{center}

		\item En utilisant le tableau de valeurs ci-dessus, déterminer le nombre de demi-journées à partir duquel le tarif C devient plus avantageux que le tarif B. Aucune justification n'est demandée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

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% Fin du document
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\end{document}
