\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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% Sans lmodern, T1 fait tomber pdfTeX sur les fontes ec (bitmap PK) :
% le PDF embarque alors des polices Type 3.
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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{DIPLÔME NATIONAL DU BREVET}
\newcommand{\soustitre}{MATHÉMATIQUES -- CENTRES ÉTRANGERS}
\newcommand{\session}{Session de juin 2012}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-centres-etrangers-juin-2012}
\newcommand{\codefiche}{DNBCEN12}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
% Pas de filet entre l'en-tête et le corps.
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
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\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

% ── Macros reprises de la source d'origine ──────────────────────
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\newcommand{\partie}[2]{%
  \vspace{.7em}\noindent{\large\bfseries #1}\hfill\textbf{#2 points}\par\smallskip}
\newcommand{\exercice}[1]{\vspace{.4em}\noindent\textbf{Exercice #1}\par}
\newcommand{\rep}[1]{#1}

\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{.78\linewidth}\centering
Durée : 2 heures

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
\end{minipage}}
\end{center}

\partie{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}{12}

\exercice{1}

\begin{enumerate}
  \item Calculer $\dfrac14+\dfrac23\times\dfrac34$.
  \item Au goûter, Lise mange $\dfrac14$ du paquet de gâteaux qu'elle vient d'ouvrir.
  De retour du collège, sa sœur Agathe mange les $\dfrac23$ des gâteaux restants dans
  le paquet entamé par Lise. Il reste alors 5 gâteaux.

  Quel était le nombre initial de gâteaux dans le paquet ?

  \emph{Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche.
  Elle sera prise en compte dans la notation.}
\end{enumerate}

\exercice{2}

Une usine doit fabriquer des boîtes cylindriques de contenance $250\text{ cm}^3$.

\begin{center}
\begin{minipage}{.30\linewidth}\centering
\begin{tikzpicture}[scale=.75]
  \draw (-2,0) arc (180:360:2 and .55);
  \draw[dashed] (2,0) arc (0:180:2 and .55);
  \draw (-2,0)--(-2,4) (2,0)--(2,4);
  \draw (0,4) ellipse (2 and .55);   % centre sur l'axe, pas sur le bord gauche
  \draw[<->] (0,4)--(2,4) node[midway,below] {$x$};
  \draw[<->] (2.45,0)--(2.45,4) node[midway,right] {$h$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.66\linewidth}
\begin{enumerate}
  \item On suppose que $x=3$ cm.
  \begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item Montrer que $h\approx8{,}8$ cm.

    Rappel : $V_{\text{cylindre}}=\pi r^2h$.
    \item Le patron de la boîte est représenté ci-dessous. Calculer une valeur
    approchée de $L$ au millimètre près.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}

\begin{tikzpicture}[scale=.62]
  % Patron d'un cylindre : les deux bases se rabattent sur les bords
  % HORIZONTAUX du rectangle (sa largeur est la circonférence, les disques
  % roulent dessus), et elles y sont tangentes.
  % Largeur = 2*pi*3 = 18,85 cm, hauteur = 8,8 cm, à l'échelle 1/2.
  \draw (0,0) rectangle (9.42,4.4);
  \draw (4.71,5.9) circle (1.5);
  \draw (4.71,-1.5) circle (1.5);
  \draw[<->] (0,-3.35)--(9.42,-3.35) node[midway,below] {$L$};
  \draw[<->] (9.82,0)--(9.82,4.4) node[midway,right] {$8{,}8$};
  \draw[<->] (4.71,5.9)--(6.21,5.9) node[midway,above] {$x=3$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

% Bloc insécable : l'annonce et son graphique ne doivent jamais être
% séparés, sinon « ci-dessous » renvoie à la page suivante. Un minipage
% ne se coupe jamais : s'il ne tient pas, il bascule entier.
\noindent\begin{minipage}{\linewidth}
\begin{enumerate}[start=2]
  \item On a représenté ci-dessous la hauteur de la boîte en fonction du rayon.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
  width=.82\textwidth,height=7cm,
  xmin=0,xmax=13,ymin=0,ymax=9,
  xtick={0,...,13},ytick={0,...,9},
  grid=both,minor tick num=0,
  xlabel={Rayon en cm},ylabel={Hauteur en cm},
  axis lines=left]
  \addplot[blue!60!black,very thick,domain=3:13,samples=120]{250/(pi*x^2)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
  \item La fonction représentée est-elle une fonction affine ? Justifier.
  \item Par lecture graphique, indiquer :
  \begin{itemize}
    \item le rayon correspondant approximativement à une hauteur de 2 cm ;
    \item la hauteur correspondant approximativement à un rayon de 4 cm.
  \end{itemize}
\end{enumerate}

\exercice{3}

On considère les programmes de calcul suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.92\textwidth}{|X|X|}\hline
\centering\textbf{Programme A}&\centering\arraybackslash\textbf{Programme B}\\\hline
\begin{itemize}[leftmargin=1.2em]
  \item Choisir un nombre.
  \item Lui ajouter 1.
  \item Calculer le carré de la somme obtenue.
  \item Soustraire au résultat le carré du nombre de départ.
\end{itemize}
&
\begin{itemize}[leftmargin=1.2em]
  \item Choisir un nombre.
  \item Ajouter 1 au double de ce nombre.
\end{itemize}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item On choisit 5 comme nombre de départ. Quel résultat obtient-on avec chacun
  des deux programmes ?
  \item Démontrer que, quel que soit le nombre choisi, les résultats obtenus avec les
  deux programmes sont toujours égaux.
\end{enumerate}

\clearpage
\partie{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}{12}

\exercice{1}

Cet exercice est un QCM. Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question,
une seule réponse est exacte. L'échelle des figures n'est pas respectée.

\begin{center}
\small
\begin{tabularx}{\textwidth}{|c|>{\raggedright\arraybackslash}X|>{\centering\arraybackslash}p{1.8cm}|>{\centering\arraybackslash}p{1.8cm}|>{\centering\arraybackslash}p{1.8cm}|}\hline
 & \textbf{Question} & \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{C}\\\hline
1 &
\begin{minipage}{4.2cm}\centering
\begin{tikzpicture}[scale=.5]
  \coordinate (M) at (0,0); \coordinate (N) at (0,2); \coordinate (P) at (4,0);
  \draw (M)--(N)--(P)--cycle;
  \draw (0,0) rectangle (.3,.3);
  \node[left] at (M){$M$};\node[left] at (N){$N$};\node[right] at (P){$P$};
\end{tikzpicture}

$MN=5$ cm et $MP=12$ cm. L'angle $\widehat{MPN}$ vaut environ :
\end{minipage}
&$22{,}6^\circ$&$65{,}4^\circ$&$24{,}6^\circ$\\\hline
2 & Un grand cube a une arête double de celle d'un petit cube. Si leurs volumes
sont $V'$ et $V$, alors : &$V'=4V$&$V'=8V$&$V'=2V$\\\hline
3 & Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 7 et un côté mesure 3.
La longueur manquante est : &$2\sqrt{10}$&$\sqrt{58}$&$4$\\\hline
4 &
\begin{minipage}{4.2cm}\centering
\begin{tikzpicture}[scale=.48]
  \coordinate (K) at (0,0);\coordinate (N) at (-2,2);\coordinate (M) at (-2,-2);
  \coordinate (L) at (1.25,1.25);\coordinate (P) at (1.25,-1.25);
  \draw (N)--(P) (M)--(L) (N)--(M) (L)--(P);
  \node[left] at (N){$N$};\node[above left] at (K){$K$};\node[left] at (M){$M$};
  \node[right] at (L){$L$};\node[right] at (P){$P$};
  \node[below left] at (-1,-1){$4$};\node[above right] at (.55,.55){$2$};
  \node[right] at (1.25,0){$3$};\node[left] at (-2,0){$?$};
\end{tikzpicture}

$(MN)\parallel(LP)$, $KM=4$, $KL=2$ et $LP=3$. La longueur $MN$ est :
\end{minipage}
&6 cm&9 cm&environ 6 cm\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\exercice{2}

Lors de sa sortie au Mont-Saint-Michel, un élève achète un souvenir. Cet objet est
assimilé à un solide composé d'une calotte sphérique de rayon $4{,}5$ cm posée sur un
cylindre de hauteur $3{,}8$ cm.

\begin{center}
\begin{minipage}{.38\linewidth}\centering
\begin{tikzpicture}[scale=.62]
  \coordinate (O) at (0,4.8); \coordinate (O1) at (0,2.1); \coordinate (A) at (3.6,2.1);
  \draw (-3.6,2.1) arc (180:360:3.6 and .7);
  \draw[dashed] (3.6,2.1) arc (0:180:3.6 and .7);
  \draw (-3.6,2.1)--(-3.6,-1.7) (3.6,2.1)--(3.6,-1.7);
  \draw (-3.6,-1.7) arc (180:360:3.6 and .7);
  \draw[dashed] (3.6,-1.7) arc (0:180:3.6 and .7);
  \draw (-3.6,2.1) arc (216.87:-36.87:4.5);
  \draw[dashed] (O)--(O1)--(A) (O)--(A);
  \node[above] at (O){$O$};\node[left] at (O1){$O_1$};\node[right] at (A){$A$};
  \node[left] at ($(O)!0.5!(O1)$){$h$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.58\linewidth}
$O$ est le centre de la calotte sphérique et $O_1$ le centre d'une base du cylindre.
$A$ est un point de la section du cylindre avec la sphère et $O_1A=3{,}6$ cm.
\end{minipage}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item Montrer que $OO_1=2{,}7$ cm.
    \item Quelle est la hauteur totale de l'objet ?
  \end{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item La maquette du Mont située dans la calotte est assimilée à un cône de hauteur
    $4{,}7$ cm et de rayon de base $3{,}6$ cm. Montrer qu'une valeur approchée de son
    volume est $64\text{ cm}^3$.
    \item On admet que la calotte sphérique a un volume d'environ $342\text{ cm}^3$.
    Le volume de la maquette représente-t-il moins de 20\,\% du volume de la calotte ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\clearpage
\partie{PROBLÈME}{12}

Dans le cadre d'un projet pédagogique, des professeurs préparent une sortie au
Mont-Saint-Michel avec les 48 élèves de troisième. Deux activités sont prévues : la
visite du Mont et de son abbaye, puis la traversée à pied de la baie.

\textbf{Partie 1 -- Financement de la sortie}

Le coût total de la sortie s'élève à 120 € par élève.

\begin{enumerate}
  \item Le FSE du collège propose de prendre en charge 15\,\% du coût total. Quelle
  somme prend-il en charge ?
  \item Pour réduire encore le coût, les professeurs organisent une tombola. Chaque
  élève dispose d'une carte de 20 cases, vendues 2 € chacune. En décembre, on obtient :
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{7}{c|}}\hline
Nombre de cases vendues&10&12&14&15&16&18&20\\\hline
Nombre d'élèves&5&12&9&7&5&6&4\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
  \item Quel est le nombre total de cases déjà vendues ?
  \item Quelle somme d'argent cela représente-t-il ?
  \item Quel est le pourcentage d'élèves ayant vendu 15 cases ou moins ? Arrondir à l'unité.
  \item Quel est le nombre moyen de cases vendues par élève ? Arrondir à l'unité.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[start=3]
  \item Les 92 lots sont : un vélo, un lecteur DVD, 20 DVD, 20 clés USB et 50 sachets
  de chocolats. Au moment du tirage, les 960 cases ont été vendues. Une personne a
  acheté une case.
  \begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item Quelle est la probabilité qu'elle gagne un lot ? Arrondir au centième.
    \item Quelle est la probabilité qu'elle gagne une clé USB ? Arrondir au centième.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie 2 -- Travail effectué en mathématiques sur le Mont}

\begin{enumerate}
  \item Alexandre cherche la distance qui le sépare du Mont à l'aide d'un théodolite.
  Le sommet $S$ est à 170 m d'altitude, son œil $O$ est à $1{,}60$ m du sol et
  $\widehat{SOH}=25^\circ$.

  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[scale=.75]
    \coordinate (L) at (0,0);\coordinate (O) at (0,1);\coordinate (H) at (7,1);
    \coordinate (K) at (7,0);\coordinate (S) at (7,5.2);
    \draw (L)--(K)--(S) (O)--(H)--(S) (L)--(O) (O)--(S);   % (O)--(S) : la visée
    \draw (6.7,1) rectangle (7,1.3);
    \draw pic[draw,"$25^\circ$",angle radius=8mm] {angle=H--O--S};
    \node[left] at (L){$L$};\node[left] at (O){$O$};\node[right] at (H){$H$};
    \node[right] at (K){$K$};\node[right] at (S){$S$};
  \end{tikzpicture}
  \end{center}

  À quelle distance $LK$ du Mont se trouve-t-il ? Donner une valeur approchée au mètre.

  \item Le Mont est inscrit dans un rectangle de 225 m sur 285 m. La superficie de sa
  partie émergée se situe-t-elle entre 10 000 et 40 000, entre 40 000 et 80 000, entre
  80 000 et 150 000 ou entre 150 000 et 200 000 mètres carrés ? Justifier.
\end{enumerate}

\textbf{Partie 3 -- La traversée de la baie}

La traversée ne peut se faire qu'à marée basse. Voici un extrait du calendrier des marées :

\begin{center}
\resizebox{\textwidth}{!}{%
\begin{tabular}{|c|c|cc|cc|cc|cc|}\hline
&&\multicolumn{4}{c|}{Pleines mers}&\multicolumn{4}{c|}{Basses mers}\\\cline{3-10}
Date&Jour&\multicolumn{2}{c|}{Matin}&\multicolumn{2}{c|}{Soir}&\multicolumn{2}{c|}{Matin}&\multicolumn{2}{c|}{Soir}\\\hline
1&M&3 h 26&3,65 m&15 h 48&4,05 m&9 h 26&1,00 m&22 h 01&0,80 m\\
2&M&4 h 24&4,00 m&16 h 43&4,25 m&10 h 22&0,85 m&22 h 57&0,60 m\\
3&J&5 h 19&4,15 m&17 h 35&4,40 m&11 h 14&0,70 m&23 h 50&0,45 m\\
4&V&6 h 10&4,20 m&18 h 25&4,45 m&--&--&12 h 03&0,65 m\\
5&S&6 h 58&4,15 m&19 h 13&4,45 m&0 h 40&0,40 m&12 h 51&0,65 m\\
6&D&7 h 43&4,05 m&20 h 00&4,30 m&1 h 30&0,45 m&13 h 57&0,70 m\\
7&L&8 h 27&3,90 m&20 h 46&4,15 m&2 h 16&0,60 m&14 h 23&0,85 m\\
8&M&9 h 11&3,70 m&21 h 31&3,90 m&3 h 01&0,60 m&15 h 09&1,05 m\\
9&M&9 h 57&3,55 m&22 h 20&3,65 m&3 h 46&1,05 m&15 h 57&1,25 m\\
10&J&10 h 49&3,35 m&23 h 16&3,40 m&4 h 35&1,30 m&16 h 51&1,45 m\\\hline
\end{tabular}}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item Quel jour la marée est-elle basse à 11 h 14 ?
    \item Le samedi 5, quelle durée s'écoule entre les deux pleines mers ?
  \end{enumerate}
  \item Les professeurs veulent traverser un mardi après-midi. Quel mardi doivent-ils
  choisir ? Justifier.
  \item Le trajet de 13 km doit être parcouru en 2 h 30. Quelle sera la vitesse moyenne
  du groupe en km/h ?
\end{enumerate}

% -----------------------------------------------------------------------------

\end{document}
