\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
% Sans lmodern, T1 fait tomber pdfTeX sur les fontes ec (bitmap PK) :
% le PDF embarque alors des polices Type 3.
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage{array,tabularx,multicol}   % repris de la source
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text,calc}
\usetikzlibrary{angles,quotes,patterns}   % repris de la source
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{multido}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
\usepackage{needspace}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{scratch3}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tgheros}

\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{DIPLÔME NATIONAL DU BREVET}
\newcommand{\soustitre}{MATHÉMATIQUES -- CENTRES ÉTRANGERS}
\newcommand{\session}{Session de juin 2022}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-centres-etrangers-juin-2022}
\newcommand{\codefiche}{DNBCEN22}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
% Pas de filet entre l'en-tete et le corps.
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\large\bfseries \titre\par}
    {\bfseries\small \soustitre\par}
    {\small\color{gray} \session}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

% ── Réglages et macros repris de la source d'origine ────────────
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{0.45em}
\setlist[enumerate]{itemsep=.35em,topsep=.3em}
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}

\newcommand{\points}[1]{\hfill\textbf{#1 points}}
\newcommand{\exo}[2]{\vspace{.5em}\noindent\textbf{Exercice #1}\points{#2}\par\smallskip}
% scratch3 (chargé par le gabarit) définit déjà \scratch : on surcharge,
% le corps du sujet attend la version d'origine (cartouche orange).
\renewcommand{\scratch}[1]{%
  \tikz[baseline=(x.base)]\node[anchor=base,rounded corners=2pt,
  fill=orange!75,draw=orange!90!black,inner xsep=5pt,inner ysep=2pt](x){\sffamily\small #1};}

\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{.88\linewidth}
\centering
\textbf{Durée de l'épreuve : 2 h \hspace{2cm} 100 points}

L'utilisation de la calculatrice avec mode examen actif est autorisée.\\
L'utilisation de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisée.
\end{minipage}}
\end{center}

Le sujet est constitué de cinq exercices indépendants. Le candidat peut les traiter dans
l'ordre qui lui convient. L'évaluation prend en compte la clarté et la précision des
raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction. Toutes les réponses doivent être
justifiées, sauf mention contraire.

\exo{1}{19}

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

\textbf{Partie A}

Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, trois
réponses sont proposées, une seule est exacte. Recopier le numéro de la question et
indiquer, sans justifier dans cette partie seulement, la réponse choisie.

Dans toute cette partie, on considère la fonction définie par
\[
  f(x)=2x+3.
\]

\begin{center}
\small
\begin{tabularx}{\textwidth}{|>{\raggedright\arraybackslash}X|c|c|c|}
\hline
 & \textbf{Réponse A} & \textbf{Réponse B} & \textbf{Réponse C} \\
\hline
1. La représentation graphique de cette fonction est :
&
\begin{tikzpicture}[x=.34cm,y=.34cm,baseline=-1.1cm]
  \draw[step=1cm,gray!25,very thin] (-2,-1) grid (2,3);
  \draw[->] (-2.2,0)--(2.25,0); \draw[->] (0,-1.2)--(0,3.25);
  \clip (-2,-1) rectangle (2,3); \draw[thick] (-2,-1)--(0,3);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[x=.34cm,y=.34cm,baseline=-1.1cm]
  \draw[step=1cm,gray!25,very thin] (-2,-1) grid (2,3);
  \draw[->] (-2.2,0)--(2.25,0); \draw[->] (0,-1.2)--(0,3.25);
  \draw[thick] (-2,3)--(2,3);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[x=.34cm,y=.34cm,baseline=-1.1cm]
  \draw[step=1cm,gray!25,very thin] (-2,-1) grid (2,3);
  \draw[->] (-2.2,0)--(2.25,0); \draw[->] (0,-1.2)--(0,3.25);
  \clip (-2,-1) rectangle (2,3); \draw[thick] (-.5,-1)--(1.5,3);
\end{tikzpicture}\\
\hline
2. L'image de $-2$ par la fonction $f$ est\ldots & $-7$ & $-1$ & $3$ \\
\hline
3. Dans la feuille de calcul ci-dessous, la formule à saisir dans B2 avant de l'étirer vers la droite est :
& \texttt{=2*A1+3} & \texttt{=2*B1+3} & \texttt{=2*(-2)+3}\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
 & A & B & C \\\hline
1 & $x$ & $-2$ & $-1$ \\\hline
2 & $f(x)$ & & \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
  \item Montrer que $(2x-1)(3x+4)-2x=6x^2+3x-4$.
  \item On considère le triangle $CDE$ tel que $CD=3{,}6$ cm, $CE=4{,}2$ cm et
  $DE=5{,}5$ cm. Le triangle $CDE$ est-il rectangle ?
\end{enumerate}

\exo{2}{20}

Paris--Nice est une course cycliste qui se déroule chaque année et qui mène les coureurs
de la région parisienne à la région niçoise. L'édition 2021 s'est déroulée en sept étapes :

\begin{center}
\scriptsize
\begin{tabular}{|c|l|l|l|r|}\hline
\textbf{Étape}&\textbf{Date}&\textbf{Profil}&\textbf{Parcours}&\textbf{Distance}\\\hline
1&Dimanche 7 mars&Accidenté&Saint-Cyr-l'École $\to$ Saint-Cyr-l'École&166 km\\
2&Lundi 8 mars&Plat&Oinville-sur-Montcient $\to$ Amilly&188 km\\
3&Mercredi 10 mars&Accidenté&Chalon-sur-Saône $\to$ Chiroubles&187,5 km\\
4&Jeudi 11 mars&Plat&Vienne $\to$ Bollène&200 km\\
5&Vendredi 12 mars&Accidenté&Brignoles $\to$ Biot&202,5 km\\
6&Samedi 13 mars&Montagneux&Le Broc $\to$ Valdeblore La Colmiane&119,5 km\\
7&Dimanche 14 mars&Accidenté&Le Plan-du-Var $\to$ Levens&93 km\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item On étudie la série des distances parcourues par étape.
  \begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item Calculer la distance moyenne parcourue par étape, arrondie au dixième de km.
    \item Calculer la médiane des distances parcourues par étape.
    \item Calculer l'étendue de la série formée par les distances parcourues par étape.
  \end{enumerate}
  \item Un journaliste affirme : « Environ 57\,\% du nombre total d'étapes de cette
  édition se sont déroulées sur un parcours accidenté. » A-t-il raison ? Expliquer.
  \item L'Allemand Maximilian Schachmann a remporté la course en 28 h 50 min. Le dernier
  au classement général a effectué l'ensemble du parcours en 30 h 12 min. Combien de
  retard a-t-il accumulé par rapport au vainqueur ?
  \item L'Irlandais Sam Bennett a remporté la première étape en 3 h 51 min. Déterminer
  sa vitesse moyenne en km/h, arrondie à l'unité, lors de cette étape.
\end{enumerate}

\exo{3}{21}

On considère la figure suivante, où toutes les longueurs sont données en centimètres.
Les points $C$, $A$ et $E$ sont alignés et les points $B$, $A$ et $D$ sont alignés.
La figure n'est pas représentée en vraie grandeur.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
  \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (C) at (-4,0);
  \coordinate (E) at (9.6,0); \coordinate (B) at (-2,-3.46);
  \coordinate (D) at (4.8,8.31);
  \draw[thick] (C)--(E) (B)--(D) (C)--(B) (D)--(E);
  \draw pic[draw,angle radius=7mm,"$60^\circ$" {font=\small}] {angle=B--A--C};
  \draw ($(B)!5pt!(C)$)--($($(B)!5pt!(C)$)!5pt!90:(C)$)--($(B)!5pt!(A)$);
  \node[left] at (C) {$C$}; \node[below] at (A) {$A$}; \node[below] at (B) {$B$};
  \node[above] at (D) {$D$}; \node[right] at (E) {$E$};
  \node[above] at (-2,0) {$8$}; \node[above] at (5.1,0) {$19{,}2$};
  \node[right] at (2.4,4.15) {$9{,}6$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item Prouver que le segment $[AB]$ mesure 4 cm.
  \item En utilisant la question précédente, démontrer que les droites $(BC)$ et $(DE)$
  sont parallèles.
  \item En déduire que la droite $(DB)$ est perpendiculaire à la droite $(DE)$.
  \item Calculer l'aire du triangle $ADE$, arrondie à l'unité.
\end{enumerate}

\exo{4}{15}

Dans cet exercice, toutes les longueurs sont exprimées en pixels.

\textbf{Partie A}

Un professeur donne à ses élèves un motif en forme de parallélogramme et le script,
en partie rédigé, qui permet de tracer ce motif. Le lutin est au point de départ et il
est orienté vers la droite.

\begin{center}
\begin{minipage}[c]{.45\linewidth}\centering
\textbf{Parallélogramme obtenu}

\begin{tikzpicture}[scale=.75]
  \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (4,0);
  \coordinate (C) at (5.15,1.38); \coordinate (D) at (1.15,1.38);
  \draw[very thick,->] (-.8,0)--(A) node[midway,above]{\small Départ};
  \draw[very thick] (A)--(B)--(C)--(D)--(A);
  \node[below] at (2,0) {40 pixels}; \node[right] at (4.65,.7) {30 pixels};
  \node at (4.2,.35) {$140^\circ$}; \node at (1.1,1.05) {$40^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{.45\linewidth}\centering
\textbf{Script du motif}

\fbox{\begin{minipage}{.82\linewidth}
\scratch{définir Motif}\par\smallskip
\scratch{répéter 2 fois}\par\smallskip
\hspace{1em}\scratch{avancer de 40}\par\smallskip
\hspace{1em}\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\hspace{7em}}\par\smallskip
\hspace{1em}\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\hspace{7em}}\par\smallskip
\hspace{1em}\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\hspace{7em}}
\end{minipage}}
\end{minipage}
\end{center}

Recopier dans le bon ordre les instructions suivantes à insérer dans le script :
\begin{center}
\scratch{avancer de 30}\qquad
\scratch{tourner à gauche de 40 degrés}\qquad
\scratch{tourner à gauche de 140 degrés}
\end{center}

\textbf{Partie B}

Le professeur demande ensuite à ses élèves d'intégrer ce script dans un programme
permettant de tracer des figures composées de plusieurs motifs.

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{.42\linewidth}|p{.42\linewidth}|}\hline
\centering\textbf{Programme de l'élève A} & \centering\arraybackslash\textbf{Programme de l'élève B}\\\hline
\scratch{quand flèche droite est cliquée}\newline
\scratch{effacer tout}\newline
\scratch{aller à $x=-230$, $y=-170$}\newline
\scratch{s'orienter à 90 degrés}\newline
\scratch{répéter 9 fois}\newline
\hspace{1em}\scratch{stylo en position d'écriture}\newline
\hspace{1em}\scratch{Motif}\newline
\hspace{1em}\scratch{relever le stylo}\newline
\hspace{1em}\scratch{avancer de 50}
&
\scratch{quand espace est cliqué}\newline
\scratch{effacer tout}\newline
\scratch{aller à $x=0$, $y=0$}\newline
\scratch{s'orienter à 90 degrés}\newline
\scratch{répéter 9 fois}\newline
\hspace{1em}\scratch{Motif}\newline
\hspace{1em}\scratch{tourner à gauche de 40 degrés}
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

On rappelle que « s'orienter à 90 degrés » signifie que l'on est orienté vers la droite.

\begin{enumerate}
  \item Quelle action au clavier permet de lancer le programme de l'élève B ?
  \item Parmi les quatre figures ci-dessous, indiquer, sans justifier :
  \begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item laquelle est obtenue avec le programme de l'élève A ;
    \item laquelle est obtenue avec le programme de l'élève B.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\textbf{Figure 1} & \textbf{Figure 2}\\
\begin{tikzpicture}[scale=.25]
\foreach \x in {0,2,...,16}{\draw (\x,0)--++(2,0)--++(.7,1)--++(-2,0)--cycle;}
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[scale=.25]
\foreach \x/\y in {0/0,2/1,4/0,6/1,8/0,10/1,12/0,14/1,16/0}{\draw (\x,\y)--++(2,0)--++(.7,1)--++(-2,0)--cycle;}
\end{tikzpicture}\\[1em]
\textbf{Figure 3} & \textbf{Figure 4}\\
\begin{tikzpicture}[scale=.25]
\foreach \a in {0,40,...,320}{\draw[rotate=\a] (2,0)--(5,0)--(5.7,1)--(2.7,1)--cycle;}
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[scale=.25]
\foreach \a in {0,40,...,320}{\draw[rotate=\a] (0,0)--(3,0)--(3.7,1)--(.7,1)--cycle;}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
\end{center}

\exo{5}{25}

Pour fêter les 25 ans de sa boutique, un chocolatier souhaite offrir aux premiers clients
de la journée une boîte contenant des truffes au chocolat.

\begin{enumerate}
  \item Il a confectionné 300 truffes : 125 parfumées au café et 175 enrobées de noix de
  coco. Il souhaite fabriquer les boîtes de sorte que le nombre de truffes de chaque sorte
  soit le même dans chaque boîte et que toutes les truffes soient utilisées.
  \begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item Décomposer 125 et 175 en produits de facteurs premiers.
    \item En déduire la liste des diviseurs communs à 125 et 175.
    \item Quel nombre maximal de boîtes pourra-t-il réaliser ?
    \item Dans ce cas, combien y aura-t-il de truffes de chaque sorte dans chaque boîte ?
  \end{enumerate}

  \item Le chocolatier souhaite fabriquer des boîtes contenant 12 truffes. Il a le choix
  entre les deux types de boîtes suivants :
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\textbf{Type A} & \textbf{Type B}\\
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
  \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (4,0); \coordinate (C) at (5,1.3);
  \coordinate (D) at (1,1.3); \coordinate (S) at (2.5,5);
  \draw (A)--(B)--(C); \draw[dashed] (C)--(D)--(A);
  \draw (S)--(A) (S)--(B) (S)--(C); \draw[dashed] (S)--(D);
  \node[below] at (2,0) {$4{,}8$ cm}; \node[right] at (3.9,3) {$5$ cm};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
  \draw (0,0) rectangle (5,3.5); \draw (0,3.5)--(1.2,4.5)--(6.2,4.5)--(5,3.5);
  \draw (5,0)--(6.2,1)--(6.2,4.5); \draw[dashed] (0,0)--(1.2,1)--(6.2,1);
  \draw[dashed] (1.2,1)--(1.2,4.5);
  \node[below] at (2.5,0) {$5$ cm}; \node[right] at (5.7,.5) {$3{,}5$ cm};
  \node[left] at (0,1.75) {$3{,}5$ cm};
\end{tikzpicture}\\
Pyramide à base carrée & Pavé droit\\
de côté $4{,}8$ cm et de hauteur $5$ cm &
de longueur $5$ cm, largeur $3{,}5$ cm et hauteur $3{,}5$ cm
\end{tabular}
\end{center}

Chacune des 12 truffes est assimilée à une boule de diamètre $1{,}5$ cm. Pour que les
truffes ne s'abîment pas pendant le transport, le volume occupé par les truffes doit être
supérieur au volume non occupé dans la boîte.

Quel(s) type(s) de boîte le chocolatier doit-il choisir pour que cette condition soit respectée ?

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{.72\linewidth}
\textbf{Rappels}
\[
V_{\text{boule}}=\frac{4}{3}\pi r^3,
\qquad
V_{\text{pyramide}}=\frac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3},
\]
\[
V_{\text{pavé droit}}=\text{longueur}\times\text{largeur}\times\text{hauteur}.
\]
\end{minipage}}
\end{center}

\end{document}
