\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text,calc,patterns}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{multicol}
\usepackage{scratch3}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tgheros}

\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Centres étrangers – Groupe I, 14 juin 2023}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\section*{Exercice 1 \hfill 18 points}

Cet exercice, en deux parties, est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, parmi les réponses proposées, une seule est exacte. Recopier le numéro de la question et indiquer la réponse choisie.

\textbf{Aucune justification n'est attendue ici}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse au programme ci-dessous, composé d'un bloc « triangle équilatéral » et d'un script principal :

\begin{center}
\begin{tabular}{m{6.5cm}|m{6.5cm}}
Bloc « triangle équilatéral » & Script principal\\
\begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{triangle équilatéral}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{} degrés}
}
\end{scratch}
&\begin{scratch}
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
\blockpen{effacer tout}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockmoreblocks{triangle équilatéral}
\blockpen{relever stylo}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
}
\end{scratch}\\
&On rappelle que l'instruction « s'orienter à 90 » signifie s'orienter vers la droite.\\
\end{tabular}

\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Questions&Réponse A&Réponse B&Réponse C\\ \hline
\textbf{1.} On souhaite construire le triangle équilatéral ci-dessous.

Le stylo est orienté à $90\degres$ au départ comme ci-dessous.

Départ\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south),x=1cm,y=1cm]
\draw[->] (-0.5,0)--(0,0);
\draw (0,0)--(1.7,0)--(0.85,1.472)--cycle;
\fill (0.85,0) circle[radius=1.5pt];
\fill (1.272,0.736) circle[radius=1.5pt];
\fill (0.425,0.736) circle[radius=1.5pt];
\end{tikzpicture}

Compléter le script du bloc « triangle équilatéral » avec la valeur qui convient.&$60\degres$&$100\degres$&$120\degres$\\ \hline
\textbf{2.} Parmi les trois figures, laquelle est obtenue avec le script principal ?&%
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm]
% Tri + Tri rotated 90°
\draw (0,0)--(1.2,0)--(0.6,1.039)--cycle;
\draw (0,0)--(0,1.2)--(-1.039,0.6)--cycle;
\end{tikzpicture}
&%
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm]
% Tri + Tri translated by (-1.2,0)
\draw (0,0)--(1.2,0)--(0.6,1.039)--cycle;
\draw (-1.2,0)--(0,0)--(-0.6,1.039)--cycle;
\end{tikzpicture}
&%
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm]
% Tri + Tri rotated 60°
\draw (0,0)--(1.2,0)--(0.6,1.039)--cycle;
\draw (0,0)--(0.6,1.039)--(-0.6,1.039)--cycle;
\end{tikzpicture}
\\ \hline
\textbf{3.} Quel polygone obtient-on si on remplace dans le script principal, la boucle « répéter 2 fois » par une boucle « répéter 6 fois » ?&Un parallélogramme&Un hexagone&Un losange\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Questions&Réponse A&Réponse B&Réponse C\\ \hline
\textbf{1.} $\left(\dfrac23 - \dfrac13 \times\dfrac75\right) \div \dfrac 43 = $&$\dfrac{3}{15} \times \dfrac43$&$\left(\dfrac13 \times \dfrac75 \right) \div \dfrac43$&$\dfrac{3}{15} \times \dfrac34$\\ \hline
\textbf{2.} L'écriture scientifique de $302,4 \times 10^{18}$ est :&$3,024 \times 10^{16}$&$3,024 \times 10^{20}$&$\np{0,3024} \times 10^{21}$\\ \hline
\textbf{3.} On donne ci-dessous la masse de 8 biscuits différents :

12 g ; 10 g ; 18 g ; 8 g ; 12 g ; 15 g ; 11 g ; 13 g

Suite à une erreur de mesure, le biscuit pesant $18$ g pèse en fait $16$ g.

Une fois cette erreur corrigée, la valeur de la médiane sera :&Plus petite.&La même.&Plus grande.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\section*{Exercice 2 \hfill 24 points}

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.}

\medskip

Une famille souhaite installer dans son jardin une cabane.

La partie inférieure de cette cabane est modélisée par le rectangle BCDF :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,>=stealth]
% Outer shape AEFB (A=bottom-left, E=bottom-right, F=upper-right, B=upper-left)
\draw (0,0.2)--(9.5,0.2)--(5.6,2.5)--(1.4,2.5)--cycle;
% FD vertical line
\draw (5.6,2.5)--(5.6,0.2);
% BC vertical line
\draw (1.4,2.5)--(1.4,0.2);
% NM dashed horizontal
\draw[dashed] (1.4,1)--(0.45,1);
% Right-angle marks
\draw (1.4,1) rectangle (1.2,1.2);
\draw (1.4,0.2) rectangle (1.2,0.4);
\draw (5.6,0.2) rectangle (5.8,0.4);
% Arc at E showing angle DEF (from 150° to 180°)
\draw (9.5,0.2) ++(150:0.6) arc (150:180:0.6);
% Labels
\node[below]       at (0,0.2)   {A};
\node[below]       at (1.4,0.2) {C};
\node[below]       at (5.6,0.2) {D};
\node[below right] at (9.5,0.2) {E};
\node[above]       at (5.6,2.5) {F};
\node[above]       at (1.4,2.5) {B};
\node[right]       at (1.4,1)   {N};
\node[above left]  at (0.45,1)  {M};
% Annotations
\node at (8.7,3)   {Toboggan};
\draw[->] (8.7,2.8)--(7.4,1.43);
\node at (0.7,3.1) {Escalier};
\draw[->] (0.6,2.9)--(0.8,1.57);
\end{tikzpicture}
\end{center}

On précise que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{m{4.5cm} X}
$\bullet~$AB = 1,3 m ;&$\bullet~$DE = 2,04 m ;\\
$\bullet~$AC = 0,5 m ;&$\bullet~$Les triangles ABC, BMN et FDE sont rectangles.\\
$\bullet~$BC = DF = 1,2 m ;&\\
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Partie A : Étude du toboggan}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour que le toboggan soit sécurisé, il faut que l'angle $\widehat{\text{DEF}}$ mesure $30\degres$, au degré près.

Le toboggan de cette cabane est-il sécurisé ?
\item Montrer que la rampe du toboggan, EF, mesure environ $2,37$~m.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude de l'échelle}

\medskip

Pour consolider l'échelle, on souhaite ajouter une poutre supplémentaire [MN], comme indiqué sur le modèle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (AC) et (MN) sont parallèles.
\item On positionne cette poutre [MN] telle que BN = 0,84 m. Calculer sa longueur MN.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Étude du bac à sable}

\medskip

Un bac à sable est installé sous la cabane. Il s'agit d'un pavé droit dont les dimensions sont :

$\bullet~$Longueur : $200$ cm

$\bullet~$Largeur : $180$ cm

$\bullet~$Hauteur : $20$ cm

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de ce bac à sable en cm$^3$.
\item On admet que le volume du bac à sable est de $0,72$~m$^3$.

On remplit entièrement ce bac avec un mélange de sable à maçonner et de sable fin dans le ratio 3 : 2.

Vérifier que le volume nécessaire de sable à maçonner est de $0,432$ m$^3$ et que celui de sable fin est de $0,288$~m$^3$.
\item Un magasin propose à l'achat le sable à maçonner et le sable fin, vendus en sacs. D'après les indications ci-dessous, quel est le coût total du sable nécessaire pour remplir entièrement ce bac à sable sachant qu'on ne peut acheter que des sacs entiers ?

\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
Un sac de sable à maçonner : & Un sac de sable fin :\\
Poids : 35 kg & Poids : 25 kg\\
Volume : 0,022~m$^3$ & Volume : 0,016~m$^3$\\
Prix : 2,95~\euro & Prix : 5,95~\euro\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 3 \hfill 15 points}

Amir et Sonia ont chacun inventé un programme de calcul.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
Programme d'Amir & Programme de Sonia\\
$\bullet~~$Choisir un nombre & $\bullet~~$Choisir un nombre\\
$\bullet~~$Soustraire 5 & $\bullet~~$Ajouter 3\\
$\bullet~~$Prendre le double du résultat & $\bullet~~$Multiplier le résultat par le nombre choisi\\
 & $\bullet~~$Soustraire 16
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que si le nombre choisi au départ est 6 alors on obtient 2 avec le programme d'Amir et on obtient 38 avec celui de Sonia.
\item Amir et Sonia souhaitent savoir s'il existe des nombres choisis au départ pour lesquels les deux programmes renvoient le même résultat.

Pour cela, ils complètent la feuille de calcul ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B &C&D &E &F &G &H\\ \hline
1&Nombre choisi&$-2$&$-1$&0&1&2&3&4\\ \hline
2&Programme d'Amir&$-14$& $-12$& $-10$& $-8$& $-6$& $-4$& $-2$\\ \hline
3&Programme de Sonia& $-18$ &$-18$ &$-16$ &$-12$ &$-6$ &$2$ &$12$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Aucune justification n'est attendue pour les deux questions ci-dessous.}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Parmi les trois propositions suivantes, recopier sur votre copie la formule qui a été saisie dans la cellule B2 avant d'être étirée vers la droite.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\centering \arraybackslash}X}
=(B1 $- 5)* 2$ &=($- 2- 5)*2$ &=B1 $- 5*2$
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En vous aidant de la feuille de calcul, quel nombre doivent-ils choisir pour obtenir des résultats égaux avec les deux programmes ?
	\end{enumerate}
\item Sonia et Amir souhaitent vérifier s'il existe d'autres nombres permettant d'obtenir des résultats égaux avec les deux programmes.

Pour cela, ils décident d'appeler $x$ le nombre choisi au départ de chacun des programmes.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le résultat obtenu avec le programme de Sonia est donné par $x^2 + 3x - 16$.
		\item On admet que les programmes donnent le même résultat si on choisit comme nombre de départ les solutions de l'équation $(x - 2)(x + 3) = 0$.

Résoudre cette équation et en déduire les valeurs pour lesquelles les deux programmes de calcul renvoient le même résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 4 \hfill 22 points}

Des élèves organisent, pour leur classe, un jeu au cours duquel il est possible de gagner des lots. Pour cela, ils placent dans une urne trois boules noires numérotées de 1 à 3, et quatre boules rouges numérotées de 1 à 4, toutes indiscernables au toucher.

\bigskip

\textbf{Partie A : étude du jeu}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pioche au hasard une boule dans l'urne.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
		\item Quelle est la probabilité de tirer une boule dont le numéro est un nombre pair ?
	\end{enumerate}
\item Le jeu consiste à piocher, dans l'urne, une première boule, la remettre dans l'urne puis en piocher une seconde.

Pour chacune des boules tirées, on note la couleur ainsi que le numéro.

Pour gagner un lot, il faut tirer la boule rouge numérotée 1 et une boule noire.

Quelle est la probabilité de gagner ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : constitution des lots}

\medskip

Pour constituer les lots, on dispose de 195 figurines et 234 autocollants.

Chaque lot sera composé de figurines ainsi que d'autocollants.

Tous les lots sont identiques.

Toutes les figurines et tous les autocollants doivent être utilisés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Peut-on faire 3 lots ?
\item Décomposer 195 en produit de facteurs premiers.
\item Sachant que la décomposition en produit de facteurs premiers de $234$ est $2 \times 3^2 \times 13$ :
	\begin{enumerate}
		\item Combien de lots peut-on constituer au maximum ?
		\item De combien de figurines et d'autocollants sera alors composé chaque lot ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 5 \hfill 21 points}

Pour se promener le long d'un canal, deux sociétés proposent une location de bateaux électriques.

Les bateaux se louent pour un nombre entier d'heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude du tarif proposé par la société A}

\medskip

Pour la société A, le prix à payer en fonction de la durée de location en heure est donné par le graphique en ANNEXE.

Répondre aux questions ci-dessous à l'aide du graphique.

Aucune justification n'est attendue pour les questions a. et b.
	\begin{enumerate}
		\item Quel prix va-t-on payer en louant un bateau pour 2 heures ?
		\item On dispose d'un budget de $100$~\euro, combien d'heures entières peut-on louer un bateau ?
		\item Expliquer pourquoi le prix est proportionnel à la durée de location.
		\item En déduire à l'aide d'un calcul, le prix à payer pour une durée de location de $10$~heures.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude du tarif proposé par la société B}

\medskip

La société B propose le tarif suivant : $60$~\euro{} de frais de dossier plus $15$~\euro{} par heure de location.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'en louant un bateau pour une durée de 2 heures, le prix à payer sera de $90$~\euro.
		\item On désigne par $x$ le nombre d'heures de location. On appelle $f$ la fonction qui, au nombre d'heures de location, associe le prix, en euro, avec le tarif proposé par la société B.

On admet que $f$ est définie par : $f(x) = 15x + 60$.

Sur le graphique donné en ANNEXE à rendre avec la copie, tracer la courbe représentative de la fonction $f$.
		\item Le prix payé est-il proportionnel à la durée de location ?
	\end{enumerate}
\item \textbf{Comparaison des deux tarifs}
	\begin{enumerate}
		\item On souhaite louer un bateau pour une durée de 3 heures.

Quelle société doit-on choisir pour avoir le tarif le moins cher ?

Quel prix va-t-on payer dans ce cas ?
		\item Pour quelle durée de location le prix payé est-il identique pour les deux sociétés ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\Large \textbf{ANNEXE}}

\bigskip

\textbf{À compléter et à rendre avec la copie}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Prix payé pour la location d'un bateau en fonction de la durée de la location}

\medskip

\begin{tikzpicture}[x=1.4cm,y=0.028cm,>=stealth]
% Vertical grid lines: x from 0 to 8.25, step 0.5
\foreach \x in {0,0.5,...,8.25}
  \draw[very thin,gray!40,line width=0.6pt] (\x,0)--(\x,280);
% Horizontal grid lines: y from 0 to 280, step 10
\foreach \y in {0,10,...,280}
  \draw[very thin,gray!40,line width=0.6pt] (0,\y)--(8.25,\y);
% Axes
\draw[->,line width=1.25pt] (0,0)--(8.5,0);
\draw[->,line width=1.25pt] (0,0)--(0,288);
% x-axis ticks and labels at 1,2,...,8
\foreach \x in {1,...,8} {
  \draw[line width=1pt] (\x,3)--(\x,-3);
  \node[below,font=\scriptsize] at (\x,-8) {$\x$};
}
% y-axis ticks and labels at 0,50,...,250
\foreach \y in {0,50,...,250} {
  \draw[line width=1pt] (0.12,\y)--(-0.12,\y);
  \node[left,font=\scriptsize] at (-0.18,\y) {$\y$};
}
% Line y = 30x (Société A)
\draw[line width=1.25pt,blue] (0,0)--(8.25,247.5);
% Axis labels
\node[below,font=\small] at (4.125,-20) {Durée de location (en heures)};
\node[above right,font=\small] at (0,288) {Prix payé (en \euro)};
\node[rotate=31,font=\small] at (7.5,225) {Société A};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}
