\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Martinique, 3 juillet 2024}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\section*{Exercice 1 \hfill 20 points}

\begin{enumerate}
\item Anne et Jean ont acheté $630$ dragées roses et $810$~dragées blanches qu'ils ont mises dans un sachet. On suppose que les dragées sont indiscernables au toucher.
	\begin{enumerate}
		\item Combien Anne et Jean ont-ils acheté de dragées au total ?
		\item Anne prend au hasard une dragée dans le sachet. Quelle est la probabilité qu'elle
obtienne une dragée blanche ?
	\end{enumerate}
\item Avec ces dragées, ils réalisent des ballotins pour leur mariage de sorte que :
\begin{itemize}
\item le nombre de dragées roses est le même dans chaque ballotin ;
\item le nombre de dragées blanches est le même dans chaque ballotin ;
\item toutes les dragées soient utilisées.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Peuvent-ils réaliser $21$ ballotins ?
		\item Décomposer $630$ et $810$ en produits de facteurs premiers.
		\item En déduire le nombre maximum de ballotins qu'Anne et Jean pourront réaliser.
Donner alors la composition de chaque ballotin.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 2 \hfill 18 points}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

\textbf{Aucune justification n'est demandée}.

Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées.

\textbf{Une seule réponse est exacte.}

Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.4cm}|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|m{6.4cm}|}{}&Réponse A & Réponse B & Réponse C \\ \hline
\multicolumn{2}{|m{6.4cm}|}{\textbf{Question 1}

Quelle est l'écriture scientifique de \np{13420} ?} &
$1,342 \times 10^{-4}$ & $1,342 \times 10^4$ & $\np{1342} \times 10^1$\\ \hline
\multicolumn{2}{|m{6.4cm}|}{\textbf{Question 2}

On a relevé, en mètres, les onze meilleures performances du lancer de marteau chez les hommes :

85,14~;~85,14~;~85,20~;~85,60~;~85,68~;~85,74~;

86,04~;~86,34~;~86,51~;~86,66~;~86,74.

Quelle est la médiane de cette série ?}&85,74&85,86&85,89\\ \hline

\multirow{2}{3.4cm}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
% 16 sectors (kite-shaped quadrilaterals, as in original)
\foreach \n in {0,22.5,...,337.5} {
  \draw (0,0)
    -- ({1.6*cos(\n)},{1.6*sin(\n)})
    -- ({2.1*cos(\n+11.25)},{2.1*sin(\n+11.25)})
    -- ({1.6*cos(\n+22.5)},{1.6*sin(\n+22.5)})
    -- cycle;
}
% Gray sector (at 157.5° to 180°, the 16th sector with no number)
\fill[lightgray]
    (0,0)
    -- ({1.6*cos(157.5)},{1.6*sin(157.5)})
    -- ({2.1*cos(168.75)},{2.1*sin(168.75)})
    -- ({1.6*cos(180)},{1.6*sin(180)})
    -- cycle;
\draw
    (0,0)
    -- ({1.6*cos(157.5)},{1.6*sin(157.5)})
    -- ({2.1*cos(168.75)},{2.1*sin(168.75)})
    -- ({1.6*cos(180)},{1.6*sin(180)})
    -- cycle;
% Outer circle
\draw[line width=1.25pt] (0,0) circle (2.1);
% Symmetry line (d) at 112.5° – 292.5°
\draw[line width=1.25pt]
    ({2.3*cos(112.5)},{2.3*sin(112.5)})
    -- ({2.3*cos(292.5)},{2.3*sin(292.5)});
\node[above right,font=\small] at ({2.4*cos(115)},{2.4*sin(115)}) {$(d)$};
% Numbers 1–15 at radius 1.2
\foreach \nb/\i in {
  146.25/1, 123.75/2, 101.25/3, 78.75/4, 56.25/5,
  33.75/6,  11.25/7, -11.25/8,-33.75/9,-56.25/10,
 -78.75/11,-101.25/12,-123.75/13,-146.25/14,-168.75/15} {
  \node[font=\footnotesize] at ({1.2*cos(\nb)},{1.2*sin(\nb)}) {\i};
}
\end{tikzpicture}%
}&\textbf{Question 3}

Quelle est l'image du motif gris par la symétrie d'axe $(d)$ ?&Le motif 8&Le motif 15&Le motif 5
\\ \cline{2-5}
&\textbf{Question 4}

Quelle est l'image du motif gris par la rotation de centre O et d'angle $90\degres$ dans le sens antihoraire ?&Le motif 4&Le motif 12&Le motif 13\\ \hline

\multirow{2}{3.4cm}{%
\begin{tikzpicture}[x=0.5cm,y=0.35cm,>=stealth]
\begin{scope}
\clip (-1.9,-2.9) rectangle (4,6);
\draw[very thin,gray!60,step=1] (-2,-3) grid (4.1,6.1);
% f(x) = 4 – 2x  : crosses y=6 at x=−1, crosses y=−2.9 at x≈3.45
\draw[line width=1.25pt] (-1,6) -- (3.45,-2.9);
\end{scope}
\draw[->,line width=1.25pt] (-1.9,0) -- (4.3,0);
\draw[->,line width=1.25pt] (0,-2.9) -- (0,6.3);
\foreach \x in {1,2,3,4}
  \draw (\x,0.2)--(\x,-0.2) node[below,font=\scriptsize] {$\x$};
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4,5,6}
  \draw (0.2,\y)--(-0.2,\y) node[left,font=\scriptsize] {$\y$};
\node[below left,font=\scriptsize] at (0,0) {0};
\node[below left,font=\small] at (2.9,-1.3) {$(d)$};
\end{tikzpicture}%
}&\textbf{Question 5}

Quelle est l'image de 2 par la fonction $f$ ?&0&1&4\\ \cline{2-5}
&\textbf{Question 6}

Quel est le coefficient directeur de la droite $(d)$ ?&2 &$-0,5$&$- 2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\section*{Exercice 3 \hfill 22 points}

Sur la figure ci-après, qui n'est pas à l'échelle, on a représenté le trajet de la course que doit faire Oscar.

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Dans le triangle DLA rectangle en L, le point J appartient au segment [DA] et le
point K appartient au segment [DL].

On donne :
\phantom{On donne :}
\begin{tabular}{l}
DL = 600~m ;\\
KJ = 200~m ;\\
DJ = 520 m ;\\
KL = 120 m.
\end{tabular}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{tikzpicture}[x=0.85cm,y=0.85cm,>=stealth]
% Arrows: D→K→J→A
\draw[line width=1.25pt,->] (1.5,0.5) -- (3.5,3.5);
\draw[line width=1.25pt,->] (3.5,3.5) -- (5.2,2.3);
\draw[line width=1.25pt,->] (5.2,2.3) -- (7.9,3.6);
% Point labels
\node[below] at (1.5,0.5) {D};
\node[above left] at (3.5,3.5) {K};
\node[below right] at (5.2,2.3) {J};
\node[right] at (7.9,3.6) {A};
\node[above] at (5,5.8) {L};
% Right angle at L (rotated −128°)
\begin{scope}[shift={(5,5.8)},rotate=-128]
  \draw (0,0) rectangle (0.3,0.3);
\end{scope}
% Dashed lines: K→L→A and D→J
\draw[dashed] (3.5,3.5) -- (5,5.8) -- (7.9,3.6);
\draw[dashed] (1.5,0.5) -- (5.2,2.3);
% Dimension labels
\draw[<->,line width=0.6pt] (0.5,1.3) -- (4,6.6);
\node[rotate=55,font=\small] at (2.1,4.1) {600 m};
\node[rotate=57,font=\small] at (4.5,4.65) {120 m};
\node[rotate=-38,font=\small] at (4.55,3.1) {200 m};
\node[rotate=28,font=\small] at (3.55,1.3) {520 m};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la longueur DK est égale à 480~m.
\item Montrer que le triangle DKJ est rectangle en K.
\item Justifier que les droites (KJ) et (LA) sont parallèles.
\item Montrer que le segment [DA] mesure 650~m.
\item Calculer la longueur du trajet DKJA, fléché sur la figure.
\item Un photographe place une caméra au point D. Afin de filmer l'ensemble de la course
sans bouger la caméra, l'angle $\widehat{\text{LDA}}$ doit être inférieur à $25\degres$.

Est-ce le cas ?
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 4 \hfill 18 points}

On considère le programme de calcul ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$\bullet~$Choisir un nombre\\
$\bullet~$Mettre ce nombre au carré\\
$\bullet~$Soustraire le triple du nombre de départ\\
$\bullet~$Soustraire 4\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que si on choisit 5 comme nombre de départ, le résultat du programme est 6.
\item On choisit $x$ comme nombre de départ.

Exprimer le résultat du programme en fonction de $x$.
\item Vérifier que l'on peut écrire ce résultat sous la forme $(x + 1)(x - 4)$.
\item Déterminer les nombres à choisir au départ pour que le résultat du programme soit 0.
\item Juliette a écrit le programme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{scratch}[num blocks]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{demander \ovalnum{Choisir un nombre} et attendre}
\blockvariable{mettre \selectmenu{x} à \ovalsensing{réponse}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{y} à \ovaloperator{\ovalnum{\ldots}$\times$\ovalnum{\ldots}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{z} à \ovaloperator{\ovalnum{3}$\times$\ovalnum{x}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalnum{\ldots}$-$\ovalnum{\ldots}$-4$}}
\blocklook{dire \ovalnum{Résultat} pendant \ovalnum{5} secondes}
\end{scratch}
\end{center}
\end{enumerate}

Recopier et compléter sur la copie les lignes 4 et 6 du programme afin que celui-ci corresponde au programme de calcul encadré.

\bigskip

\section*{Exercice 5 \hfill 22 points}

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Pour obtenir l'octogone EFGHIJKL ci-contre, on retire quatre triangles rectangles isocèles identiques des coins d'un carré ABCD de côté 5~m.

On donne :

AD $= 5$ m ; EF $= 2,2$ m.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm,>=stealth]
% Square ABCD
\draw (1.4,0.5) rectangle (8.4,7.5);
% Octagon EFGHIJKL
\draw[line width=1.25pt]
  (3.4,7.5)--(6.4,7.5)--(8.4,5.5)--(8.4,2.5)--(6.4,0.5)--(3.4,0.5)--(1.4,2.5)--(1.4,5.5)--cycle;
% Right-angle marks at square corners
\draw (1.4,0.5) rectangle (1.65,0.75);
\draw (1.4,7.5) rectangle (1.65,7.25);
\draw (8.4,7.5) rectangle (8.15,7.25);
\draw (8.4,0.5) rectangle (8.15,0.75);
% — Single ticks (\barc) on the 8 short square-edge segments —
% Top: AE midpoint (2.4,7.5), FB midpoint (7.4,7.5)
\draw (2.4,7.4)--(2.4,7.6);
\draw (7.4,7.4)--(7.4,7.6);
% Bottom: DJ midpoint (2.4,0.5), IC midpoint (7.4,0.5)
\draw (2.4,0.4)--(2.4,0.6);
\draw (7.4,0.4)--(7.4,0.6);
% Left: AL midpoint (1.4,6.5), DK midpoint (1.4,1.5)
\draw (1.3,6.5)--(1.5,6.5);
\draw (1.3,1.5)--(1.5,1.5);
% Right: BG midpoint (8.4,6.5), CH midpoint (8.4,1.5)
\draw (8.3,6.5)--(8.5,6.5);
\draw (8.3,1.5)--(8.5,1.5);
% — Double ticks (\bara) on the 4 horizontal/vertical octagon sides —
% Top EF midpoint (5,7.5)
\draw (4.95,7.4)--(4.95,7.6)  (5.05,7.4)--(5.05,7.6);
% Bottom IJ midpoint (5,0.5)
\draw (4.95,0.4)--(4.95,0.6)  (5.05,0.4)--(5.05,0.6);
% Right GH midpoint (8.4,4) — ticks horizontal
\draw (8.3,3.95)--(8.5,3.95)  (8.3,4.05)--(8.5,4.05);
% Left KL midpoint (1.4,4) — ticks horizontal
\draw (1.3,3.95)--(1.5,3.95)  (1.3,4.05)--(1.5,4.05);
% — Triple ticks (\barb) on the 4 diagonal octagon sides —
% LE midpoint (2.4,6.5) at 45°
\begin{scope}[shift={(2.4,6.5)},rotate=45]
  \draw (-0.05,-0.1)--(-0.05,0.1) (0,-0.1)--(0,0.1) (0.05,-0.1)--(0.05,0.1);
\end{scope}
% FG midpoint (7.4,6.5) at −45°
\begin{scope}[shift={(7.4,6.5)},rotate=-45]
  \draw (-0.05,-0.1)--(-0.05,0.1) (0,-0.1)--(0,0.1) (0.05,-0.1)--(0.05,0.1);
\end{scope}
% HI midpoint (7.4,1.5) at 45°
\begin{scope}[shift={(7.4,1.5)},rotate=45]
  \draw (-0.05,-0.1)--(-0.05,0.1) (0,-0.1)--(0,0.1) (0.05,-0.1)--(0.05,0.1);
\end{scope}
% JK midpoint (2.4,1.5) at −45°
\begin{scope}[shift={(2.4,1.5)},rotate=-45]
  \draw (-0.05,-0.1)--(-0.05,0.1) (0,-0.1)--(0,0.1) (0.05,-0.1)--(0.05,0.1);
\end{scope}
% Point labels
\node[above left]  at (1.4,7.5) {A};
\node[above right] at (8.4,7.5) {B};
\node[below right] at (8.4,0.5) {C};
\node[below left]  at (1.4,0.5) {D};
\node[above]       at (3.4,7.5) {E};
\node[above]       at (6.4,7.5) {F};
\node[right]       at (8.4,5.5) {G};
\node[right]       at (8.4,2.5) {H};
\node[below]       at (6.4,0.5) {I};
\node[below]       at (3.4,0.5) {J};
\node[left]        at (1.4,2.5) {K};
\node[left]        at (1.4,5.5) {L};
% Dimension lines
\draw[<->,line width=0.6pt] (3.4,8.1) -- (6.4,8.1);
\node[above] at (5,8.1) {2,2 m};
\draw[<->,line width=0.6pt] (0.6,0.5) -- (0.6,7.5);
\node[rotate=90] at (0.35,4) {5 m};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la longueur AE est égale à 1,4 m.
		\item Montrer que l'aire du triangle AEL est égale à 0,98 m$^2$.
		\item En déduire que l'aire de l'octogone grisé est égale à $21,08$ m$^2$.
	\end{enumerate}
\item Cet octogone a les mêmes dimensions que la surface d'une piscine de hauteur 1,50 m.

On souhaite remplir cette piscine aux trois quarts de sa hauteur.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume d'eau nécessaire est environ égal à $24~\text{m}^3$.
		\item Sachant que le débit du robinet utilisé pour remplir la piscine est de $12$~L/min, calculer la
durée de remplissage de ces $24~\text{m}^3$ d'eau.

Donner le résultat en heures et minutes.

\emph{Rappel} : $1~\text{m}^3 = \np{1000}$~L.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
