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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
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% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Métropole – Antilles-Guyane, 1\up{er} juillet 2024}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Brevet des collèges -- Métropole – Antilles-Guyane, 1\up{er} juillet 2024}
\end{center}

\bigskip

{\large\textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}}

\medskip

Au casino, la roulette est un jeu de hasard pour lequel chaque joueur mise au choix sur un ou
plusieurs numéros.

On lance une bille sur une roue qui tourne, numérotée de 0 à 36.

La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro.

\begin{center}
% Roue de roulette : 37 cases (0-36), alternance rouge/noir, 0 en vert
% Reconstruction TikZ de la figure d'origine (secteurs noirs alternés)
\begin{tikzpicture}[line cap=round]
    % 19 secteurs noirs : début à -2.125°, pas de 19.46° (= 2×360/37), largeur 9.73° (= 360/37)
    \foreach \i in {0,...,18} {
        \pgfmathsetmacro{\n}{-2.125 + \i * 19.46}
        \pgfmathsetmacro{\na}{\n + 9.73}
        \fill[black] (\n:1.8) -- (\n:3.4) arc (\n:\na:3.4) -- (\na:1.8) arc (\na:\n:1.8) -- cycle;
    }
    \draw (0,0) circle[radius=1.8];
    \draw (0,0) circle[radius=2.5];
    \draw (0,0) circle[radius=3.4];
    \draw (0,0) circle[radius=3.55];
    \draw[line width=2pt] (0,0) circle[radius=3.75];
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi la probabilité que la bille s'arrête sur le numéro 7 est
$\dfrac{1}{37}$.
\item Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur une case à la fois noire et paire.
\item
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6.
        \item En déduire la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7.
        \item Un joueur affirme qu'on a plus de 3 chances sur 4 d'obtenir un numéro supérieur ou
        égal à 7. A-t-il raison ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large\textbf{Exercice 2 \hfill 20 points}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|l|}\hline
Programme A & Programme B\\ \hline
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre.
\item Prendre le carré du nombre choisi.
\item Multiplier le résultat par 2.
\item Ajouter le double du nombre de départ.
\item Soustraire 4 au résultat.
\end{itemize}
&
\begin{scratch}[num blocks,scale=0.7]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blocksensing{demander \ovalnum{Choisir un nombre}~ et attendre}
\blockvariable{mettre \selectmenu{nombre choisi} à \ovalsensing{réponse}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat 1} à \ovaloperator{\ovalvariable{Nombre choisi} + \ovalnum{2}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat 2} à \ovaloperator{\ovalvariable{Nombre choisi} - \ovalnum{1}}}
\blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{Le résultat est} et \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat 1} * \ovalvariable{Résultat 2}}}}
\end{scratch}
\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Vérifier que, si on choisit 5 comme nombre de départ, le résultat du programme A est 56.
        \item Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit $-9$ comme nombre de départ ?
    \end{enumerate}
\item On choisit un nombre quelconque $x$ comme nombre de départ.
    \begin{enumerate}
        \item Parmi les trois propositions ci-dessous, recopier l'expression qui donne le résultat
        obtenu par le programme B.
        \[E_1 = (x + 2) - 1\qquad E_2 = (x + 2) \times (x - 1)\qquad E_3 = x + 2 \times x - 1\]
        \item Exprimer en fonction de $x$ le résultat obtenu avec le programme A.
    \end{enumerate}
\item Démontrer que, quel que soit le nombre choisi au départ, le résultat du programme A est
toujours le double du résultat du programme B.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large\textbf{Exercice 3 \hfill 22 points}}

\medskip

Sur la figure ci-dessous, on a :

\medskip

\begin{itemize}
\item $\mathcal{C}$ est un cercle de centre O et de rayon $4{,}5$~cm ;
\item [AB] est un diamètre de ce cercle et D est un point du cercle ;
\item les points B, E, A sont alignés, ainsi que les points D, F, A ;
\item les droites (BD) et (EF) sont parallèles ;
\item BD $= 5{,}4$ cm~;~DA $= 7{,}2$ cm et AE $= 2{,}7$ cm.
\end{itemize}

\begin{center}
% cercle C, triangle ABD inscrit, points E et F
\begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm,>=stealth,line cap=round]
    % cercle C de rayon 4
    \draw (0,0) circle[radius=4];
    \node[above right] at ({4*cos(50)},{4*sin(50)}) {$\mathcal{C}$};
    % triangle ABD inscrit : A=(4;0°), D=(4;100°), B=(4;180°)
    \draw ({4*cos(0)},{4*sin(0)})
       -- ({4*cos(100)},{4*sin(100)})
       -- ({4*cos(180)},{4*sin(180)}) -- cycle;
    % segment EF
    \draw (1.3,0) -- (2.4,1.34);
    % étiquettes
    \node[right]      at ({4*cos(0)},0)              {A};
    \node[left]       at ({4*cos(180)},0)             {B};
    \node[above left] at ({4*cos(100)},{4*sin(100)})  {D};
    \node[below]      at (1.3,0)                      {E};
    \node[above right]at (2.4,1.34)                   {F};
    \node[below]      at (0,0)                        {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que le diamètre [AB] mesure 9 cm.
\item Démontrer que le triangle ABD est rectangle en D.
\item Calculer AF.
\item
    \begin{enumerate}
        \item Justifier que l'aire du triangle ABD est égale à $19{,}44~\text{cm}^2$.
        \item Calculer l'aire du disque, arrondie au centième.
    \end{enumerate}

\emph{Rappel} : l'aire du disque est égale à $\pi \times R^2$, où $R$ est le rayon du disque.
\item Quel pourcentage de l'aire du disque représente l'aire du triangle ABD ?
\end{enumerate}

\bigskip

{\large\textbf{Exercice 4 \hfill 18 points}}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées.\\
Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte.\\
Aucune justification n'est demandée.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{8cm}|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Question} & \textbf{Réponse A} & \textbf{Réponse B} & \textbf{Réponse C}\\ \hline
\textbf{1.} On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 2$.
Quelle est l'image de $-4$ par cette fonction ?
& $-14$ & $-10$ & $-3$\\ \hline
\textbf{2.} Combien vaut $(-5)^3$ ?
& $-125$ & $-15$ & $125$\\ \hline
\textbf{3.} Quelle est l'image du point J par la translation qui transforme C en A ?
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm]
    \foreach \x in {0,1,2,3} \foreach \y in {0,1,2} {
        \fill (\x,\y) circle[radius=2pt];
    }
    \node[above right,font=\small] at (0,1) {A};
    \node[above right,font=\small] at (0,2) {B};
    \node[above right,font=\small] at (1,2) {C};
    \node[above right,font=\small] at (1,1) {D};
    \node[above right,font=\small] at (1,0) {E};
    \node[above right,font=\small] at (0,0) {F};
    \node[above right,font=\small] at (2,2) {G};
    \node[above right,font=\small] at (3,2) {H};
    \node[above right,font=\small] at (3,1) {I};
    \node[above right,font=\small] at (2,1) {J};
    \node[above right,font=\small] at (3,0) {K};
    \node[above right,font=\small] at (2,0) {L};
\end{tikzpicture}
\end{center}
& H & E & D\\ \hline
\textbf{4.}
\begin{minipage}[t]{2.3cm}Quel est l'antécédent de 3 par la fonction $f$ ?
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{3.8cm}
\begin{tikzpicture}[x=0.5cm,y=0.5cm,>=stealth,line cap=round]
    \begin{scope}
        \clip (-1,-3.5) rectangle (4,4);
        \draw[gray,very thin,step=1] (-1,-3) grid (4,4);
        % f(x) = 3 - 2x
        \draw[blue,line width=1.25pt] (-1,5) -- (3,-3);
    \end{scope}
    \draw[->,line width=1.25pt] (-1,0) -- (4,0);
    \draw[->,line width=1.25pt] (0,-3) -- (0,4);
    \foreach \x in {1,2,3} {
        \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1);
        \node[below,font=\scriptsize] at (\x,-0.15) {$\x$};
    }
    \foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3} {
        \draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y);
        \node[left,font=\scriptsize] at (-0.15,\y) {$\y$};
    }
    \node[above right,blue,font=\scriptsize] at (1,1) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
& $3$ & $-3$ & $0$\\ \hline
\textbf{5.} On a mesuré les tailles, en m, de sept élèves :
\[1{,}46~;~1{,}65~;~1{,}6~;~1{,}72~;~1{,}7~;~1{,}67~;~1{,}75\]
Quelle est la médiane, en m, de ces tailles ?
& $1{,}72$ & $1{,}67$ & $1{,}65$\\ \hline
& & & \\[-2mm]\hline
\begin{minipage}[t]{3.8cm}
\textbf{6.} {\small Dans le triangle ABC rectangle en A ci-contre, qui n'est pas en vraie
grandeur, quelle est la valeur de $\cos\alpha$ ?}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{3.8cm}
\begin{tikzpicture}[x=0.7cm,y=0.7cm,line cap=round,>=stealth]
    % triangle ABC : A=(0.6,0.3), B=(5.1,0.3), C=(0.6,2.1)
    \draw (0.6,0.3) -- (5.1,0.3) -- (0.6,2.1) -- cycle;
    % angle droit en A
    \draw (0.6,0.3) rectangle (0.8,0.5);
    % arc α en B (de 160° à 180°, rayon 0.5)
    \draw (5.1,0.3) ++(160:0.5) arc (160:180:0.5);
    % étiquettes
    \node[below left]  at (0.6,0.3)  {A};
    \node[below right] at (5.1,0.3)  {B};
    \node[above left]  at (0.6,2.1)  {C};
    \node[left,font=\small]  at (0.6,1.2) {3};
    \node[below,font=\small] at (2.85,0.3) {4};
    \node[above right,font=\small] at (2.85,1.2) {5};
    \node[above left,font=\small]  at (4.6,0.3) {$\alpha$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
& $0{,}8$ & $0{,}75$ & $0{,}6$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

{\large\textbf{Exercice 5 \hfill 20 points}}

\medskip

Un club de natation propose un après-midi découverte pour les enfants.

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

La présidente du club veut offrir des petits sachets cadeaux tous identiques contenant des
autocollants et des drapeaux avec le logo du club. Elle a acheté 330 autocollants et 132 drapeaux
et veut tous les utiliser. Elle veut que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre
d'autocollants et que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre de drapeaux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pourquoi n'est-il pas possible de faire 15 sachets ?
\item
    \begin{enumerate}
        \item Décomposer 330 et 132 en produits de facteurs premiers.
        \item En déduire le plus grand nombre de sachets que la présidente pourra réaliser.
        \item Dans ce cas, combien mettra-t-elle d'autocollants et de drapeaux dans chaque sachet ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

La piscine a la forme d'un pavé droit représenté ci-dessous.

\begin{minipage}[t]{7cm}
Elle est remplie aux $\dfrac{9}{10}$ du volume.

1~m$^3$ d'eau coûte $4{,}14$~\euro.

Combien coûte le remplissage de la piscine ?
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{8cm}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round,line join=round,>=stealth]
    % face avant
    \draw (2,0.5) rectangle (5.5,2.1);
    % face supérieure et droite
    \draw (5.5,2.1) -- (4,3.9) -- (0.8,3.9) -- (2,2.1);
    % face gauche
    \draw (2,0.5) -- (0.8,2.3) -- (0.8,3.9) -- (2,2.1);
    % arêtes cachées (tiretées)
    \draw[dashed] (0.8,2.3) -- (4,2.3) -- (4,3.9);
    \draw[dashed] (4,2.3) -- (5.5,0.5);
    % cotations
    \draw[<->,line width=0.6pt] (2,0.4) -- (5.5,0.4);
    \node[below] at (3.75,0.4) {15 m};
    \draw[<->,line width=0.6pt] (5.6,0.5) -- (5.6,2.1);
    \node[right] at (5.6,1.3) {2 m};
    \draw[<->,line width=0.6pt] (1.9,0.4) -- (0.7,2.2);
    \node[below left] at (1.3,1.3) {25 m};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\end{document}
