\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Métropole – Antilles-Guyane, 26 juin 2014}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-metropole-juin-2014}
\newcommand{\codefiche}{DNBMET14}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.91\linewidth}
\centering Indication portant sur l'ensemble du sujet

\raggedright Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la
recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.
\end{minipage}}
\end{center}

\exercice{1}{5}

\begin{minipage}[t]{0.61\linewidth}
Voici un octogone régulier ABCDEFGH.

\begin{enumerate}
  \item Représenter un agrandissement de cet octogone en l'inscrivant dans un cercle de rayon
  3 cm. Aucune justification n'est attendue pour cette construction.
  \item Démontrer que le triangle DAH est rectangle.
  \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BEH}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.34\linewidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
  \foreach \i/\n in {0/A,1/B,2/C,3/D,4/E,5/F,6/G,7/H}{
    \coordinate (\n) at ({67.5+45*\i}:1.45);
  }
  \draw (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(G)--(H)--cycle;
  \foreach \n in {A,B,C,D,E,F,G,H}{\node at ($(0,0)!1.16!(\n)$) {$\n$};}
  \node at (0,0) {$\times$};
  \node[below right=1pt] at (0,0) {$O$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\exercice{2}{6}

Léa a besoin de nouveaux cahiers. Pour les acheter au meilleur prix, elle étudie les offres
promotionnelles de trois magasins. Dans ces trois magasins, le modèle de cahier dont elle a besoin
a le même prix avant promotion.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.28\linewidth}|@{\hspace{0.8em}}|>{\centering\arraybackslash}m{0.28\linewidth}|@{\hspace{0.8em}}|>{\centering\arraybackslash}m{0.28\linewidth}|}
\hline
\textbf{Magasin A} & \textbf{Magasin B} & \textbf{Magasin C}\\
Cahier à l'unité ou lot de 3 cahiers pour le prix de 2.
& Pour un cahier acheté, le deuxième à moitié prix.
& 30\,\% de réduction sur chaque cahier acheté.\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item Expliquer pourquoi le magasin C est plus intéressant si elle n'achète qu'un cahier.
  \item Quel magasin doit-elle choisir si elle veut acheter :
  \begin{enumerate}
    \item deux cahiers ?
    \item trois cahiers ?
  \end{enumerate}
  \item La carte de fidélité du magasin C permet d'obtenir 10\,\% de réduction sur le ticket de
  caisse, y compris sur les articles ayant déjà bénéficié d'une première réduction.

  Léa possède cette carte de fidélité, elle l'utilise pour acheter un cahier. Quel pourcentage de
  réduction totale va-t-elle obtenir ?
\end{enumerate}

\exercice{3}{5}

Voici un programme de calcul :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[
  >=Stealth,
  box/.style={draw,minimum width=2.1cm,minimum height=0.65cm},
  every node/.style={align=center}
]
  \node (start) {Choisir un nombre};
  \node[box,below=0.45cm of start] (n) {};
  \node[box,below left=1.2cm and 1.5cm of n] (a) {};
  \node[box,below right=1.2cm and 1.5cm of n] (b) {};
  \node[box,below=1.7cm of n] (r) {Résultat};
  \draw[->] (start)--(n);
  \draw[->] (n)--node[above left]{Soustraire 6}(a);
  \draw[->] (n)--node[above right]{Soustraire 2}(b);
  \draw[->] (a)--node[above right,pos=.55]{Multiplier les deux\\nombres obtenus}(r);
  \draw[->] (b)--(r);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item Montrer que si on choisit 8 comme nombre de départ, le programme donne 12 comme résultat.
  \item Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle
  que les réponses doivent être justifiées.

  \textbf{Proposition 1 :} Le programme peut donner un résultat négatif.

  \textbf{Proposition 2 :} Si on choisit $\dfrac12$ comme nombre de départ, le programme donne
  $\dfrac{33}{4}$ comme résultat.

  \textbf{Proposition 3 :} Le programme donne 0 comme résultat pour exactement deux nombres.

  \textbf{Proposition 4 :} La fonction qui, au nombre choisi au départ, associe le résultat du
  programme est une fonction linéaire.
\end{enumerate}

\exercice{4 (modifié)}{3}

Un sac contient 20 jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus. On considère
l'expérience suivante : tirer au hasard un jeton, noter sa couleur et remettre le jeton dans le sac.
Chaque jeton a la même probabilité d'être tiré.

\begin{enumerate}
  \item Le professeur, qui connaît la composition du sac, a simulé un grand nombre de fois
  l'expérience avec un tableur. Il a représenté ci-dessous la fréquence d'apparition des différentes
  couleurs après 1\,000 tirages.

  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[x=0.008cm,y=5cm]
    \draw[xstep=100cm,ystep=.1,gray!45,very thin] (0,0) grid (1000,1);
    \draw[->] (0,0)--(1040,0) node[right]{nombre de tirages};
    \draw[->] (0,0)--(0,1.04) node[above]{fréquence};
    \foreach \x in {0,100,...,1000} \draw (\x,.012)--(\x,-.012) node[below,scale=.65]{\x};
    \foreach \y in {0,.1,...,1} \draw (12,\y)--(-12,\y) node[left,scale=.65]{\pgfmathprintnumber[fixed,precision=1,use comma]{\y}};
    \draw[olive!80!yellow,thick] plot[smooth] coordinates {(0,.1)(20,.32)(50,.28)(100,.48)(150,.53)(220,.50)(350,.49)(500,.50)(700,.49)(1000,.50)};
    \draw[green!45!black,thick] plot[smooth] coordinates {(0,.45)(20,.28)(50,.26)(100,.22)(160,.24)(300,.26)(500,.25)(800,.25)(1000,.25)};
    \draw[red,thick] plot[smooth] coordinates {(0,.2)(20,.31)(50,.24)(100,.20)(180,.18)(300,.21)(500,.20)(750,.21)(1000,.20)};
    \draw[blue,thick] plot[smooth] coordinates {(0,.25)(15,.04)(45,.08)(100,.05)(180,.04)(350,.035)(600,.045)(1000,.05)};
    \node[right,olive!60!black] at (1000,.50) {jaune};
    \node[right,green!45!black] at (1000,.25) {vert};
    \node[right,red] at (1000,.20) {rouge};
    \node[right,blue] at (1000,.05) {bleu};
  \end{tikzpicture}
  \end{center}

  \begin{enumerate}
    \item Quelle couleur est la plus présente dans le sac ? Aucune justification n'est attendue.
    \item Le professeur a construit la feuille de calcul suivante :
  \end{enumerate}

  \begin{center}\small
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
  \hline
   & A & B & C\\ \hline
  1 & Nombre de tirages & \begin{tabular}{c}Nombre de fois où un\\jeton rouge est apparu\end{tabular}
    & \begin{tabular}{c}Fréquence d'apparition\\de la couleur rouge\end{tabular}\\ \hline
  2 & 1 & 0 & 0\\ \hline
  3 & 2 & 0 & 0\\ \hline
  4 & 3 & 0 & 0\\ \hline
  5 & 4 & 0 & 0\\ \hline
  6 & 5 & 0 & 0\\ \hline
  7 & 6 & 1 & 0,166\,666\,667\\ \hline
  8 & 7 & 1 & 0,142\,857\,143\\ \hline
  9 & 8 & 1 & 0,125\\ \hline
  10 & 9 & 1 & 0,111\,111\,111\\ \hline
  11 & 10 & 1 & 0,1\\ \hline
  \end{tabular}
  \end{center}

  Quelle formule a-t-il saisie dans la cellule C2 avant de la recopier vers le bas ?

  \item On sait que la probabilité de tirer un jeton rouge est de $\dfrac15$.
  Combien y a-t-il de jetons rouges dans ce sac ?
\end{enumerate}

\exercice{5}{4}

Dans ce questionnaire à choix multiple, pour chaque question, des réponses sont proposées, une seule
est exacte. Pour chacune des questions, écrire le numéro de la question et recopier la bonne réponse.
Aucune justification n'est attendue.

\begin{center}\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\raggedright\arraybackslash}X|>{\raggedright\arraybackslash}m{0.28\linewidth}|}
\hline
\centering\textbf{Questions} & \centering\arraybackslash\textbf{Propositions}\\ \hline
\textbf{Question 1}\\ Quand on double le rayon d'une boule, son volume est multiplié par :
& a. 2\qquad b. 4\qquad c. 6\qquad d. 8\\ \hline
\textbf{Question 2}\\ Une vitesse égale à $36\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ correspond à :
& \begin{tabular}{@{}l@{}}a. $10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$\\ b. $60\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$\\ c. $100\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$\\ d. $360\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$\end{tabular}\\ \hline
\textbf{Question 3}\\ Quand on divise $\sqrt{525}$ par 5, on obtient :
& \begin{tabular}{@{}l@{}}a. $21\sqrt5$\\ b. $5\sqrt{21}$\\ c. $\sqrt{21}$\\ d. $\sqrt{105}$\end{tabular}\\ \hline
\textbf{Question 4}\\ On donne : 1 To (téraoctet) $=10^{12}$ octets et 1 Go (gigaoctet) $=10^9$ octets.
On partage un disque dur de 1,5 To en dossiers de 60 Go chacun. Le nombre de dossiers obtenus est égal à :
& \begin{tabular}{@{}l@{}}a. 25\\ b. 1\,000\\ c. $4\times10^{22}$\\ d. $2{,}5\times10^{19}$\end{tabular}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\exercice{6}{6}

Pour savoir si les feux de croisement de sa voiture sont réglés correctement, Pauline éclaire un mur
vertical. Elle réalise le schéma ci-dessous (qui n'est pas à l'échelle) et relève les mesures suivantes :

\[PA=0{,}65\ \text{m},\qquad AC=QP=5\ \text{m},\qquad CK=0{,}58\ \text{m}.\]

$P$ désigne le phare, assimilé à un point.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.05,>=Stealth]
  \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (P) at (0,2.2);
  \coordinate (C) at (7,0); \coordinate (K) at (7,1.95);
  \coordinate (Q) at (7,2.2); \coordinate (B) at (7,3.2);
  \coordinate (S) at (8.1,0);
  \draw[thick] (A)--(P)--(K)--(S);
  \draw[thick] (C)--(B);
  \draw[dashed] (P)--(Q);
  \draw (A) rectangle +(0.22,0.22);
  \draw ($(Q)+(0,-.22)$) rectangle +(0.22,0.22);
  \foreach \n/\pos in {A/below left,P/left,C/below,K/right,Q/right,B/above,S/below}{\node[\pos] at (\n) {$\n$};}
  \draw[<->] (-.45,0)--node[left]{$0{,}65$ m}(-.45,2.2);
  \draw[<->] (0,-.45)--node[below]{5 m}(7,-.45);
  \draw[<->] (7.45,0)--node[right]{$0{,}58$ m}(7.45,1.95);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour que l'éclairage d'une voiture soit conforme, les constructeurs déterminent l'inclinaison du
faisceau. Cette inclinaison correspond au rapport $\dfrac{QK}{QP}$. Elle est correcte si ce rapport
est compris entre 0,01 et 0,015.

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que les feux de croisement de Pauline sont réglés avec une inclinaison égale à 0,014.
  \item Donner une mesure de l'angle $\widehat{QPK}$ correspondant à l'inclinaison. On arrondira au
  dixième de degré.
  \item Quelle est la distance $AS$ d'éclairage de ses feux ? Arrondir le résultat au mètre près.
\end{enumerate}

\exercice{7}{7}

Un agriculteur produit des bottes de paille parallélépipédiques.

\textbf{Information 1 :} Dimensions des bottes de paille : $90\ \text{cm}\times45\ \text{cm}\times35\ \text{cm}$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.72,line cap=round,line join=round]
  % Parallélépipède rectangle représentant une botte de paille
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (3.4,0);
  \coordinate (C) at (3.4,1.5);
  \coordinate (D) at (0,1.5);
  \coordinate (E) at (1.1,.7);
  \coordinate (F) at (4.5,.7);
  \coordinate (G) at (4.5,2.2);
  \coordinate (H) at (1.1,2.2);

  \draw[thick] (A)--(B)--(F)--(G)--(H)--(D)--cycle;
  \draw[thick] (B)--(C)--(D);
  \draw[thick] (C)--(G);
  \draw[dashed] (A)--(E)--(F);
  \draw[dashed] (E)--(H);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\textbf{Information 2 :} Le prix de la paille est de 40~\texteuro{} par tonne.

\textbf{Information 3 :} $1\ \text{m}^3$ de paille a une masse de 90 kg.

\begin{enumerate}
  \item Justifier que le prix d'une botte de paille est 0,51~\texteuro{} (arrondi au centime).
  \item Marc veut refaire l'isolation de la toiture d'un bâtiment avec des bottes de paille
  parallélépipédiques.

  Le bâtiment est un prisme droit dont les dimensions sont données sur le schéma ci-dessous.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.72,line join=round,line cap=round]
  % Face avant et direction d'extrusion du prisme droit
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (4,0);
  \coordinate (I) at (0,3.6);
  \coordinate (F) at (4,3.6);
  \coordinate (J) at (0,6.1);
  \coordinate (C) at (9,2);
  \coordinate (G) at (9,5.6);
  \coordinate (K) at (5,8.1);

  % Toiture : JF et KG sont parallèles, tout comme JK et FG
  \fill[gray!55] (J)--(K)--(G)--(F)--cycle;

  % Faces visibles du bâtiment
  \draw[thick] (A)--(B)--(F)--(J)--cycle;
  \draw[thick] (B)--(C)--(G)--(F);
  \draw[thick] (J)--(K)--(G)--(F);

  % Hauteur IF utilisée pour le calcul de la pente du toit
  \draw (I)--(F);
  \draw ($(I)+(0,.34)$)--++(.34,0)--++(0,-.34);

  \foreach \n/\pos in {A/below left,B/below,F/below right,I/left,J/left,K/above,C/below right,G/right}
    \node[\pos] at (\n) {$\n$};

  % Cotations
  \draw[<->] (-.55,0)--node[left]{$7{,}7$ m}(-.55,6.1);
  \draw[<->] (0,-.55)--node[below]{$3{,}6$ m}(4,-.55);
  \draw[<->] (9.55,2)--node[right]{5 m}(9.55,5.6);
  \draw[<->] ($(B)+(0,-.5)$)--node[below right]{$15{,}3$ m}($(C)+(0,-.5)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
  \item[] Il disposera les bottes de paille sur la surface correspondant à la zone grisée, pour créer
  une isolation de 35 cm d'épaisseur.

  Pour calculer le nombre de bottes de paille qu'il doit commander, il considère que les bottes sont
  disposées les unes contre les autres. Il ne tient pas compte de l'épaisseur des planches entre
  lesquelles il insère les bottes.
  \begin{enumerate}
    \item Combien de bottes devra-t-il commander ?
    \item Quel est le coût de la paille nécessaire pour isoler le toit ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
