\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Métropole – Antilles-Guyane, 18 septembre 2023}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Métropole – Antilles-Guyane, 18 septembre 2023}

\vspace{0.4cm}
\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.88\textwidth}
\begin{center}\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet.}\end{center}
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
Pour chaque question, toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.
\end{minipage}}
\end{center}

\vspace{0.4cm}

\textbf{{\large Exercice 1} \hfill 20 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées.

\textbf{Une seule réponse est exacte.}

\textbf{Recopier sur la copie le} numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification
n'est demandée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7.5cm}|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Questions} & \textbf{Réponse A} & \textbf{Réponse B} & \textbf{Réponse C}\\ \hline
\textbf{1.} Citer trois diviseurs de $84$.
& 84, 168 et 252 & 2, 3 et 4 & 2, 5 et 7\\ \hline
\textbf{2.} La pyramide SABCD est un agrandissement de coefficient 2 de la pyramide
SA$'$B$'$C$'$D$'$.
\begin{minipage}[t]{3.6cm}Par quel nombre doit-on multiplier le volume de la pyramide
SA$'$B$'$C$'$D$'$ pour obtenir le volume de la pyramide SABCD ?
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{3.6cm}
% pyramide SABCD avec petite pyramide SA'B'C'D' à mi-hauteur
\begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm,line cap=round,line join=round]
    % arêtes visibles de SABCD
    \draw (0,0) -- (2.7,0) -- (3.5,0.8) -- (0,3.2) -- cycle;
    \draw (2.7,0) -- (0,3.2);
    % petite pyramide A'B'C'D'S (visible)
    \draw (0,1.6) -- (1.4,1.6) -- (1.8,2) -- (0,3.2);
    % arêtes cachées (pointillées)
    \draw[dotted] (1.8,2) -- (0.4,2) -- (0,1.6);
    \draw[dotted] (0,0) -- (0.8,0.8) -- (3.5,0.8);
    \draw[dotted] (0.8,0.8) -- (0,3.2);
    % étiquettes
    \node[below left,font=\footnotesize]  at (0,0)    {A};
    \node[below right,font=\footnotesize] at (2.7,0)  {B};
    \node[right,font=\footnotesize]       at (3.5,0.8){C};
    \node[right,font=\footnotesize]       at (0.8,0.8){D};
    \node[left,font=\footnotesize]        at (0,1.6)  {A$'$};
    \node[below left,font=\footnotesize]  at (1.4,1.6){B$'$};
    \node[above right,font=\footnotesize] at (1.8,2)  {C$'$};
    \node[above right,font=\footnotesize] at (0.4,2)  {D$'$};
    \node[above,font=\footnotesize]       at (0,3.2)  {S};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
& 2 & 8 & 4\\ \hline
\textbf{3.} Quelle est la valeur de l'expression $x^2 + 3x - 5$ pour $x = -2$ ?
& $-15$ & $5$ & $-7$\\ \hline
\textbf{4.} Dans un sac opaque, on dispose de huit boules numérotées de 1 à 8. On tire
une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 2 ?
& $\dfrac12$ & $\dfrac18$ & $\dfrac15$\\ \hline
\textbf{5.} Le triangle DEF est l'image du triangle ABC par une homothétie de centre O.
Quel est son rapport ?
% Homothétie : triangle ACB (petit, gauche) et triangle DEF (grand, droite)
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm,line cap=round]
    \draw (-1.1,0) -- (-0.6,-0.5) -- (-2.3,-0.5) -- cycle;
    \draw (2.2,0) -- (4.5,1.1) -- (1.1,1.1) -- cycle;
    % marqueurs × aux sommets
    \foreach \px/\py in {0/0,-1.1/0,-0.6/-0.5,-2.3/-0.5,2.2/0,4.5/1.1,1.1/1.1} {
        \draw[line width=0.4pt] (\px-0.08,\py-0.08) -- (\px+0.08,\py+0.08)
                                (\px-0.08,\py+0.08) -- (\px+0.08,\py-0.08);
    }
    \node[above,font=\small]      at (-1.1,0)    {A};
    \node[below,font=\small]      at (-2.3,-0.5) {B};
    \node[below,font=\small]      at (-0.6,-0.5) {C};
    \node[below,font=\small]      at (2.2,0)     {D};
    \node[above,font=\small]      at (4.5,1.1)   {E};
    \node[above,font=\small]      at (1.1,1.1)   {F};
    \node[above,font=\small]      at (0,0)        {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}
& $-2$ & $2$ & $-\dfrac12$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\textbf{{\large Exercice 2} \hfill 14 points}

\medskip

\begin{center}
% Losange de côté 2.1 unités (pspicture unité 0.8cm)
\begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm,line cap=round]
    \draw[blue] (0,0) -- (2.1,0) -- ({2.1*cos(60)},{2.1*sin(60)})
                      -- ({2.1*cos(120)},{2.1*sin(120)}) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On souhaite tracer le losange ci-dessus de côté $50$ pas à l'aide du bloc losange.

On a écrit le script ci-dessous avec le logiciel Scratch.

Recopier les lignes 3 et 6 sur la copie en les complétant.

\begin{center}
\begin{scratch}[num blocks]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{losange}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{...} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{...} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{120} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}
\end{center}

\item Préciser sur votre copie quelle figure est associée à chaque script 1, 2 ou 3.

Aucune justification n'est demandée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering\arraybackslash}X}}
Figure A & Figure B & Figure C\\ \hline
% Figure A : 4 losanges côte à côte, pas horizontal de 3 unités, unité 0.3cm
\begin{tikzpicture}[x=0.3cm,y=0.3cm,line cap=round]
\foreach \n in {-3,0,3,6} {
  \draw[blue] (\n,0)--(\n+2.1,0)--(\n+1.2,1.8)--(\n-0.9,1.8)--cycle;
}
\end{tikzpicture}
&
% Figure B : 4 losanges décalés diagonalement, unité 0.25cm
\begin{tikzpicture}[x=0.25cm,y=0.25cm,line cap=round]
\foreach [count=\i from 0] \n/\na in {-3/-0.5,-0.9/0.5,1.2/1.5,3.3/2.5} {
  \draw[blue] (\n,\na)--(\n+2.1,\na)--(\n+1.2,\na+1.8)--(\n-0.9,\na+1.8)--cycle;
}
\end{tikzpicture}
&
% Figure C : 4 losanges avec pas 2.1, unité 0.3cm
\begin{tikzpicture}[x=0.3cm,y=0.3cm,line cap=round]
\foreach \n in {-2.0,0.1,2.2,4.3} {
  \draw[blue] (\n,0)--(\n+2.1,0)--(\n+1.2,1.8)--(\n-0.9,1.8)--cycle;
}
\end{tikzpicture}
\\
Script 1 & Script 2 & Script 3 \\
\begin{scratch}[scale=0.8]
\blockinit{Quand \ovalnum{1} est pressé}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{-220} y: \ovalnum{0}}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
\blockpen{effacer tout}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blockmoreblocks{losange}
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
}
\end{scratch}
&
\begin{scratch}[scale=0.8]
\blockinit{Quand \ovalnum{2} est pressé}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{-220} y: \ovalnum{0}}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
\blockpen{effacer tout}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blockmoreblocks{losange}
\blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas}
}
\end{scratch}
&
\begin{scratch}[scale=0.8]
\blockinit{Quand \ovalnum{3} est pressé}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{-220} y: \ovalnum{0}}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
\blockpen{effacer tout}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blockmoreblocks{losange}
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
\blockvariable{ajouter \ovalnum{30} à y}
}
\end{scratch}
\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans la figure ci-dessous obtenue par le programme associé, décrire une transformation qui
permet d'obtenir le losange ABCD à partir du losange EDCF.

Préciser ses caractéristiques.

\begin{minipage}[t]{7cm}
% Hexagone de 6 losanges tournant par 60° autour de l'origine, unité 1cm
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round]
    \foreach \n in {0,60,...,300} {
        \begin{scope}[rotate=\n]
            \draw[blue] (0,0) -- (1.4,0) -- ({2.42488*cos(30)},{2.42488*sin(30)})
                              -- ({1.4*cos(60)},{1.4*sin(60)}) -- cycle;
        \end{scope}
    }
    \node[above]      at ({2.42488*cos(90)},{2.42488*sin(90)})   {A};
    \node[above right]at ({1.4*cos(60)},{1.4*sin(60)})           {B};
    \node[below]      at (0,-0.15)                               {C};
    \node[above left] at ({1.4*cos(120)},{1.4*sin(120)})         {D};
    \node[above left] at ({2.42488*cos(150)},{2.42488*sin(150)}) {E};
    \node[left]       at ({1.4*cos(180)},{1.4*sin(180)})         {F};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{7cm}
\begin{scratch}[scale=0.9]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockpen{effacer tout}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}
{\blockmoreblocks{losange}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}}
\end{scratch}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{{\large Exercice 3} \hfill 22 points}

\medskip

Une piscine propose deux tarifs d'entrée pour l'année 2023.

\textbf{Tarif A} : $5{,}90$~\euro{} l'entrée.

\textbf{Tarif B} : $4{,}40$~\euro{} l'entrée avec une carte d'abonnement de $30$~\euro{} valable
toute l'année.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Quel est le prix total pour $10$ entrées avec le tarif A ?
        \item Quel est le prix total pour $10$ entrées avec le tarif B ?
    \end{enumerate}
\item On note $f$ et $g$ les fonctions qui modélisent les prix, en euro, respectivement du tarif A
et du tarif B en fonction du nombre $x$ d'entrées.

Donner l'expression de $f(x)$, puis celle de $g(x)$.
\item
    \begin{enumerate}
        \item Résoudre l'équation $5{,}90x = 4{,}40x + 30$.
        \item Quel est le nombre d'entrées pour lequel les tarifs A et B donnent le même prix à
        payer ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

On relève le nombre d'entrées par mois durant une année.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{12}{>{\centering\arraybackslash\footnotesize}X|}}\hline
\footnotesize Mois
& Jan. & Fév. & Mars & Avril & Mai & Juin & Juil. & Août & Sept. & Oct. & Nov. & Déc.\\ \hline
\footnotesize Nombre d'entrées
& \np{12500} & \np{13700} & \np{10400} & \np{13600} & \np{12300} & \np{11700}
& \np{10400} & \np{11600} & \np{10200} & \np{13800} & \np{12600} & \np{11800}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item
    \begin{enumerate}
        \item Calculer le nombre moyen d'entrées par mois.
        \item Calculer l'étendue du nombre d'entrées par mois.
    \end{enumerate}
\item La piscine a la forme d'un pavé droit de longueur $50$~m, de largeur $25$~m et de
profondeur $3$~m. En admettant qu'elle soit entièrement remplie, déterminer en m$^3$ le volume
d'eau qui sera évacué pour réaliser la vidange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large Exercice 4} \hfill 20 points}

\medskip

Un funiculaire est un type de transport en commun circulant sur des rails et dont la traction est
assurée par câble.

Les documents suivants permettent de répondre aux questions.

\medskip

\textbf{Document 1 : tarifs du funiculaire}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|X|m{3.6cm}|m{1.8cm}|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Tarif individuel} &
\multicolumn{2}{|c|}{Tarif de groupe à partir de 20}\\
\multicolumn{2}{|c|}{(tarif enfant accordé pour les enfants} &
\multicolumn{2}{|c|}{personnes (adultes et enfants)}\\
\multicolumn{2}{|c|}{de 5 à 11 ans)} &
\multicolumn{2}{|c|}{}\\ \hline
Aller simple par adulte   & 8 euros      & Aller simple par adulte   & 7 euros\\ \hline
Aller-retour par adulte   & 10 euros     & Aller-retour par adulte   & 8,50 euros\\ \hline
Aller simple par enfant   & 6,50 euros   & Aller simple par enfant   & 5,50 euros\\ \hline
Aller-retour par enfant   & 8 euros      & Aller-retour par enfant   & 7 euros\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Document 2 : trajet du funiculaire vu de profil}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round,line join=round,>=stealth]
    % sol et mur vertical
    \draw (0.5,0) -- (10.7,0) -- (10.7,4);
    % trajet du funiculaire B-A-D (épaisseur 1.25pt)
    \draw[line width=1.25pt] (10.7,4) -- (6.8,2.9) -- (0.5,0);
    % distance horizontale (tiretée)
    \draw[dashed] (6.8,2.9) -- (10.7,2.9);
    % angle droit en C
    \draw (10.7,2.9) rectangle (10.4,3.2);
    % flèche 448,5 m le long du trajet DA
    \draw[<->,line width=0.6pt] (0.3,0.6) -- (6.6,3.5);
    \node[rotate=24.7,font=\small] at (3.45,2.25) {448,5 m};
    % flèche dénivelée
    \draw[<->,line width=0.6pt] (11.5,2.9) -- (11.5,4);
    \node[right,font=\small] at (11.5,3.45) {Dénivelée : 50 m};
    % étiquette longueur horizontale
    \node[below,font=\small] at (8.75,2.9) {Longueur horizontale};
    % labels
    \node[above left]  at (6.8,2.9)  {A};
    \node[above]       at (10.7,4)   {B};
    \node[below right] at (10.7,2.9) {C};
    \node[below left]  at (0.5,0)    {D};
    \node[below right] at (10.7,0)   {E};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Un groupe constitué de 12 adultes et de 8 enfants (âgés de 6 à 10 ans) fait un aller-retour
en funiculaire.
    \begin{enumerate}
        \item Quel est le prix à payer par le groupe en utilisant le tarif individuel ?
        \item Quel est le prix à payer par le groupe en utilisant le tarif de groupe ?
        \item Déterminer le pourcentage de la réduction obtenue en appliquant le tarif groupe par
        rapport au tarif individuel.
    \end{enumerate}
\item Sur la première partie du trajet [DA], le funiculaire parcourt $448{,}5$~m en 8~min 45~s.

Quelle est sa vitesse moyenne en mètres par seconde ? On donnera le résultat au centième près.
\item Sur la dernière partie du trajet [AB], la pente est de 25\,\% et la dénivelée BC est de
$50$~m, calculer la longueur horizontale AC.
\end{enumerate}

\emph{Définition} : Pente $= \dfrac{\text{Dénivelée}}{\text{Longueur horizontale}}$

\bigskip

\textbf{{\large Exercice 5} \hfill 24 points}

\medskip

\emph{La figure ci-dessous n'est pas à l'échelle}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round,line join=round,>=stealth]
    % triangle BCA
    \draw[line width=1.25pt] (0,0) -- (9.3,0) -- (2.2,5) -- cycle;
    % hauteur AH
    \draw[line width=1.25pt] (2.2,5) -- (2.2,0);
    % segment MN
    \draw[line width=1.25pt] (1.03,2.4) -- (5.9,2.4);
    % angle droit en H
    \draw (2.2,0) rectangle (2.5,0.3);
    % flèches de cotation
    \draw[<->,line width=0.6pt] (-1,0.45) -- (0,2.85);
    \node[rotate=67.4,font=\small] at (-0.65,1.85) {2,5 cm};
    \draw[<->,line width=0.6pt] (0,2.85) -- (1.2,5.45);
    \node[rotate=67.4,font=\small] at (0.35,4.35) {2,7 cm};
    \draw[<->,line width=0.6pt] (3,6) -- (10.1,1);
    \node[rotate=-35.15,font=\small] at (6.55,3.75) {8,5 cm};
    \draw[<->,line width=0.6pt] (0,-0.8) -- (2.2,-0.8);
    \node[below,font=\small] at (1.1,-0.8) {2 cm};
    % labels
    \node[above]       at (2.2,5)   {A};
    \node[left]        at (1.03,2.4){M};
    \node[above right] at (5.9,2.4) {N};
    \node[below left]  at (0,0)     {B};
    \node[below]       at (2.2,0)   {H};
    \node[below right] at (9.3,0)   {C};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Dans le triangle ABC ci-dessus, M est un point du côté [AB], N est un point du côté [AC], et H
est un point du côté [BC] ; les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

On donne :
\begin{itemize}[label=$\bullet$~~]
\item AC $= 8{,}5$~cm ;
\item AM $= 2{,}7$~cm ;
\item MB $= 2{,}5$~cm ;
\item BH $= 2$~cm.
\end{itemize}

On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB.
\item Montrer que la longueur AH est égale à $4{,}8$~cm.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACH}}$. Arrondir au degré près.
\item Calculer la longueur HC. Arrondir au cm près.
\item Un élève affirme que : « AN est inférieure à $4$~cm ». A-t-il raison ?
\item Calculer l'aire du triangle AHC.
\end{enumerate}

\end{document}
