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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Métropole – Antilles-Guyane, 19 septembre 2024}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
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    \logowouf
\end{minipage}%
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    {\Large\bfseries \titre\par}
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\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Métropole – Antilles-Guyane, 19 septembre 2024}

\vspace{0.4cm}
\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.88\textwidth}
\begin{center}\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet.}\end{center}
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la
recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.
\end{minipage}}
\end{center}

\vspace{0.4cm}

\textbf{{\large Exercice 1} \hfill 20 points}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse.

Toutes les réponses devront être justifiées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1}

La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $260$ est $4 \times 5 \times 13$.

\item \textbf{Affirmation 2}

Une urne opaque contient des boules indiscernables au toucher : 3 boules blanches, 4 boules
jaunes et 8 boules rouges. On pioche au hasard une boule dans cette urne et on note sa couleur.

Une autre urne opaque contient des boules indiscernables au toucher : 1 boule marquée de la
lettre A, 1 boule marquée de la lettre B et 3 boules marquées de la lettre C. On pioche au hasard
une boule dans cette urne et on note la lettre obtenue.

La probabilité d'obtenir une boule de couleur rouge est supérieure à la probabilité d'obtenir une
boule marquée de la lettre C.

\item \textbf{Affirmation 3}

La solution de l'équation $7x + 5 = 2x - 2$ est $-1{,}4$.

\item \textbf{Affirmation 4}

On empile 10 pièces cylindriques de $1{,}9$~cm de diamètre et de $0{,}2$~cm de hauteur. Le
volume du cylindre, arrondi à l'unité, formé par les $10$~pièces est de $6$~cm$^3$.

\emph{Rappel} : le volume d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ est égal à
$\pi \times R^2 \times h$.

\item \textbf{Affirmation 5}

Un éléphant qui court à une vitesse de 5~m/s est plus rapide qu'un cochon qui se déplace à une
vitesse de 17~km/h.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{{\large Exercice 2} \hfill 20 points}

\medskip

\begin{minipage}[t]{0.52\linewidth}
Un agriculteur possède un champ de blé ayant la forme d'un triangle ABC rectangle en B
représenté ci-contre.

On donne AB~$= 200$~m et BC~$= 150$~m.

Pour moissonner son champ, il utilise une moissonneuse batteuse qui, à chaque passage, coupe
des bandes de 12 mètres de large parallèles à la droite (AB). On a donc BE~$= 12$~m.

Il commence à passer le long du côté [AB]. Le segment en pointillés [DE] représente la limite du
premier passage de la moissonneuse batteuse.

Après avoir fait 5 passages, il a moissonné le quadrilatère ABGF.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.44\linewidth}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round,line join=round]
    % triangle ABC
    \draw (0.1,0.2) -- (6.1,0.2) -- (0.1,10.3) -- cycle;
    % angle droits
    \draw (0.1,0.2) rectangle (0.3,0.4);
    \draw (2.4,0.2) rectangle (2.6,0.4);
    % segment GF (solid)
    \draw (2.4,0.2) -- (2.4,6.4);
    % segments DE et passages (pointillés)
    \draw[dashed] (0.56,0.2) -- (0.56,9.5);
    \draw[dashed] (1.02,0.2) -- (1.02,8.8);
    \draw[dashed] (1.48,0.2) -- (1.48,8.0);
    \draw[dashed] (1.94,0.2) -- (1.94,7.2);
    % marques "/" sur BC
    \foreach \n in {0.33,0.79,1.25,1.71,2.17} {
        \node[font=\scriptsize] at (\n,0.2) {/};
    }
    % étiquettes
    \node[above left]  at (0.1,10.3) {A};
    \node[below left]  at (0.1,0.2)  {B};
    \node[below right] at (6.1,0.2)  {C};
    \node[below]       at (0.56,0.2) {E};
    \node[above right] at (0.56,9.5) {D};
    \node[below]       at (2.4,0.2)  {G};
    \node[above right] at (2.4,6.4)  {F};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que BG~$= 60$~m.
        \item En déduire que CG~$= 90$~m.
    \end{enumerate}
\item Démontrer que la longueur GF est de $120$~m.
\item
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que l'aire du triangle rectangle CGF est de \np{5400}~m$^2$.
        \item Le quadrilatère ABGF a une surface de \np{9600}~m$^2$ qui a été moissonnée en
        80 minutes.

On admet que le temps de travail de la moissonneuse batteuse est proportionnel à la surface
moissonnée.

Calculer le temps de travail qu'il faut pour moissonner la partie restante CGF de son champ.
    \end{enumerate}
\item L'année suivante, il décide de clôturer son champ ABC afin d'y mettre des animaux pour
l'été. Quelle longueur de clôture doit-il acheter ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large Exercice 3} \hfill 20 points}

\medskip

Une entreprise décide de faire poser sur le toit de son hangar des panneaux solaires.

Pendant une semaine d'utilisation, les productions d'électricité journalières en kilowattheures
(kWh) de ces panneaux ont été relevées dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
Jour de la semaine & Lundi & Mardi & Mercredi & Jeudi & Vendredi & Samedi & Dimanche\\ \hline
Production d'électricité en kWh & 381 & 363 & 322 & 329 & 393 & 405 & 376\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Quel jour la production d'électricité a-t-elle été la plus grande ?
        \item Calculer l'étendue de ces productions d'électricité.
        \item Quelle est la production moyenne d'électricité par jour sur cette période ?
    \end{enumerate}
\item L'entreprise revend 15\,\% de sa production d'électricité au tarif de 8 centimes le kWh.

Combien a-t-elle gagné en euros pendant ces 7 jours ?

\item Afin que les panneaux solaires aient une production maximale, le toit doit avoir une pente
avec l'horizontale comprise entre $30\degres$ et $35\degres$.

\begin{minipage}[t]{0.36\linewidth}
Schéma en coupe du hangar.

La pente du toit avec l'horizontale correspond à l'angle $\widehat{\text{OLV}}$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.61\linewidth}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round,line join=round,>=stealth]
    % hangar (pentagone)
    \draw (2,0) -- (8.2,0) -- (8.2,3.9) -- (5.1,6.3) -- (2,3.9) -- cycle;
    % hauteur OV
    \draw (5.1,6.3) -- (5.1,3.9);
    \draw (5.1,3.9) rectangle (5.3,4.1);
    % plancher
    \draw (8.2,3.9) -- (2,3.9);
    % panneaux solaires (épais)
    \draw[line width=2.5pt] (4.7,6) -- (2.4,4.2);
    % labels
    \node[below]  at (5.1,3.9) {V};
    \node[right]  at (8.2,3.9) {K};
    \node[above]  at (5.1,6.3) {O};
    \node[left]   at (2,3.9)   {L};
    \node[right,font=\small] at (5.1,5.1) {7 m};
    \node[rotate=37,font=\small] at (3.56,5.4) {13,5 m};
    \node at (1.8,5.8) {panneaux solaires};
    \draw[->] (1.8,5.5) -- (3.2,4.9);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\medskip

Sur ce toit, les panneaux solaires ont-ils une production maximale ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large Exercice 4} \hfill 20 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par
\[f(x) = x^2 + 10x + 16.\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier par le calcul que l'image de 6 par la fonction $f$ est $112$.
\item On utilise un tableur afin de calculer les images des entiers compris entre $-4$ et 4 par la
fonction $f$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
   & A & B & C & D & E & F & G & H & I & J\\ \hline
1  & $x$    & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline
2  & $f(x)$ & $-8$ & $-5$ & 0 & 7 & 16 & 27 & 40 & 55 & 72\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

    \begin{enumerate}
        \item Parmi les 4 formules ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule B2,
        puis étirée vers la droite afin de calculer les images des nombres donnés par la fonction
        $f$.

\begin{footnotesize}
\fbox{=B1*B1+10*B1+16}\quad\fbox{=A1*A1+10*A1+16}\quad\fbox{$=(-4)*(-4)+10*(-4)+16$}\quad\fbox{$=x*x+10*x+16$}
\end{footnotesize}
        \item En utilisant le tableau, déterminer un antécédent de $0$.
    \end{enumerate}

\item
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que $f(x)$ peut s'écrire $(x + 2)(x + 8)$.
        \item En déduire un autre antécédent de 0 par la fonction $f$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{{\large Exercice 5} \hfill 20 points}

\medskip

Le quadrilatère ABCD ci-dessous est constitué de deux triangles équilatéraux de côté 5 cm.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm,line cap=round,line join=round]
    % quadrilatère BCDA
    \draw (0.2,0.2) -- (5.2,0.2) -- (7.5,4.53) -- (2.7,4.53) -- cycle;
    % diagonale AC
    \draw (5.2,0.2) -- (2.7,4.53);
    % étiquettes
    \node[above left]  at (2.7,4.53) {A};
    \node[below left]  at (0.2,0.2)  {B};
    \node[below right] at (5.2,0.2)  {C};
    \node[above right] at (7.5,4.53) {D};
    \node[below,font=\small] at (2.7,0.2) {5 cm};
    % marques d'égalité des côtés
    \begin{scope}[shift={(1.45,2.36)},rotate=60]  \draw (0,-0.1) -- (0,0.1); \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(3.95,2.36)},rotate=-60] \draw (0,-0.1) -- (0,0.1); \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(6.35,2.36)},rotate=60]  \draw (0,-0.1) -- (0,0.1); \end{scope}
    \draw (5.1,4.53) ++(0,-0.1) -- ++(0,0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Reproduire le quadrilatère ABCD en vraie grandeur.
        \item Quelle est sa nature ?
        \item Démontrer que l'angle $\widehat{\text{BCD}}$ mesure $120\degres$.
    \end{enumerate}
\item Le programme ci-dessous permet de créer le bloc Motif qui trace le quadrilatère ABCD.

Recopier et compléter les lignes 5 et 6 de ce programme.

On utilise l'échelle suivante : 10 pas dans le programme représentent 1 cm dans la réalité.

\medskip

\begin{minipage}[t]{0.54\linewidth}
\begin{scratch}[scale=0.75,num blocks]
\renewcommand*\numblock[1]{\large #1~~}
\initmoreblocks{d\'efinir \namemoreblocks{Motif}}
\blockrepeat{r\'ep\'eter \ovalnum{2} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degr\'es}
\blockmove{avancer de \ovalnum{{\ldots}} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{{\ldots}} degr\'es}
}
\end{scratch}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.43\linewidth}
% figure "point de départ" avec une icône de losange et une flèche
\begin{tikzpicture}[x=0.25cm,y=0.25cm,line cap=round]
    \draw[blue] (1.5,2.2) -- (6.5,2.2) -- (8.8,6.53) -- (4.0,6.53) -- cycle;
    \node[font=\tiny] at (1.3,-2.4) {Point de départ};
    \draw[blue,->] (1.3,-1.4) -- (1.3,2);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\item Recopier et compléter les trois phrases suivantes afin d'associer chaque figure au programme
qui permet de la tracer.

Le programme A permet de tracer la figure \ldots.

Le programme B permet de tracer la figure \ldots.

Le programme C permet de tracer la figure \ldots.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering\arraybackslash}X}}
\fbox{Programme A} & \fbox{Programme B} & \fbox{Programme C}\\
& & \\
\begin{scratch}[scale=0.75]
\blockinit{quand \greenflag est cliqu\'e}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
\blockpen{effacer tout}
\blockpen{stylo en position d'\'ecriture}
\blockrepeat{r\'ep\'eter \ovalnum{5} fois}
{\blockmoreblocks{Motif}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{72} degr\'es}}
\end{scratch}
&
\begin{scratch}[scale=0.75]
\blockinit{quand \greenflag est cliqu\'e}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
\blockpen{effacer tout}
\blockpen{stylo en position d'\'ecriture}
\blockrepeat{r\'ep\'eter \ovalnum{5} fois}
{\blockmoreblocks{Motif}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{72} degr\'es}
\blockmove{avancer de \ovalnum{25} pas}}
\end{scratch}
&
\begin{scratch}[scale=0.75]
\blockinit{quand \greenflag est cliqu\'e}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
\blockpen{effacer tout}
\blockpen{stylo en position d'\'ecriture}
\blockrepeat{r\'ep\'eter \ovalnum{5} fois}
{\blockmoreblocks{Motif}
\blockmove{avancer de \ovalnum{25} pas}}
\end{scratch}\\
& & \\
& & \\
Figure 1 & Figure 2 & Figure 3\\
% Figure 1 : 5 losanges horizontaux (multido x shift 2.5)
\begin{tikzpicture}[x=0.25cm,y=0.25cm,line cap=round]
\foreach \n in {-5,-2.5,0,2.5,5} {
  \draw[blue] ({\n-1.8},7.2) -- ({\n+3.2},7.2) -- ({\n+5.7},11.53013) -- ({\n+0.7},11.53013) -- cycle;
}
\end{tikzpicture}
&
% Figure 2 : 5 losanges tournants par 72° (pentagone)
\begin{tikzpicture}[x=0.25cm,y=0.25cm,line cap=round]
\foreach \n in {0,72,...,288} {
  \begin{scope}[rotate=\n]
    \draw[blue] (0,0) -- (5,0) -- (7.5,4.33013) -- (2.5,4.33013) -- cycle;
  \end{scope}
}
\end{tikzpicture}
&
% Figure 3 : pentagone avec losange à chaque sommet
\begin{tikzpicture}[x=0.25cm,y=0.25cm,line cap=round]
\foreach \i/\I/\n in {18/90/72, 90/162/144, 162/234/216, 234/306/288, 306/378/360} {
  \draw[blue] ({2.13*cos(\i)},{2.13*sin(\i)}) -- ({2.13*cos(\I)},{2.13*sin(\I)});
  \begin{scope}[shift={({2.13*cos(\i)},{2.13*sin(\i)})},rotate=\n]
    \draw[blue] (0,0) -- (5,0) -- (7.5,4.33013) -- (2.5,4.33013) -- cycle;
  \end{scope}
}
\end{tikzpicture}
\\
\end{tabularx}
\end{center}

\end{document}
