\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Métropole – Antilles-Guyane – La Réunion, 10 septembre 2025}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.}\\[2pt]
\textbf{Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une\\
trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.}
\end{center}

\bigskip

\section*{Exercice 1 \hfill 20 points}

Pour faire écouter de la musique à son enfant, Aurélie a sélectionné 22 chansons :

9 chants de Noël, 6 comptines et des berceuses.

Le temps d'écoute total des chansons de sa liste est de 55 minutes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de berceuses présentes dans la liste.
\item Calculer la durée moyenne d'une chanson de cette liste. Le résultat sera donné en minute et seconde.
\item Aurélie écoute une chanson. Elle utilise la fonction aléatoire de son lecteur, c'est-à-dire que la chanson écoutée est choisie au hasard parmi toutes les chansons de la liste.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité que la chanson écoutée soit une comptine est égale à $\dfrac{3}{11}$.
		\item Quelle est la probabilité que la chanson écoutée ne soit pas une berceuse ?
		\item Les chansons sont numérotées de 1 à 22. On considère l'évènement :

		\begin{center}\og Le numéro de la chanson écoutée est un nombre premier. \fg\end{center}
		La probabilité de cet évènement est-elle supérieure à $\dfrac13$ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 2 \hfill 18 points}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, quatre
réponses (A, B, C ou D) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la série suivante :
\[4~;~8~;~11~;~7~;~2~;~3~;~14\]
Quelle est l'étendue de cette série ?
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A&B&C&D\\ \hline
10 &7& 12& 14\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Quel est le volume correspondant à 1 L ?
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A&B&C&D\\ \hline
1 m$^3$& 1 cm$^3$&1 dm$^3$&1 mm$^3$\rule[-2mm]{0mm}{6mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Quel est le nombre dont l'écriture scientifique est $8,6 \times 10^{-4}$ ?
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A&B&C&D\\ \hline
\np{86000}& \np{0,00086}& $-$\np{0,00086}& \np{0,000086}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item La longueur et la largeur du drapeau de la France sont dans le ratio $3~:~2$.

Quelle est la largeur du drapeau de la France dont la longueur est égale à 90~cm ?
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A&B&C&D\\ \hline
54 cm &135 cm& 45 cm&  60 cm\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Le prix d'un parfum est passé de $75$~\euro{} à $60$~\euro{}.

Quel pourcentage de réduction a été appliqué ?
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A&B&C&D\\ \hline
80\,\%& 25\,\%& 15\,\%& 20\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Quelle est la forme factorisée de $4x^2 - 25$ ?
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A			&B					&C					&D\\ \hline
$(2x - 5)^2$&$(2x - 5)(2x + 5)$& $(4x - 5)(4x + 5)$& $(4x - 5)^2$\rule[-2mm]{0mm}{6mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 3 \hfill 22 points}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item ABC un triangle rectangle en B ;
\item les points B, E et C sont alignés ainsi que\\
les points A, D, F et C ;
\item les droites (BD) et (EF) sont parallèles ;
\item AB = 10 cm, BC = 7,5 cm, BE = 3 cm,\\
BD = 6 cm et CF = 2,7 cm.
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=0.9cm]
\draw (0,0) -- (7.8,0) -- (0,5.8) -- cycle;
\draw (0,0) -- (2.78,3.75);
\draw (0,2.4) -- (1.63,4.6);
\draw (0,0) rectangle (0.3,0.3);
\node[below]       at (7.8,0)     {A};
\node[below left]  at (0,0)       {B};
\node[above left]  at (0,5.8)     {C};
\node[above right] at (2.78,3.75) {D};
\node[left]        at (0,2.4)     {E};
\node[above right] at (1.63,4.6)  {F};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que CE $= 4,5$ cm.
		\item Démontrer que la longueur EF est égale à $3,6$ cm.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le triangle CEF est rectangle en F.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$. Arrondir au degré.
		\item Les triangles ABC et CEF sont-ils semblables ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 4 \hfill 20 points}

M. Durand vient de faire construire une piscine. Afin de se baigner dans une eau de bonne qualité, il est important de faire fonctionner la filtration de la piscine tous les jours durant l'été. Le temps quotidien de filtration idéal (en heure) est donné en fonction de la température de l'eau de la piscine (en degré Celsius, noté \degres{}~C). La méthode ci-dessous permet de calculer ce temps de filtration :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.67\linewidth}{|X|}\hline
$\bullet~$Prendre la température de l'eau (en degré Celsius)\\
$\bullet~$Lui ajouter $4$\\
$\bullet~$Multiplier le résultat par $0,5$\\
Le résultat obtenu correspond au temps de filtration (en heure).\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour une température de l'eau de $26~\degres$~C, le temps de filtration est de $15$~h.
\item On note $x$ la température de l'eau de la piscine (en degré Celsius).

Montrer que le temps de filtration, en heure, peut s'écrire $0,5x + 2$.
\item On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ définie par
\[f(x) = 0,5x + 2\]
où $x$ désigne la température de l'eau (en \degres{}~C) et $f(x)$ le temps de filtration (en h).

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.6cm,y=0.4cm,>=stealth]
\draw[very thin, gray, dashed, xstep=1, ystep=1] (0,0) grid (18,13);
\draw[->] (-0.4,0) -- (18.8,0);
\draw[->] (0,-0.4) -- (0,14.2);
\node[above] at (18.5,0) {$x$};
\node[right] at (0,13.8) {$f(x)$};
\foreach \x in {2,4,...,18}
  \draw (\x,0.15)--(\x,-0.15) node[below]{\scriptsize$\x$};
\foreach \y in {2,4,...,12}
  \draw (0.2,\y)--(-0.2,\y) node[left]{\scriptsize$\y$};
\node[below left] at (0,0) {\scriptsize 0};
\draw[thick,blue] (0,2) -- (18,11);
\end{tikzpicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Le temps de filtration est-il proportionnel à la température de l'eau de la piscine ?
		\item Quelle est l'image de 10 par la fonction ? Aucune justification n'est demandée.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation $0,5x + 2 = 17$ et interpréter ce résultat dans le contexte du problème.
\item M. Durand a décidé de filtrer sa piscine 16~h par jour, tous les jours du 1\textsuperscript{er} juillet au 31 août inclus.

À l'aide des documents ci-dessous, calculer la dépense liée au fonctionnement de la filtration au cours de cette période.

\emph{Laisser toute trace de recherche, même si elle n'a pas abouti.}

\bigskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Document 1 : Puissance}\\
Puissance de la pompe : 0,8 kW\\
kW signifie kiloWatt\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Document 2 : Prix}\\
Prix d'un kWh : $0,23$~\euro{}\\
kWh signifie kiloWatt-heure\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\medskip

\begin{minipage}{\linewidth}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Document 3 : Calcul de la consommation électrique de la pompe (en kWh)}\\
Puissance de la pompe (en kW) $\times$ nombre d'heures d'utilisation par jour $\times$ nombre de jours\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 5 \hfill 20 points}

Le dessus d'une table carrée, de côté $80$~cm, est composé de quatre plaques rectangulaires en bois identiques et d'une plaque carrée en verre au centre. Chaque plaque en bois a pour longueur $60$~cm et pour largeur $20$~cm.

Voici la vue du dessus de la table :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,>=stealth]
\draw[fill=lightgray] (4.5,0) rectangle (8.1,1.2);
\node at (6.3,0.6) {1};
\draw[fill=lightgray] (8.0,0) rectangle (9.2,3.6);
\node at (8.6,1.8) {2};
\draw[fill=lightgray] (5.6,3.6) rectangle (9.2,4.8);
\draw[fill=lightgray] (4.5,1.2) rectangle (5.6,4.8);
\node at (2.6,1.4) {Plaque en bois};
\node at (11.2,3.2) {Plaque en verre};
\draw[->] (3.7,1.2) -- (5.5,0.6);
\draw[->] (9.8,3.2) -- (6.8,2.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire du dessus de la table est égale à $\np{6400}$~cm$^2$.
\item Montrer que l'aire de la plaque en verre représente 25\,\% de l'aire totale du dessus de la table.
\item Quel est le nom de la transformation géométrique permettant de passer du rectangle \no~1 au rectangle \no~2 ? Aucune justification n'est demandée.
\item On souhaite réaliser un dessin du dessus de cette table avec le logiciel Scratch.

Le lutin est orienté vers la droite.

On a créé le bloc ci-dessous permettant de dessiner le rectangle \no~1 de la figure précédente, dans lequel 1 pas correspond à 1~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter les lignes 3, 5 et 6 du bloc.

\begin{center}
\begin{scratch}[num blocks]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Rectangle}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{ } fois}
{\blockmove{avancer de \ovalvariable{60} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{ } degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{ } pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}
\end{center}

		\item Parmi les trois programmes ci-dessous, lequel permet de tracer la vue du dessus de la table ?

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm]
\draw[fill=lightgray] (4.5,0)   rectangle (8.1,1.2);
\draw[fill=lightgray] (8.0,0)   rectangle (9.2,3.6);
\draw[fill=lightgray] (5.6,3.6) rectangle (9.2,4.8);
\draw[fill=lightgray] (4.5,1.2) rectangle (5.6,4.8);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Programme A&Programme B&Programme C\\ \hline
\begin{scratch}[scale=0.8]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockpen{effacer tout}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blockmoreblocks{Rectangle}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
}
\end{scratch}
&
\begin{scratch}[scale=0.8]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockpen{effacer tout}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blockmoreblocks{Rectangle}
\blockmove{avancer de \ovalvariable{60} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
}
\end{scratch}
&
\begin{scratch}[scale=0.8]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockpen{effacer tout}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blockmoreblocks{Rectangle}
\blockmove{avancer de \ovalvariable{80} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
}
\end{scratch}
\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
