\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text,calc,patterns,arrows.meta,positioning,shapes.geometric}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{multicol}
\usepackage{scratch3}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tgheros}

\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Polynésie, 23 juin 2023}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-polynesie-juin-2023}
\newcommand{\codefiche}{DNBPOL23}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}


% ════════════════════════════════════════════════════════════════════
%  Figures — Brevet Polynésie, 23 juin 2023
%  Redessinées en TikZ d'après le sujet officiel.
% ════════════════════════════════════════════════════════════════════

% ── Exercice 1, question 1 : les trois droites ─────────────────────
% A : y = 1,5x + 3   (croissante, coupe l'axe des abscisses en -2)
% B : y = -2x + 3    (LA bonne : décroissante, ordonnée à l'origine 3)
% C : y = 3x - 2     (croissante, ordonnée à l'origine -2)
\newcommand{\repere}[1]{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.30,>=stealth]
  \draw[black!30] (-5,-3.4) grid (5,4.6);
  \draw[->,thick] (-5.4,0) -- (5.6,0);
  \draw[->,thick] (0,-3.8) -- (0,5.0);
  \foreach \x in {-4,-2,2,4}{
    \draw[thick] (\x,-0.16) -- (\x,0.16);
    \node[below=1pt,scale=0.8] at (\x,-0.2) {\footnotesize $\x$};}
  \foreach \y in {2,4}{
    \draw[thick] (-0.16,\y) -- (0.16,\y);
    \node[left=1pt,scale=0.8] at (-0.2,\y) {\footnotesize $\y$};}
  \foreach \y in {-2}{
    \draw[thick] (-0.16,\y) -- (0.16,\y);
    \node[left=1pt,scale=0.8] at (-0.2,\y) {\footnotesize $\y$};}
  \node[below left=0pt,scale=0.8] at (0,0) {\footnotesize 0};
  #1
\end{tikzpicture}}
\newcommand{\droiteA}{\repere{\draw[blue,very thick] (-4.5,-3.75) -- (1.05,4.575);}}
\newcommand{\droiteB}{\repere{\draw[blue,very thick] (-0.6,4.2) -- (3.4,-3.8);}}
\newcommand{\droiteC}{\repere{\draw[blue,very thick] (-0.5,-3.5) -- (2.15,4.45);}}

% ── Exercice 1, question 2 : la courbe et ses quatre points ────────
% Cubique passant par O, A(-2;1), B(-1;-2), C(1;2) et D(2;-1) :
%   y = -(5/6)x^3 + (17/6)x
\newcommand{\courbeqdeux}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.40,>=stealth]
  \draw[black!30] (-3,-3.4) grid (3,3.4);
  \draw[->,thick] (-3.3,0) -- (3.5,0);
  \draw[->,thick] (0,-3.7) -- (0,3.8);
  \foreach \x in {-2,2}{
    \draw[thick] (\x,-0.12) -- (\x,0.12);
    \node[below=1pt,scale=0.85] at (\x,-0.16) {\footnotesize $\x$};}
  \foreach \y in {-2,2}{
    \draw[thick] (-0.12,\y) -- (0.12,\y);
    \node[left=1pt,scale=0.85] at (-0.16,\y) {\footnotesize $\y$};}
  \node[above left=-1pt,scale=0.85] at (0,0) {\footnotesize 0};
  \node[below right=-1pt,scale=0.85] at (0,0) {\footnotesize 0};
  \draw[blue,very thick,samples=120,domain=-2.35:2.35]
    plot (\x,{-0.8333*(\x)^3+2.8333*(\x)});
  \foreach \px/\py/\nom/\pos in {-2/1/A/below left, -1/-2/B/below, 1/2/C/above right, 2/-1/D/right}{
    \fill[blue] (\px,\py) circle (2.6pt);
    \node[blue,\pos=1pt] at (\px,\py) {\footnotesize \nom};
  }
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 2 : plan général du support ──────────────────────────
% Vue en perspective, simplifiée : trois équerres identiques reliées
% par trois barres latérales de 4 m ; un panneau est grisé.
\newcommand{\plangeneral}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.66,line join=round,>=stealth]
  \def\dx{1.30} \def\dy{0.72}
  % trois équerres identiques, décalées en perspective
  \foreach \i in {0,1,2}{
    \draw[thick] (\i*\dx,\i*\dy) -- (\i*\dx+3.4,\i*\dy)
                 -- (\i*\dx,\i*\dy+1.7) -- cycle;
  }
  % les trois barres latérales, de 4 m
  \draw[thick] (0,0)     -- (2*\dx,2*\dy);
  \draw[thick] (3.4,0)   -- (3.4+2*\dx,2*\dy);
  \draw[thick] (0,1.7)   -- (2*\dx,1.7+2*\dy);
  % un panneau posé sur le plan incliné
  \fill[black!25] (0.30,1.55) -- (0.30+\dx,1.55+\dy)
                  -- (1.55+\dx,0.925+\dy) -- (1.55,0.925) -- cycle;
  \draw[thick]    (0.30,1.55) -- (0.30+\dx,1.55+\dy)
                  -- (1.55+\dx,0.925+\dy) -- (1.55,0.925) -- cycle;
  % cote des barres latérales
  \draw[<->] (-0.45,0.25) -- (-0.45+2*\dx,0.25+2*\dy);
  \node[above left=-3pt] at (-0.45+\dx,0.25+\dy) {\footnotesize 4 m};
  \node[below] at (2.4,-0.45) {\footnotesize Barres latérales};
  \draw[->] (1.9,-0.38) -- (1.15,-0.02);
  \draw[->] (2.9,-0.38) -- (3.4+0.55,0.28);
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 2 : plan détaillé d'une équerre ──────────────────────
% Triangle PHS rectangle en P : PH = 90 cm, PS = 140 cm.
% T sur [PS] et U sur [HS], avec (UT) perpendiculaire à (PS).
% La barre de renfort [UT] mesure 50 cm : T est donc placé de sorte que
% TU/PH = 50/90, soit ST = 140 x 50/90.
\newcommand{\planequerre}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.032,line join=round,>=stealth]
  \coordinate (P) at (0,0);
  \coordinate (S) at (140,0);
  \coordinate (H) at (0,90);
  \coordinate (T) at ({140-140*50/90},0);
  \coordinate (U) at ({140-140*50/90},50);
  \draw[thick] (P) -- (S) -- (H) -- cycle;
  \draw[thick] (T) -- (U);
  \draw (0,7) -- (7,7) -- (7,0);
  \draw ({140-140*50/90},7) -- ({140-140*50/90+7},7) -- ({140-140*50/90+7},0);
  \node[left=2pt]  at (H) {\footnotesize H};
  \node[left=2pt]  at (P) {\footnotesize P};
  \node[right=2pt] at (S) {\footnotesize S};
  \node[above right=0pt] at (U) {\footnotesize U};
  \node[below left=-1pt] at (T) {\footnotesize T};
  \node[rotate=90,anchor=south] at (-6,45) {\footnotesize 90 cm};
  \draw[<->] (0,-16) -- (140,-16);
  \node[below] at (70,-16) {\footnotesize 140 cm};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 3 : le sac du jeu 1 et la roue du jeu 2 ──────────────
\newcommand{\sacboules}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.62,line join=round]
  \draw[thick] (-1.55,0.15) .. controls (-2.0,1.5) and (-1.5,2.35) .. (-0.95,2.6)
     .. controls (-0.5,2.85) and (0.5,2.85) .. (0.95,2.6)
     .. controls (1.5,2.35) and (2.0,1.5) .. (1.55,0.15)
     .. controls (1.25,-0.75) and (-1.25,-0.75) .. (-1.55,0.15) -- cycle;
  \draw[thick] (-0.95,2.6) .. controls (-0.55,2.25) and (0.55,2.25) .. (0.95,2.6);
  \foreach \x/\y/\l in {-0.60/0.98/P, 0.10/1.24/N, -0.72/0.15/P, 0.02/0.05/G, 0.76/0.36/G}{
    \draw[thick] (\x,\y) circle (0.42);
    \node at (\x,\y) {\footnotesize\bfseries \l};
  }
\end{tikzpicture}}

\newcommand{\rouesecteurs}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.62,line join=round,>=stealth]
  \draw[thick] (0,0) circle (2.0);
  \foreach \a in {0,60,...,300}{ \draw (0,0) -- (\a:2.0); }
  \foreach \a in {0,60,...,300}{ \fill (\a:2.0) circle (1.6pt); }
  \foreach \a/\n in {30/1,90/6,150/5,210/4,270/3,330/2}{
    \node at (\a:1.32) {\footnotesize\bfseries \n};
  }
  \draw[->,line width=2.2pt] (3.15,1.75) -- (1.28,0.72);
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 5 : la piste de karting ──────────────────────────────
% Repère en mètres, C à l'origine. Sens de parcours D-E-F-G-H-I-J-K-L-A-B-C-D.
%   C(0;0)  B(120;0)  A(150;30)  L(150;90)  K(180;120)  J(240;120)
%   I(240;240)  H(150;240)  G(120;210)  F(120;150)  E(90;120)  D(0;120)
% Quarts de cercle de rayon 30 (codés +), demi-cercles de rayon 60
% (codés x), segments [DE] et [HI] de 90 m (codés par un carré plein).
\tikzset{
  croix/.pic={\draw[thick] (-1.3mm,-1.3mm) -- (1.3mm,1.3mm);
              \draw[thick] (-1.3mm,1.3mm) -- (1.3mm,-1.3mm);},
  plusm/.pic={\draw[thick] (-1.3mm,0) -- (1.3mm,0);
              \draw[thick] (0,-1.3mm) -- (0,1.3mm);},
}
\newcommand{\pistekarting}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.0345,line join=round,>=stealth]
  % ── le tracé de la piste ──
  \draw[very thick] (0,120) -- (90,120);                                  % D E
  \draw[very thick] (90,150) arc[start angle=180,end angle=90,radius=30]; % E F
  \draw[very thick] (120,150) -- (120,210);                               % F G
  \draw[very thick] (120,210) arc[start angle=180,end angle=90,radius=30];% G H
  \draw[very thick] (150,240) -- (240,240);                               % H I
  \draw[very thick] (240,240) arc[start angle=90,end angle=-90,radius=60];% I J
  \draw[very thick] (240,120) -- (180,120);                               % J K
  \draw[very thick] (180,120) arc[start angle=0,end angle=-90,radius=30]; % K L
  \draw[very thick] (150,90) -- (150,30);                                 % L A
  \draw[very thick] (150,30) arc[start angle=0,end angle=-90,radius=30];  % A B
  \draw[very thick] (120,0) -- (0,0);                                     % B C
  \draw[very thick] (0,0) arc[start angle=-90,end angle=-270,radius=60];  % C D

  % ── codages du demi-cercle de gauche ──
  \draw[dashed] (0,0) -- (0,120);
  \draw[dashed] (0,60) -- (-60,60);
  \path (0,90) pic{croix}; \path (0,30) pic{croix}; \path (-30,60) pic{croix};
  \draw (0,53) rectangle (-7,60);
  % ── codages du demi-cercle de droite ──
  \draw[dashed] (240,120) -- (240,240);
  \draw[dashed] (240,180) -- (300,180);
  \path (240,210) pic{croix}; \path (240,150) pic{croix}; \path (270,180) pic{croix};
  \draw (240,173) rectangle (247,180);

  % ── quarts de cercle : rayons codés + ──
  \draw[dashed] (90,150) -- (120,150); \draw[dashed] (90,150) -- (90,120);
  \path (105,150) pic{plusm}; \path (90,135) pic{plusm};
  \draw (90,143) rectangle (97,150);
  \draw[dashed] (150,210) -- (120,210); \draw[dashed] (150,210) -- (150,240);
  \path (135,210) pic{plusm}; \path (150,225) pic{plusm};
  \draw (150,203) rectangle (143,210);
  \node[right=2pt] at (152,225) {\footnotesize 30 m};
  \draw[dashed] (180,90) -- (150,90); \draw[dashed] (180,90) -- (180,120);
  \path (165,90) pic{plusm}; \path (180,105) pic{plusm};
  \draw (180,97) rectangle (173,90);
  \draw[dashed] (120,30) -- (150,30); \draw[dashed] (120,30) -- (120,0);
  \path (135,30) pic{plusm}; \path (120,15) pic{plusm};
  \draw (120,37) rectangle (127,30);

  % ── segments codés ──
  \path (120,180) pic{croix};                       % FG
  \path (210,120) pic{croix};                       % JK
  \path (150,60) pic{croix};                        % LA
  \node[right=2pt] at (152,60) {\footnotesize 60 m};
  \fill (45,120) rectangle (52,127);                % DE
  \node[above=3pt] at (48,126) {\footnotesize 90 m};
  \fill (192,240) rectangle (199,247);              % HI
  \node[below] at (60,-2) {\footnotesize 120 m};

  % ── étiquettes des points ──
  \node[above left=-1pt]  at (0,120)   {\footnotesize D (Départ)};
  \node[below]            at (90,120)  {\footnotesize E};
  \node[right=2pt]        at (120,150) {\footnotesize F};
  \node[left=2pt]         at (120,210) {\footnotesize G};
  \node[above]            at (150,240) {\footnotesize H};
  \node[above]            at (240,240) {\footnotesize I};
  \node[below]            at (240,120) {\footnotesize J};
  \node[above]            at (180,120) {\footnotesize K};
  \node[left=2pt]         at (150,90)  {\footnotesize L};
  \node[right=2pt]        at (150,30)  {\footnotesize A};
  \node[below]            at (120,0)   {\footnotesize B};
  \node[below]            at (0,0)     {\footnotesize C};
\end{tikzpicture}}


\newcommand{\casea}{\ovalnum{\textbf{A}}}
\newcommand{\caseb}{\ovalnum{\textbf{B}}}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}{\large\bfseries Durée : 2 heures}\end{center}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{1}{16}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples QCM.\\
\textbf{Aucune justification n'est demandée}\\
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.\\
Écrire sur votre copie, le numéro de la question et la réponse correspondante.

\medskip
\textbf{Question 1 :} soit $f$, la fonction définie par $f(x)=-2x+3$.\\
Quelle est la représentation de la fonction $f$ ?

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\textbf{Réponse A} & \textbf{Réponse B} & \textbf{Réponse C}\\[2pt]
\droiteA & \droiteB & \droiteC\\
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
\begin{minipage}[c]{0.60\linewidth}
\textbf{Question 2 :} On considère la fonction dont la représentation graphique est donnée
ci-contre.\\
D'après le graphique, quelle est l'image de 1 par cette fonction ?
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.36\linewidth}
\centering
\courbeqdeux
\end{minipage}

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}{c@{\hspace{1.4em}}|@{\hspace{1.4em}}c@{\hspace{1.4em}}|@{\hspace{1.4em}}c}
Réponse A & Réponse B & Réponse C\\
L'image de 1 est 2 & L'image de 1 est $-2$ & L'image de 1 est 0\\
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
\textbf{Question 3 :}\\
On donne ci-dessous un tableau de valeurs de la fonction $h$ définie par $h(x)=-x+1$ réalisé à
l'aide d'un tableur :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{tabular}{|c|>{\columncolor{black!12}}c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{black!12}
& \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{C} & \textbf{D} & \textbf{E} & \textbf{F} & \textbf{G}\\
\hline
\textbf{1} & \textcolor{blue}{$x$} & $-3$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2\\
\hline
\textbf{2} & \textcolor{blue}{$h(x)$} & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & $-1$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Quelle formule a-t-on saisie dans la case B2 avant de l'étirer vers la droite ?

\begin{center}
\begin{tabular}{c@{\hspace{1.4em}}|@{\hspace{1.4em}}c@{\hspace{1.4em}}|@{\hspace{1.4em}}c}
Réponse A & Réponse B & Réponse C\\
\texttt{= -(-3) + 1} & \texttt{= -x + 1} & \texttt{= - B1 + 1}\\
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
\textbf{Question 4 :}\\
Quelle est la forme développée de l'expression $(3x-7)^{2}$ ?

\begin{center}
\begin{tabular}{c@{\hspace{1.4em}}|@{\hspace{1.4em}}c@{\hspace{1.4em}}|@{\hspace{1.4em}}c}
Réponse A & Réponse B & Réponse C\\
$3x^{2}-49$ & $9x^{2}-42x+49$ & $9x^{2}-49$.\\
\end{tabular}
\end{center}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{2}{16}

Olivia a décidé d'installer sur le sol, plat de son jardin, quatre panneaux photovoltaïques pour
produire une partie de l'électricité qu'elle consomme.

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.93\linewidth}
\textbf{Description}\\
Un panneau photovoltaïque est un dispositif permettant de générer de l'électricité à partir de
l'énergie lumineuse.

\smallskip
\textbf{Caractéristiques d'un panneau}
\begin{itemize}[label=$\bullet$,leftmargin=*,nosep,topsep=3pt]
  \item Longueur 1700 mm
  \item Largeur 1000 mm
  \item Épaisseur 40 mm
  \item Fonctionnement optimal : inclinaison par rapport à l'horizontale comprise entre
  30\degres{} et 35\degres
  \item Orientation : Sud
\end{itemize}
\end{minipage}}
\end{center}

Pour incliner ses panneaux et obtenir un fonctionnement optimal, Olivia choisit de fabriquer
elle-même un support. Pour cela, elle réalise les schémas suivants de support qui sera constitué
de trois équerres identiques, reliées entre elles par trois barres latérales de 4 m de long.\\
Chaque support est prévu pour accueillir quatre panneaux.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\begin{minipage}[t]{0.46\linewidth}\raggedright\vspace{1mm}
Plan général du support, un panneau est représenté :
\begin{center}\plangeneral\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{0.46\linewidth}\raggedright\vspace{1mm}
Plan détaillé d'une équerre :
\begin{center}\planequerre\end{center}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item \begin{minipage}[t]{0.93\linewidth}
  \begin{enumerate}[topsep=0pt]
    \item Vérifier que la distance HS arrondie au millimètre est égale à 166,4 cm.
    \item Pour que le panneau soit bien tenu, le fabricant conseille que la distance HS du
    support mesure au moins 95 \% de la longueur du panneau. On rappelle que cette longueur
    mesure 1700 mm. Ce support sera-t-il conforme aux conseils du fabricant ?
  \end{enumerate}
  \end{minipage}

  \item L'angle d'inclinaison, $\widehat{\mathrm{HSP}}$ permettra-t-il un fonctionnement optimal
  des panneaux ?

  \item Pour consolider l'ensemble, Olivia fixe, à l'intérieur de ses équerres, une barre de
  renfort de 50 cm de longueur.\\
  Sur le plan détaillé d'une équerre, cette barre est représentée par le segment [UT]
  perpendiculaire au segment [PS].\\
  Calculer la longueur ST. On arrondira au millimètre.

  \item Olivia, achète des tubes en acier inoxydable de longueur 4,5 m à 37 \euro{} l'unité pour
  fabriquer le support composé de trois équerres et des trois barres latérales. Montrer qu'elle
  doit prévoir un budget minimum de 222 \euro{} pour l'achat des tubes en acier inoxydable.
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{3}{18}

Dans cet exercice, on étudie la probabilité de gain des deux jeux ci-dessous.

\medskip
\textbf{Partie A}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\begin{minipage}[t]{0.44\linewidth}\raggedright\vspace{1mm}
Jeu 1\\
Un sac contient cinq boules indiscernables au toucher, dont une portant la lettre N, deux,
portant la lettre G et deux portant la lettre P.
\begin{center}\sacboules\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{0.44\linewidth}\raggedright\vspace{1mm}
Jeu 2\\
Une roue à six secteurs angulaires identiques numérotées de un à six.
\begin{center}\rouesecteurs\end{center}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item On considère le jeu 1.\\
  On pioche une boule au hasard dans ce sac et on note la lettre inscrite sur la boule choisie.\\
  On considère qu'on a gagné si on pioche la lettre G.\\
  Montrer que la probabilité de gagner avec ce jeu et de $\dfrac{2}{5}$.

  \item On considère le jeu 2.\\
  On fait tourner la roue et on note le nombre d'inscrits sur le secteur pointé par la flèche.\\
  On considère qu'on a gagné si on s'arrête sur un nombre premier.\\
  Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu ?

  \item \begin{minipage}[t]{0.93\linewidth}
  \begin{enumerate}[topsep=0pt]
    \item Quel est le jeu qui présente la plus faible probabilité de gagner ?
    \item Proposer une liste de boules à rajouter pour que la probabilité de gagner avec le
    jeu 1 soit de $\dfrac{1}{4}$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B}

\smallskip
\textbf{Dans cette partie, toute trace de recherche sera valorisée.}

\smallskip
On choisit finalement de combiner ces deux jeux.\\
Dans un premier temps, le joueur doit tirer une boule dans le sac du jeu 1.\\
On doit ensuite faire tourner la roue du jeu 2.\\
Le joueur gagne un lot s'il a tiré une boule portant la lettre G et si la roue s'arrête sur un
secteur angulaire dont le numéro est un nombre premier.\\
Quelle est la probabilité de gagner à cette combinaison des deux jeux ?

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{4}{22}

On considère le programme de calcul suivant :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.62\linewidth}
\begin{itemize}[label=$\bullet$,leftmargin=*,nosep]
  \item Choisir un nombre
  \item Prendre le carré de ce nombre
  \item Multiplier le résultat par 2
  \item Ajouter le nombre de départ
  \item Soustraire 66
\end{itemize}
\end{minipage}}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item \begin{minipage}[t]{0.93\linewidth}
  \begin{enumerate}[topsep=0pt]
    \item Montrer que si le nombre choisi au départ est 4, le résultat obtenu est $-30$.
    \item Quel résultat obtient-on si le nombre choisi au départ est $-3$ ?
  \end{enumerate}
  \end{minipage}

  \item \begin{minipage}[t]{0.93\linewidth}
  \begin{enumerate}[topsep=0pt]
    \item On s'intéresse au bloc d'instruction ci-dessous intitulé «~Programme de calcul~».\\
    On souhaite le compléter pour calculer le résultat obtenu avec le programme de calcul en
    fonction du nombre choisi au départ.\\
    On précise que deux variables ont été créées : «~nombre choisi~» qui correspond au nombre
    choisi au départ, et «~Résultat~».

    \begin{center}
    \begin{scratch}[scale=0.72]
    \initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Programme de calcul}}
    \blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\casea * \ovalvariable{Nombre choisi}}}
    \blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\caseb * \ovalvariable{Résultat}}}
    \blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat} + \ovalvariable{Nombre choisi}}}
    \blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat} - \ovalnum{66}}}
    \end{scratch}
    \end{center}

    Écrire sur votre copie le contenu qui doit être inséré dans les emplacements A et B.
    \textbf{Aucune justification n'est attendue pour cette question.}

    \item Lucie insère le bloc précédent dans le script ci-dessous et observe la réponse donnée
    par le lutin :

    \begin{center}
    \begin{minipage}[c]{0.68\linewidth}\centering
    \textbf{Script}\\[2mm]
    \begin{scratch}[scale=0.55]
    \blockinit{Quand \greenflag\ est cliqué}
    \blockvariable{mettre \selectmenu{nombre choisi} à \ovalnum{0}}
    \blockrepeat{répéter \ovalnum{20} fois}{%
    \blockmoreblocks{Programme de calcul}
    \blockif{si \booloperator{\ovalvariable{Résultat} = \ovalnum{0}} alors}{%
    \blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{On peut choisir comme nombre de départ} et \ovalvariable{nombre choisi}}}
    }
    \blockvariable{mettre \selectmenu{nombre choisi} à \ovaloperator{\ovalvariable{nombre choisi} + \ovalnum{0,5}}}
    }
    \end{scratch}
    \end{minipage}\hfill
    \begin{minipage}[c]{0.28\linewidth}\centering
    \textbf{Réponse du lutin}\\[2mm]
    \fbox{\begin{minipage}{0.88\linewidth}\centering
    On peut choisir comme nombre de départ 5,5.
    \end{minipage}}
    \end{minipage}
    \end{center}

    À quoi correspond la valeur 5,5 donnée comme réponse par le lutin avec le programme de
    Lucie ?
  \end{enumerate}
  \end{minipage}

  \item On nomme $x$ le nombre choisi au départ.
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer l'expression obtenue par ce programme de calcul en fonction de $x$.
    \item On admet que $(2x-11)(x+6)$ est la forme factorisée de l'expression trouvée à la
    question précédente.\\
    Pour quelle(s) valeur(s) de $x$, le résultat obtenu avec le programme est-il égal à 0 ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{5}{22}

Un professionnel et un amateur vont faire une séance de karting sur la piste ci-dessous
(représentée en traits pleins).\\
Cette piste est constituée de segments, de demi-cercles et de quarts de cercles.\\
Le professionnel fait un tour de piste en 60 secondes.\\
L'amateur fait un tour de piste en 72 secondes.

\begin{center}
\pistekarting
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item Montrer que la longueur de la piste est de \np{1045} m, arrondie à l'unité près.\\
  Toute trace de recherche sera valorisée.

  \item Calculer la vitesse moyenne du professionnel en m/s. On arrondira au centième près.

  \item Pour des raisons de sécurité sur ce circuit, les amateurs ne doivent pas dépasser les
  60 km/h de moyenne. Cet amateur respecte-t-il les règles de sécurité ?

  \item Le professionnel et l'amateur partent en même temps de la ligne de départ et font
  plusieurs tours de circuit.\\
  On rappelle que le professionnel effectue un tour en 60 s et l'amateur en 72 s.
  \begin{enumerate}
    \item Décomposer 60 et 72 en produit de facteurs premiers.
    \item Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois sur la ligne de
    départ ensemble ?
    \item Combien auront-ils alors effectué de tours chacun ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
