\documentclass[11pt]{article}
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% Paragraphs
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\setlist[itemize]{itemsep=.15em,topsep=.25em}
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\newcommand{\parttitle}[2]{%
  \medskip\noindent\textbf{\large #1}\hfill\textbf{\large #2}\par\smallskip}
\newcommand{\exercise}[1]{\medskip\textbf{Exercice #1}\par}
\newcommand{\subpart}[1]{\medskip\textbf{Partie #1}\par}
\newcommand{\answer}[1]{\par\smallskip\textcolor{blue!55!black}{#1}\par}


% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Polynésie, septembre 2008}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-polynesie-sept-2008}
\newcommand{\codefiche}{DNBPOLS08}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
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\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]
    {\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}


\cfoot{\thepage}
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\renewcommand{\headrule}{}

\begin{document}
\begin{center}{\large\bfseries Durée : 2 heures}\end{center}

\parttitle{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}{12 points}

\begin{center}\textbf{Cette page doit être rendue avec la copie.}\end{center}

\exercise{1}

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Trouver la réponse correcte et écrire le numéro correspondant dans la colonne de droite. Les détails des calculs ne sont pas demandés sur la copie.

\begin{center}
\scriptsize
\begin{tabularx}{\textwidth}{|>{\centering\arraybackslash}m{.45cm}|X|>{\centering\arraybackslash}m{2.15cm}|>{\centering\arraybackslash}m{2.15cm}|>{\centering\arraybackslash}m{2.15cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1.55cm}|}
\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{} & Réponse n\textsuperscript{o} 1 & Réponse n\textsuperscript{o} 2 & Réponse n\textsuperscript{o} 3 & N\textsuperscript{o} choisi \\
\hline
A & $\dfrac32+\dfrac{11}{5}\times\dfrac{15}{2}$ est égal à : & $\dfrac{111}{4}$ & $18$ & $\dfrac{35}{2}$ & \\
\hline
B & $\dfrac{14\times10^7\times27\times10^{-3}}{21\times10^2}$ est égal à : & $1\,800$ & $18\,000\,000$ & $18\,000$ & \\
\hline
C & Le nombre $(30\sqrt2)^2$ est égal à : & $60$ & $3\,600$ & $1\,800$ & \\
\hline
D & Pour tout nombre $x$, $(5x-2)^2$ est égal à : & $5x^2-20x+4$ & $25x^2-4$ & $25x^2-20x+4$ & \\
\hline
E & L'équation $(2x-3)(x+4)=0$ admet pour solutions : & $\dfrac23$ et $-4$ & $\dfrac32$ et $-4$ & $-\dfrac32$ et $4$ & \\
\hline
F & Un objet coûte $12\,000$ F. Son prix augmente de $5\,\%$. Quel sera son nouveau prix ? & $12\,600$ F & $12\,500$ F & $11\,400$ F & \\
\hline
G & Une voiture roule à $50$ km/h. En combien de temps parcourt-elle $110$ kilomètres ? & 2 h 20 min & 2 h 12 min & 60 min & \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\exercise{2}

Un vendeur possède un stock de 276 cartes postales et de 230 porte-clés. Il veut confectionner des coffrets « Souvenirs de Tahiti et ses Îles » de sorte que :
\begin{itemize}
  \item le nombre de cartes postales soit le même dans chaque coffret ;
  \item le nombre de porte-clés soit le même dans chaque coffret ;
  \item toutes les cartes postales et tous les porte-clés soient utilisés.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item Combien de coffrets contenant chacun 10 porte-clés pourra-t-il confectionner ? Combien de cartes postales contiendra alors chacun des coffrets ?
  \item
  \begin{enumerate}[label=\alph*.]
    \item Calculer le PGCD de 276 et 230 en détaillant la méthode utilisée.
    \item Quel nombre maximal de coffrets le vendeur peut-il confectionner ? Combien de porte-clés et de cartes postales contiendra alors chaque coffret ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\clearpage
\parttitle{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}{12 points}

\exercise{1}

\begin{minipage}[c]{.49\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=.72]
  \coordinate (O) at (0,0);
  \coordinate (A) at (-3,0);
  \coordinate (B) at (3,0);
  \coordinate (M) at (-1.5,{1.5*sqrt(3)});
  \coordinate (N) at (1.5,{-1.5*sqrt(3)});
  \draw (O) circle (3);
  \draw (A)--(M)--(B)--(N)--cycle;
  \draw (A)--(B) (M)--(N);
  \pic[draw,"$60^\circ$",angle radius=7mm,angle eccentricity=1.35]{angle=B--A--M};
  \fill (O) circle (1.3pt);
  \foreach \P/\pos in {A/left,B/right,M/above,N/below,O/below left}
    \node[\pos] at (\P) {$\P$};
  \node at (2.25,2.2) {$\mathcal C$};
\end{tikzpicture}

\textbf{Cette figure n'est pas en vraie grandeur.}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{.48\textwidth}
On considère la figure ci-contre dans laquelle :
\begin{itemize}
  \item $AB=6$ cm et $\widehat{BAM}=60^\circ$ ;
  \item $\mathcal C$ est le cercle de centre O et de diamètre $[AB]$ ;
  \item AMBN est un rectangle inscrit dans le cercle $\mathcal C$.
\end{itemize}
\end{minipage}

\subpart{A}
\begin{enumerate}
  \item Que représente le cercle $\mathcal C$ pour le triangle AMB ?
  \item Quelle est l'image du point A par la symétrie centrale de centre O ?
  \item Quelle est l'image du point M par la rotation de centre O, d'angle $120^\circ$, dans le sens des aiguilles d'une montre ?
\end{enumerate}

\subpart{B}
\begin{enumerate}
  \item En utilisant le cosinus de l'angle $\widehat{BAM}$, calculer AM.
  \item Combien mesure l'angle $\widehat{BOM}$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\exercise{2}

Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre. Un menuisier a fabriqué un objet en bois ayant la forme d'un prisme droit à base triangulaire. Cet objet est représenté par le solide ABCDEF ci-dessous tel que $AB=12$, $AC=9$, $BC=15$ et $CF=25$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.68]
  \coordinate (A) at (0,2.4); \coordinate (B) at (-3,4); \coordinate (C) at (2,4);
  \coordinate (D) at (0,-2.4); \coordinate (E) at (-3,-.8); \coordinate (F) at (2,-.8);
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle (A)--(D) (B)--(E) (C)--(F) (E)--(D)--(F);
  \draw[dashed] (E)--(F);
  \foreach \P/\pos in {A/right,B/above left,C/above right,D/below,E/left,F/right}\node[\pos] at (\P) {$\P$};
  \node at (-1.25,3.05) {$12$}; \node at (1.05,3.05) {$9$};
  \node at (-.5,4.25) {$15$}; \node at (2.25,1.55) {$25$};
\end{tikzpicture}

\textbf{Cette figure n'est pas en vraie grandeur.}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
  \item Montrer que l'aire $\mathcal B$ du triangle ABC est égale à $54\ \text{cm}^2$.
  \item En déduire le volume $\mathcal V$ du prisme droit en $\text{cm}^3$. On rappelle que $\mathcal V=\mathcal B\times h$, avec $\mathcal B$ l'aire de la base et $h$ la hauteur du prisme.
  \item Le menuisier souhaite tailler cet objet en le sectionnant par un plan parallèle à la face BCFE. L'intersection entre ce plan et la base ABC est le segment $[MN]$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
  \coordinate (B) at (0,0); \coordinate (A) at (6,0); \coordinate (C) at (6,4.5);
  \coordinate (M) at (1,0); \coordinate (N) at (6,3.75);
  \draw (B)--(A)--(C)--cycle (M)--(N);
  \foreach \P/\pos in {B/left,A/right,C/above,M/below,N/right}\node[\pos] at (\P) {$\P$};
  \node at (3.7,-.35) {$10$};
  \node[align=left,anchor=west] at (6.7,2.2) {$(MN)\parallel(BC)$\\$AM=10$\\$AB=12$\\$AC=9$\\$BC=15$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour faciliter la découpe du bois, le menuisier veut connaître la longueur AN.
\begin{enumerate}[label=\alph*.,start=1]
  \item Refaire cette figure en vraie grandeur.
  \item Calculer AN.
\end{enumerate}

\clearpage
\parttitle{PROBLÈME}{12 points}

\begin{center}\textbf{Une feuille de papier millimétré doit être utilisée et être rendue avec la copie.}\end{center}

Dans un cinéma, Manutea a le choix entre deux formules :
\begin{itemize}
  \item 1\textsuperscript{re} formule : payer $1\,000$ francs par ticket ;
  \item 2\textsuperscript{e} formule : acheter une carte de fidélité annuelle à $2\,500$ francs, puis payer 700 francs par ticket.
\end{itemize}

\subpart{A}
\begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter le tableau suivant :
  \begin{center}
  \begin{tabular}{|l|c|c|}\hline
  Nombre de tickets achetés en un an & 5 & \\ \hline
  Prix à payer (en F) avec la 1\textsuperscript{re} formule & & $14\,000$ \\ \hline
  Prix à payer (en F) avec la 2\textsuperscript{e} formule & & \\ \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  \item Soit $x$ le nombre de tickets achetés en un an. On note $F_1$ le prix à payer avec la première formule et $F_2$ le prix à payer avec la deuxième formule. Parmi les quatre fonctions suivantes,
  \[
    x\longmapsto x+1000\ ;\quad x\longmapsto1000x\ ;\quad
    x\longmapsto700x+2500\ ;\quad x\longmapsto2500x+700,
  \]
  laquelle correspond à $F_1$ ? Laquelle correspond à $F_2$ ?
  \item Si l'on dépense $16\,500$ francs avec la deuxième formule, combien de tickets achète-t-on en un an ?
  \item Pendant ces cinq dernières années, Manutea a relevé le nombre de tickets de cinéma qu'il a achetés. Calculer le nombre moyen de tickets achetés par an.
  \begin{center}
  \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  Année & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 \\ \hline
  Nombre de tickets achetés & 1 & 8 & 20 & 12 & 14 \\ \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  \item Manutea compte aller une fois par mois au cinéma cette année. Quelle sera la formule la plus intéressante pour lui ? Justifier.
\end{enumerate}

\subpart{B}
\begin{enumerate}
  \item Dans un repère orthogonal d'origine O, avec O placé en bas à gauche de la feuille de papier millimétré, on prend les unités suivantes :
  \begin{itemize}
    \item en abscisses : 1 cm pour 1 ticket acheté ;
    \item en ordonnées : 1 cm pour $1\,000$ francs.
  \end{itemize}
  Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ définies par
  \[
    f(x)=1000x \qquad\text{et}\qquad g(x)=700x+2500.
  \]
  \begin{center}\textbf{On répondra aux questions 2 à 4 en utilisant le graphique et en faisant apparaître les tracés nécessaires à la lecture graphique.}\end{center}
  \item Pour 15 tickets achetés en une année, quel est le prix à payer avec la première formule ?
  \item Avec un budget annuel de $12\,000$ F consacré au cinéma, combien de tickets peut-on acheter au maximum avec la deuxième formule ?
  \item Sur une année, à partir de combien de tickets la deuxième formule devient-elle plus avantageuse que la première pour Manutea ?
\end{enumerate}

\clearpage
\newgeometry{margin=1cm}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
  {\large\bfseries ANNEXE -- PAPIER MILLIMÉTRÉ}\par
  \vspace{2mm}
  \textit{Cette feuille est à rendre avec la copie.}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm]
  % Quadrillage millimétrique
  \draw[cyan!22,very thin,step=.1] (0,0) grid (18,24);
  % Traits tous les 5 mm
  \draw[cyan!40,thin,step=.5] (0,0) grid (18,24);
  % Traits tous les centimètres
  \draw[cyan!65!blue,semithick,step=1] (0,0) grid (18,24);
  \draw[cyan!70!blue,semithick] (0,0) rectangle (18,24);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}
