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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{5ème à DNB / Équations et problèmes}
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\newcommand{\duree}{1 h 30}
\newcommand{\bareme}{/20}
\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
        decoration={
            text along path,
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        }
    ] (-1.3,0.66) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.38];
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}

% -------- HEADER --------
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\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original de préparation progressive de la 5ème au DNB. Compétences visées : tester une égalité, résoudre des équations, traduire un problème par une équation, organiser une démarche et interpréter une solution.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1 -- Tester une égalité}

Pour chaque égalité, dire si elle est vraie pour la valeur proposée. Justifier par un calcul.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $x+7=15$ pour $x=8$.
    \item $3x-4=20$ pour $x=6$.
    \item $5x+2=3x+14$ pour $x=6$.
    \item $2(x+5)=3x+1$ pour $x=9$.
    \item $\dfrac{x}{4}+3=8$ pour $x=16$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2 -- Équations simples}

Résoudre les équations suivantes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $x+9=24$
    \item $x-13=31$
    \item $4x=36$
    \item $\dfrac{x}{5}=7$
    \item $3x+2=17$
    \item $5x-8=27$
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 3 -- Équations avec parenthèses}

Résoudre les équations suivantes en détaillant les étapes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $2(x+4)=18$
    \item $3(x-5)=21$
    \item $4x+3=2x+17$
    \item $5(x+2)=3x+26$
    \item $7x-4=3(x+8)$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 4 -- Traduire par une équation}

Pour chaque phrase, choisir l'équation qui convient, puis la résoudre.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Un nombre augmenté de $12$ vaut $35$.
    \item Le triple d'un nombre vaut $48$.
    \item Le double d'un nombre diminué de $5$ vaut $19$.
    \item La somme de $7$ et du quart d'un nombre vaut $15$.
    \item Le produit de $5$ par un nombre augmenté de $3$ vaut $40$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 5 -- Programmes de calcul}

On considère le programme de calcul suivant.

\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}{0.72\textwidth}
Choisir un nombre.\\
Multiplier par $4$.\\
Ajouter $10$.\\
Soustraire le double du nombre choisi au départ.
\end{minipage}}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Appliquer ce programme au nombre $6$.
    \item Appliquer ce programme au nombre $-3$.
    \item Si le nombre choisi est $x$, écrire l'expression obtenue à la fin du programme.
    \item Pour quel nombre de départ obtient-on $34$ ?
    \item Pour quel nombre de départ obtient-on le même résultat que le nombre choisi au départ ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 6 -- Problème d'âge}

Lina a $11$ ans. Son frère Sami a $5$ ans de plus qu'elle.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quel âge a Sami aujourd'hui ?
    \item Dans combien d'années la somme de leurs âges sera-t-elle égale à $45$ ?
    \item Écrire une équation permettant de résoudre la question précédente.
    \item Résoudre cette équation et conclure.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 7 -- Géométrie et équation}

Un rectangle a une largeur de $x$ cm et une longueur égale au triple de sa largeur. Son périmètre est $64$ cm.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
    \draw[thick] (0,0) rectangle (6,2);
    \node[below] at (3,0) {$3x$};
    \node[left] at (0,1) {$x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Exprimer le périmètre du rectangle en fonction de $x$.
    \item Écrire l'équation correspondant à l'énoncé.
    \item Résoudre cette équation.
    \item Donner la largeur et la longueur du rectangle.
    \item Calculer l'aire du rectangle.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 8 -- Tarifs}

Une salle de sport propose deux formules.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Formule A & $18$ euros par séance \\
\hline
Formule B & Abonnement de $60$ euros puis $10$ euros par séance \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On note $x$ le nombre de séances.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Exprimer le prix de la formule A en fonction de $x$.
    \item Exprimer le prix de la formule B en fonction de $x$.
    \item Pour combien de séances les deux formules coûtent-elles le même prix ?
    \item Pour $12$ séances, quelle formule est la plus avantageuse ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 9 -- Nombres consécutifs}

On cherche deux nombres entiers consécutifs dont la somme vaut $157$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Si le plus petit nombre est $n$, exprimer le nombre suivant en fonction de $n$.
    \item Écrire une équation traduisant l'énoncé.
    \item Résoudre cette équation.
    \item Donner les deux nombres et vérifier leur somme.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 10 -- Type brevet : sortie au cinéma}

Une classe organise une sortie au cinéma. Le cinéma propose deux tarifs pour un groupe.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Tarif 1 & $7{,}50$ euros par élève \\
\hline
Tarif 2 & Frais fixes de $48$ euros puis $5{,}50$ euros par élève \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On note $x$ le nombre d'élèves participant à la sortie.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Écrire, en fonction de $x$, le coût avec le tarif 1.
    \item Écrire, en fonction de $x$, le coût avec le tarif 2.
    \item Résoudre l'équation $7{,}5x=48+5{,}5x$.
    \item Interpréter le résultat obtenu.
    \item Pour $30$ élèves, quel tarif faut-il choisir ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 11 -- Synthèse DNB}

Un artisan fabrique des cadres rectangulaires. La longueur d'un cadre mesure $8$ cm de plus que sa largeur. Le périmètre du cadre est $76$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item On note $x$ la largeur du cadre. Exprimer la longueur en fonction de $x$.
    \item Écrire une équation traduisant le périmètre du cadre.
    \item Résoudre cette équation.
    \item Donner les dimensions du cadre.
    \item L'artisan ajoute une marge intérieure de $2$ cm de chaque côté. Calculer les dimensions et l'aire de la partie visible.
    \item Quel pourcentage de l'aire totale du cadre représente l'aire visible ? Arrondir à l'unité.
\end{enumerate}

\vfill
\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Vrai : $8+7=15$.
    \item Faux : $3\times6-4=14$, et non $20$.
    \item Vrai : $5\times6+2=32$ et $3\times6+14=32$.
    \item Vrai : $2(9+5)=28$ et $3\times9+1=28$.
    \item Faux : $\dfrac{16}{4}+3=7$, et non $8$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $x=15$.
    \item $x=44$.
    \item $x=9$.
    \item $x=35$.
    \item $3x=15$, donc $x=5$.
    \item $5x=35$, donc $x=7$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $2(x+4)=18$, donc $x+4=9$ et $x=5$.
    \item $3(x-5)=21$, donc $x-5=7$ et $x=12$.
    \item $4x+3=2x+17$, donc $2x=14$ et $x=7$.
    \item $5x+10=3x+26$, donc $2x=16$ et $x=8$.
    \item $7x-4=3x+24$, donc $4x=28$ et $x=7$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $x+12=35$, donc $x=23$.
    \item $3x=48$, donc $x=16$.
    \item $2x-5=19$, donc $x=12$.
    \item $7+\dfrac{x}{4}=15$, donc $x=32$.
    \item $5(x+3)=40$, donc $x+3=8$ et $x=5$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Avec $6$, on obtient $4\times6+10-2\times6=22$.
    \item Avec $-3$, on obtient $4\times(-3)+10-2\times(-3)=4$.
    \item L'expression finale est $4x+10-2x=2x+10$.
    \item $2x+10=34$, donc $x=12$.
    \item $2x+10=x$, donc $x=-10$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Sami a $16$ ans aujourd'hui.
    \item Dans $x$ années, Lina aura $11+x$ ans et Sami aura $16+x$ ans.
    \item L'équation est $(11+x)+(16+x)=45$.
    \item $27+2x=45$, donc $2x=18$ et $x=9$. Dans $9$ ans, la somme de leurs âges sera $45$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le périmètre vaut $2(x+3x)=8x$.
    \item L'équation est $8x=64$.
    \item $x=8$.
    \item La largeur vaut $8$ cm et la longueur vaut $24$ cm.
    \item L'aire vaut $8\times24=192$ cm$^2$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item La formule A coûte $18x$ euros.
    \item La formule B coûte $60+10x$ euros.
    \item $18x=60+10x$, donc $8x=60$ et $x=7{,}5$. Il n'y a pas un nombre entier de séances pour lequel les deux formules sont exactement égales.
    \item Pour $12$ séances : A coûte $216$ euros et B coûte $180$ euros. La formule B est plus avantageuse.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le nombre suivant est $n+1$.
    \item $n+(n+1)=157$.
    \item $2n+1=157$, donc $2n=156$ et $n=78$.
    \item Les deux nombres sont $78$ et $79$ ; $78+79=157$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le tarif 1 coûte $7{,}5x$ euros.
    \item Le tarif 2 coûte $48+5{,}5x$ euros.
    \item $7{,}5x=48+5{,}5x$, donc $2x=48$ et $x=24$.
    \item Pour $24$ élèves, les deux tarifs coûtent le même prix.
    \item Pour $30$ élèves : tarif 1 $=225$ euros et tarif 2 $=213$ euros. Il faut choisir le tarif 2.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 11}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item La longueur vaut $x+8$.
    \item $2(x+x+8)=76$.
    \item $4x+16=76$, donc $4x=60$ et $x=15$.
    \item La largeur vaut $15$ cm et la longueur vaut $23$ cm.
    \item La partie visible a pour dimensions $(15-4)\times(23-4)=11\times19=209$ cm$^2$.
    \item L'aire totale du cadre vaut $15\times23=345$ cm$^2$. Le pourcentage vaut $\dfrac{209}{345}\times100\approx61\%$.
\end{enumerate}

\end{document}