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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{De la 6ème au DNB / Les fractions}
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\newcommand{\duree}{1 h 30}
\newcommand{\bareme}{/20}
\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
        decoration={
            text along path,
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    ] (-1.3,0.66) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.38];
    \fill (0,-0.28) ellipse[x radius=0.48,y radius=0.42];
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% -------- HEADER --------
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    \logowouf
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    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original de préparation progressive. Compétences visées : représenter une fraction, comparer, simplifier, additionner, soustraire, multiplier, diviser, prendre une fraction d'une quantité, résoudre des problèmes et traiter des questions de type brevet.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1 -- Lire et représenter des fractions}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Écrire en toutes lettres les fractions suivantes :
    \[
    \frac{3}{4}\qquad \frac{5}{8}\qquad \frac{7}{10}\qquad \frac{11}{6}.
    \]
    \item Dans la fraction $\dfrac{7}{9}$, comment s'appelle le nombre $7$ ? Comment s'appelle le nombre $9$ ?
    \item Compléter : $\dfrac{3}{5}$ signifie que l'unité est partagée en \dotfill parts égales et que l'on en prend \dotfill.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
    \foreach \i in {0,...,7}{
        \draw (\i,0) rectangle +(1,1);
    }
    \foreach \i in {0,...,4}{
        \fill[blue!25] (\i,0) rectangle +(1,1);
    }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Quelle fraction de la bande est coloriée ?
    \item Quelle fraction de la bande n'est pas coloriée ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2 -- Fractions égales et simplification}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Compléter les égalités suivantes :
    \[
    \frac{2}{3}=\frac{\ldots}{12}\qquad
    \frac{5}{7}=\frac{20}{\ldots}\qquad
    \frac{9}{4}=\frac{\ldots}{20}.
    \]
    \item Simplifier les fractions suivantes le plus possible :
    \[
    \frac{12}{18}\qquad \frac{45}{60}\qquad \frac{84}{126}\qquad \frac{150}{210}.
    \]
    \item Les fractions $\dfrac{18}{24}$ et $\dfrac{27}{36}$ sont-elles égales ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 3 -- Comparer et ranger}

Comparer les fractions suivantes en utilisant les signes $<$, $>$ ou $=$.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$\dfrac{3}{7}$ \quad $\ldots$ \quad $\dfrac{5}{7}$ &
$\dfrac{4}{9}$ \quad $\ldots$ \quad $\dfrac{4}{5}$ &
$\dfrac{7}{12}$ \quad $\ldots$ \quad $\dfrac{2}{3}$ &
$\dfrac{11}{8}$ \quad $\ldots$ \quad $1$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Ranger dans l'ordre croissant :
    \[
    \frac{3}{4}\qquad \frac{5}{6}\qquad \frac{2}{3}\qquad \frac{7}{12}.
    \]
    \item Donner une fraction comprise entre $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{3}{4}$.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 4 -- Additions et soustractions}

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac{2}{9}+\dfrac{5}{9}$
    \item $\dfrac{7}{10}-\dfrac{3}{10}$
    \item $\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}$
    \item $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{4}$
    \item $\dfrac{3}{5}+\dfrac{7}{10}-\dfrac{1}{2}$
    \item $2-\dfrac{7}{8}$
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 5 -- Multiplications}

Calculer et simplifier si possible.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{7}$
    \item $\dfrac{8}{9}\times\dfrac{3}{4}$
    \item $\dfrac{5}{6}\times 12$
    \item $\dfrac{7}{10}\times\dfrac{15}{14}$
    \item $\dfrac{2}{3}$ de $45$ euros
    \item $35\%$ de $80$ élèves, en écrivant $35\%$ sous forme de fraction.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 6 -- Divisions et inverses}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner l'inverse de $\dfrac{5}{8}$, de $\dfrac{11}{3}$ et de $7$.
    \item Calculer :
    \[
    \frac{3}{5}\div\frac{2}{7}\qquad
    \frac{9}{4}\div\frac{3}{8}\qquad
    6\div\frac{4}{5}.
    \]
    \item Un ruban de $\dfrac{9}{2}$ m est découpé en morceaux de $\dfrac{3}{4}$ m. Combien de morceaux peut-on obtenir ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 7 -- Priorités de calcul}

Calculer en détaillant les étapes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $A=\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}\times\dfrac{3}{10}$
    \item $B=\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}\right)\times\dfrac{10}{3}$
    \item $C=\dfrac{7}{4}-\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}\right)$
    \item $D=\dfrac{5}{2}\div\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\right)$
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 8 -- Problème de recette}

Pour préparer un gâteau, on utilise :
\begin{itemize}
    \item $\dfrac{3}{4}$ d'un paquet de farine ;
    \item $\dfrac{2}{5}$ d'une tablette de chocolat ;
    \item $\dfrac{1}{6}$ d'un paquet de sucre.
\end{itemize}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item On possède $2$ paquets de farine. Combien de gâteaux peut-on préparer au maximum avec la farine ?
    \item On possède $3$ tablettes de chocolat. Combien de gâteaux peut-on préparer au maximum avec le chocolat ?
    \item On possède $1$ paquet de sucre. Combien de gâteaux peut-on préparer au maximum avec le sucre ?
    \item Quel ingrédient limite le nombre de gâteaux ? Combien de gâteaux complets peut-on préparer ?
    \item Quelle fraction de paquet de farine reste-t-il après avoir préparé ce nombre de gâteaux ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 9 -- Type brevet : trajet}

Lors d'une randonnée, un groupe parcourt $\dfrac{2}{5}$ du trajet le matin, puis $\dfrac{3}{10}$ du trajet l'après-midi. Le trajet total mesure $24$ km.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quelle fraction du trajet a été parcourue dans la journée ?
    \item Quelle fraction du trajet reste-t-il à parcourir ?
    \item Quelle distance a été parcourue le matin ?
    \item Quelle distance a été parcourue l'après-midi ?
    \item Quelle distance reste-t-il à parcourir ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 10 -- Synthèse DNB}

On donne les nombres suivants :
\[
E=\frac{5}{6}-\frac{7}{12}\times\frac{3}{14}
\qquad\text{et}\qquad
F=\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right)\div\frac{11}{6}.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer $E$ et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
    \item Calculer $F$ et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
    \item Comparer $E$ et $F$.
    \item Un article coûte $72$ euros. Son prix augmente de $\dfrac{1}{8}$ puis baisse de $\dfrac{1}{10}$ du nouveau prix. Calculer le prix final.
    \item La baisse finale ramène-t-elle le prix à $72$ euros ? Justifier.
\end{enumerate}

\vfill
\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac34$ se lit « trois quarts », $\dfrac58$ « cinq huitièmes », $\dfrac7{10}$ « sept dixièmes » et $\dfrac{11}{6}$ « onze sixièmes ».
    \item Dans $\dfrac79$, $7$ est le numérateur et $9$ est le dénominateur.
    \item $\dfrac35$ signifie que l'unité est partagée en $5$ parts égales et que l'on en prend $3$.
    \item La fraction coloriée est $\dfrac58$.
    \item La fraction non coloriée est $\dfrac38$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac23=\dfrac8{12}$, $\dfrac57=\dfrac{20}{28}$ et $\dfrac94=\dfrac{45}{20}$.
    \item $\dfrac{12}{18}=\dfrac23$, $\dfrac{45}{60}=\dfrac34$, $\dfrac{84}{126}=\dfrac23$ et $\dfrac{150}{210}=\dfrac57$.
    \item Oui, car $\dfrac{18}{24}=\dfrac34$ et $\dfrac{27}{36}=\dfrac34$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac37<\dfrac57$, $\dfrac49<\dfrac45$, $\dfrac7{12}<\dfrac23$ et $\dfrac{11}{8}>1$.
    \item Avec le dénominateur $12$ : $\dfrac34=\dfrac9{12}$, $\dfrac56=\dfrac{10}{12}$, $\dfrac23=\dfrac8{12}$ et $\dfrac7{12}=\dfrac7{12}$. L'ordre croissant est donc $\dfrac7{12}<\dfrac23<\dfrac34<\dfrac56$.
    \item Par exemple $\dfrac58$ est compris entre $\dfrac12$ et $\dfrac34$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac29+\dfrac59=\dfrac79$.
    \item $\dfrac7{10}-\dfrac3{10}=\dfrac4{10}=\dfrac25$.
    \item $\dfrac14+\dfrac23=\dfrac3{12}+\dfrac8{12}=\dfrac{11}{12}$.
    \item $\dfrac56-\dfrac14=\dfrac{10}{12}-\dfrac3{12}=\dfrac7{12}$.
    \item $\dfrac35+\dfrac7{10}-\dfrac12=\dfrac6{10}+\dfrac7{10}-\dfrac5{10}=\dfrac8{10}=\dfrac45$.
    \item $2-\dfrac78=\dfrac{16}{8}-\dfrac78=\dfrac98$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac34\times\dfrac57=\dfrac{15}{28}$.
    \item $\dfrac89\times\dfrac34=\dfrac{24}{36}=\dfrac23$.
    \item $\dfrac56\times12=10$.
    \item $\dfrac7{10}\times\dfrac{15}{14}=\dfrac34$.
    \item $\dfrac23$ de $45$ euros vaut $30$ euros.
    \item $35\%=\dfrac{35}{100}=\dfrac7{20}$, donc $\dfrac7{20}\times80=28$ élèves.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Les inverses sont $\dfrac85$, $\dfrac3{11}$ et $\dfrac17$.
    \item $\dfrac35\div\dfrac27=\dfrac35\times\dfrac72=\dfrac{21}{10}$.
    
    $\dfrac94\div\dfrac38=\dfrac94\times\dfrac83=6$.
    
    $6\div\dfrac45=6\times\dfrac54=\dfrac{15}{2}$.
    \item $\dfrac92\div\dfrac34=\dfrac92\times\dfrac43=6$. On peut obtenir $6$ morceaux.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $A=\dfrac23+\dfrac56\times\dfrac3{10}=\dfrac23+\dfrac14=\dfrac8{12}+\dfrac3{12}=\dfrac{11}{12}$.
    \item $B=\left(\dfrac45-\dfrac12\right)\times\dfrac{10}{3}=\left(\dfrac8{10}-\dfrac5{10}\right)\times\dfrac{10}{3}=\dfrac3{10}\times\dfrac{10}{3}=1$.
    \item $C=\dfrac74-\left(\dfrac23+\dfrac16\right)=\dfrac74-\left(\dfrac46+\dfrac16\right)=\dfrac74-\dfrac56=\dfrac{21}{12}-\dfrac{10}{12}=\dfrac{11}{12}$.
    \item $D=\dfrac52\div\left(\dfrac34+\dfrac12\right)=\dfrac52\div\dfrac54=\dfrac52\times\dfrac45=2$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Avec la farine : $2\div\dfrac34=2\times\dfrac43=\dfrac83$, donc au maximum $2$ gâteaux complets.
    \item Avec le chocolat : $3\div\dfrac25=3\times\dfrac52=\dfrac{15}{2}=7{,}5$, donc au maximum $7$ gâteaux complets.
    \item Avec le sucre : $1\div\dfrac16=6$, donc au maximum $6$ gâteaux complets.
    \item La farine limite la préparation : on peut faire $2$ gâteaux complets.
    \item Pour $2$ gâteaux, on utilise $2\times\dfrac34=\dfrac32$ paquet de farine. Il reste $2-\dfrac32=\dfrac12$ paquet.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac25+\dfrac3{10}=\dfrac4{10}+\dfrac3{10}=\dfrac7{10}$ du trajet.
    \item Il reste $1-\dfrac7{10}=\dfrac3{10}$ du trajet.
    \item Le matin : $\dfrac25\times24=\dfrac{48}{5}=9{,}6$ km.
    \item L'après-midi : $\dfrac3{10}\times24=7{,}2$ km.
    \item Il reste $\dfrac3{10}\times24=7{,}2$ km.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $E=\dfrac56-\dfrac7{12}\times\dfrac3{14}=\dfrac56-\dfrac18=\dfrac{20}{24}-\dfrac3{24}=\dfrac{17}{24}$.
    \item $F=\left(\dfrac23+\dfrac14\right)\div\dfrac{11}{6}=\left(\dfrac8{12}+\dfrac3{12}\right)\div\dfrac{11}{6}=\dfrac{11}{12}\times\dfrac6{11}=\dfrac12$.
    \item $E=\dfrac{17}{24}$ et $F=\dfrac12=\dfrac{12}{24}$, donc $E>F$.
    \item Augmenter de $\dfrac18$ revient à multiplier par $\dfrac98$ : $72\times\dfrac98=81$. Puis baisser de $\dfrac1{10}$ revient à multiplier par $\dfrac9{10}$ : $81\times\dfrac9{10}=72{,}9$. Le prix final est $72{,}90$ euros.
    \item Non, le prix final est $72{,}90$ euros, donc il ne revient pas à $72$ euros. Les pourcentages ou fractions successifs ne s'annulent pas car ils ne s'appliquent pas au même prix de départ.
\end{enumerate}

\end{document}