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\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
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}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original de préparation progressive. Compétences visées : reconnaître une situation de proportionnalité, compléter un tableau, utiliser un coefficient, appliquer un produit en croix, manipuler pourcentages, échelles, vitesses et résoudre des problèmes type DNB.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1 -- Reconnaître une situation de proportionnalité}

Pour chaque situation, indiquer s'il s'agit d'une situation de proportionnalité. Justifier brièvement.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le prix de pommes vendues à $2{,}40$ euros le kilogramme en fonction de la masse achetée.
    \item L'âge d'une personne en fonction de sa taille.
    \item Le périmètre d'un carré en fonction de la longueur de son côté.
    \item Le prix d'une course de taxi avec $4$ euros de prise en charge puis $1{,}50$ euro par kilomètre.
    \item La distance parcourue à vitesse constante en fonction du temps.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2 -- Tableaux de proportionnalité}

Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ? Justifier.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre de cahiers & 2 & 4 & 7 & 10 \\
\hline
Prix en euros & 3 & 6 & 10{,}5 & 15 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre d'entrées & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
Prix en euros & 8 & 16 & 21 & 32 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Pour le premier tableau, donner le coefficient de proportionnalité.
    \item Corriger la valeur fausse du deuxième tableau pour qu'il devienne proportionnel avec un prix unitaire de $8$ euros.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 3 -- Compléter un tableau}

On sait que $5$ kg de pommes coûtent $12$ euros.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Masse en kg & 1 & 2 & 5 & 8 & 12 \\
\hline
Prix en euros & & & 12 & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer le prix d'un kilogramme de pommes.
    \item Compléter le tableau.
    \item Quelle masse de pommes peut-on acheter avec $30$ euros ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 4 -- Produit en croix}

Résoudre les questions suivantes en utilisant une méthode de proportionnalité.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $7$ stylos coûtent $12{,}60$ euros. Combien coûtent $15$ stylos ?
    \item Une voiture consomme $6$ L d'essence pour $100$ km. Combien consomme-t-elle pour $350$ km ?
    \item $4$ kg de riz coûtent $9{,}20$ euros. Quelle masse de riz peut-on acheter avec $23$ euros ?
    \item Une recette pour $6$ personnes utilise $450$ g de farine. Quelle masse de farine faut-il pour $10$ personnes ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 5 -- Pourcentages}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer $15\%$ de $80$.
    \item Calculer $7\%$ de $250$.
    \item Dans une classe de $28$ élèves, $75\%$ des élèves mangent à la cantine. Combien d'élèves cela représente-t-il ?
    \item Un article coûte $120$ euros. Il subit une réduction de $20\%$. Quel est son nouveau prix ?
    \item Un prix passe de $50$ euros à $62$ euros. Quel est le pourcentage d'augmentation ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 6 -- Échelles}

Sur un plan à l'échelle $1:50\,000$, $1$ cm sur le plan représente $50\,000$ cm en réalité.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Convertir $50\,000$ cm en mètres puis en kilomètres.
    \item Sur ce plan, deux villages sont séparés de $6{,}4$ cm. Quelle est la distance réelle en kilomètres ?
    \item Une route mesure $12$ km en réalité. Quelle est sa longueur sur le plan ?
    \item Sur un autre plan, $3$ cm représentent $750$ m. Quelle est l'échelle de ce plan ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 7 -- Vitesse, distance, temps}

On rappelle que $d=v\times t$ lorsque la vitesse est constante.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Un cycliste roule à $18$ km/h pendant $2{,}5$ h. Quelle distance parcourt-il ?
    \item Une voiture parcourt $210$ km en $3$ h. Quelle est sa vitesse moyenne ?
    \item Un train roule à $120$ km/h. Combien de temps met-il pour parcourir $300$ km ?
    \item Convertir $90$ km/h en m/s.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 8 -- Représentation graphique}

On donne le tableau suivant.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & 0 & 2 & 5 & 8 \\
\hline
$y$ & 0 & 6 & 15 & 24 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Montrer que ce tableau est un tableau de proportionnalité.
    \item Donner le coefficient de proportionnalité permettant de passer de $x$ à $y$.
    \item Dans un repère, quelle forme aurait la représentation graphique de cette situation ?
    \item Compléter : si $x=11$, alors $y=\ldots$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.68cm, y=0.30cm]
    \draw[xstep=2,ystep=6,gray!35,very thin] (0,0) grid (10,30);
    \draw[->,thick] (0,0)--(11,0) node[right] {$x$};
    \draw[->,thick] (0,0)--(0,33) node[above] {$y$};
    \foreach \x in {0,2,4,6,8,10} \draw (\x,0.5)--(\x,-0.5) node[below,scale=0.8] {\x};
    \foreach \y in {0,6,12,18,24,30} \draw (0.15,\y)--(-0.15,\y) node[left,scale=0.8] {\y};
    \fill[blue] (0,0) circle (3pt);
    \fill[blue] (2,6) circle (3pt);
    \fill[blue] (5,15) circle (3pt);
    \fill[blue] (8,24) circle (3pt);
    \draw[blue,thick] (0,0)--(10,30);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

\section*{Exercice 9 -- Type brevet : recette et budget}

Une recette de crêpes pour $8$ personnes nécessite $320$ g de farine, $4$ œufs et $0{,}8$ L de lait.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quelle quantité de farine faut-il pour $5$ personnes ?
    \item Combien d'œufs faut-il pour $12$ personnes ?
    \item Quelle quantité de lait faut-il pour $20$ personnes ?
    \item On dispose de $1{,}2$ kg de farine. Pour combien de personnes peut-on préparer cette recette au maximum, si seule la farine est prise en compte ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 10 -- Type brevet : soldes successives}

Un magasin vend un vélo à $480$ euros. Pendant les soldes, il applique une réduction de $25\%$, puis une réduction supplémentaire de $10\%$ sur le prix déjà soldé.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer le prix après la première réduction.
    \item Calculer le prix final après la deuxième réduction.
    \item La réduction totale est-elle de $35\%$ ? Justifier.
    \item Calculer le pourcentage réel de réduction par rapport au prix initial.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 11 -- Synthèse DNB}

Une entreprise fabrique des bouteilles de jus. Le tableau suivant donne le nombre de bouteilles produites en fonction du temps de fonctionnement d'une machine.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Temps en min & 12 & 30 & 45 & 60 \\
\hline
Nombre de bouteilles & 180 & 450 & 675 & 900 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Vérifier que ce tableau traduit une situation de proportionnalité.
    \item Combien de bouteilles la machine produit-elle en une minute ?
    \item Combien de bouteilles produit-elle en $2$ h $30$ min ?
    \item Combien de temps faut-il pour produire $3\,600$ bouteilles ? Donner la réponse en heures et minutes.
    \item Les bouteilles sont vendues par lots de $6$. Chaque lot coûte $4{,}80$ euros. Quelle recette obtient-on avec $3\,600$ bouteilles vendues ?
\end{enumerate}

\vfill
\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Oui, le prix est proportionnel à la masse car le prix au kilogramme est constant.
    \item Non, l'âge et la taille ne sont pas proportionnels.
    \item Oui, le périmètre vaut $4$ fois le côté.
    \item Non, à cause de la prise en charge fixe de $4$ euros.
    \item Oui, si la vitesse est constante, la distance est proportionnelle au temps.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le premier tableau est proportionnel car $\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{10{,}5}{7}=\dfrac{15}{10}=1{,}5$.
    \item Le deuxième tableau n'est pas proportionnel car pour $3$ entrées, on devrait payer $24$ euros et non $21$ euros.
    \item Le coefficient de proportionnalité du premier tableau est $1{,}5$.
    \item La valeur fausse est $21$ ; il faut la remplacer par $24$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le prix d'un kilogramme est $12\div5=2{,}40$ euros.
    \item Pour $1$, $2$, $5$, $8$, $12$ kg, les prix sont $2{,}40$, $4{,}80$, $12$, $19{,}20$, $28{,}80$ euros.
    \item Avec $30$ euros, on peut acheter $30\div2{,}40=12{,}5$ kg.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Un stylo coûte $12{,}60\div7=1{,}80$ euro, donc $15$ stylos coûtent $27$ euros.
    \item Pour $350$ km, la voiture consomme $6\times3{,}5=21$ L.
    \item $1$ kg coûte $9{,}20\div4=2{,}30$ euros. Avec $23$ euros, on achète $10$ kg.
    \item Pour $10$ personnes, il faut $450\times\dfrac{10}{6}=750$ g.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $15\%$ de $80$ vaut $12$.
    \item $7\%$ de $250$ vaut $17{,}5$.
    \item $75\%$ de $28$ vaut $21$ élèves.
    \item La réduction vaut $24$ euros, donc le nouveau prix est $96$ euros.
    \item L'augmentation est $12$ euros sur $50$ euros, soit $\dfrac{12}{50}=0{,}24=24\%$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $50\,000$ cm = $500$ m = $0{,}5$ km.
    \item $6{,}4$ cm représentent $6{,}4\times0{,}5=3{,}2$ km.
    \item $12$ km correspondent à $12\div0{,}5=24$ cm sur le plan.
    \item $750$ m = $75\,000$ cm. Si $3$ cm représentent $75\,000$ cm, alors $1$ cm représente $25\,000$ cm : l'échelle est $1:25\,000$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $d=18\times2{,}5=45$ km.
    \item $v=210\div3=70$ km/h.
    \item $t=300\div120=2{,}5$ h, soit $2$ h $30$ min.
    \item $90$ km/h = $\dfrac{90\,000}{3\,600}=25$ m/s.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac{6}{2}=\dfrac{15}{5}=\dfrac{24}{8}=3$, donc le tableau est proportionnel.
    \item Le coefficient de proportionnalité est $3$.
    \item La représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
    \item Si $x=11$, alors $y=33$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Pour $5$ personnes, il faut $320\times\dfrac{5}{8}=200$ g de farine.
    \item Pour $12$ personnes, il faut $4\times\dfrac{12}{8}=6$ œufs.
    \item Pour $20$ personnes, il faut $0{,}8\times\dfrac{20}{8}=2$ L de lait.
    \item $1{,}2$ kg = $1\,200$ g. Comme $320$ g servent pour $8$ personnes, $1\,200$ g servent pour $8\times\dfrac{1\,200}{320}=30$ personnes.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Après $25\%$ de réduction, le prix est $480\times0{,}75=360$ euros.
    \item Après la deuxième réduction, le prix final est $360\times0{,}90=324$ euros.
    \item Non, car les deux réductions ne s'appliquent pas au même prix.
    \item La réduction totale vaut $480-324=156$ euros, soit $\dfrac{156}{480}=0{,}325=32{,}5\%$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 11}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac{180}{12}=\dfrac{450}{30}=\dfrac{675}{45}=\dfrac{900}{60}=15$, donc le tableau est proportionnel.
    \item La machine produit $15$ bouteilles par minute.
    \item $2$ h $30$ min = $150$ min, donc elle produit $150\times15=2\,250$ bouteilles.
    \item Pour $3\,600$ bouteilles, il faut $3\,600\div15=240$ min, soit $4$ h.
    \item $3\,600$ bouteilles font $3\,600\div6=600$ lots. La recette est $600\times4{,}80=2\,880$ euros.
\end{enumerate}

\end{document}