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% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Mathématiques}
\newcommand{\soustitre}{3ème / Puissances et notation scientifique au DNB}
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\newcommand{\duree}{1 h 30}
\newcommand{\bareme}{/20}
\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
        decoration={
            text along path,
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        }
    ] (-1.3,0.66) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.38];
    \fill (0,-0.28) ellipse[x radius=0.48,y radius=0.42];
    \fill (-0.64,0.42) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.31];
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\end{tikzpicture}%
}

% -------- HEADER --------
\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
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    \logowouf
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\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original de préparation au DNB. Compétences visées : comprendre les puissances, utiliser les règles de calcul, manipuler les puissances de 10, écrire en notation scientifique, comparer des grands et petits nombres et résoudre des problèmes contextualisés.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1 -- Définition et calculs simples}

Calculer les nombres suivants.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $2^5$
    \item $3^4$
    \item $10^6$
    \item $5^0$
    \item $(-2)^4$
    \item $-2^4$
    \item $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$
    \item $7^1$
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Expliquer la différence entre $(-2)^4$ et $-2^4$.
    \item Compléter : pour tout nombre non nul $a$, $a^0=\ldots$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2 -- Puissances de 10}

Compléter le tableau suivant.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Puissance & $10^3$ & $10^0$ & $10^{-2}$ & $10^6$ & $10^{-5}$ \\
\hline
Écriture décimale & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Écrire $100\,000$ sous forme d'une puissance de $10$.
    \item Écrire $0{,}001$ sous forme d'une puissance de $10$.
    \item Écrire $\dfrac{1}{10^7}$ sous forme $10^n$.
    \item Écrire $10^{-4}$ sous forme d'une fraction puis sous forme décimale.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 3 -- Règles de calcul}

Écrire sous la forme d'une seule puissance lorsque c'est possible.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $10^4\times10^7$
    \item $10^9\div10^3$
    \item $(10^2)^5$
    \item $3^4\times3^2$
    \item $5^8\div5^3$
    \item $(2^3)^4$
    \item $7^3\times2^3$
    \item $6^5\div2^5$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 4 -- Écriture scientifique}

Écrire les nombres suivants en notation scientifique.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $45\,000$
    \item $7\,200\,000$
    \item $0{,}0034$
    \item $0{,}000\,000\,82$
    \item $301\times10^5$
    \item $0{,}56\times10^{-3}$
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Rappeler la forme générale d'une notation scientifique.
    \item Parmi les écritures suivantes, lesquelles sont des notations scientifiques ?
    \[
    12{,}4\times10^5\qquad 1{,}24\times10^6\qquad 0{,}8\times10^{-2}\qquad 8\times10^{-3}.
    \]
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 5 -- De la notation scientifique à l'écriture décimale}

Donner l'écriture décimale des nombres suivants.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $3{,}7\times10^4$
    \item $6{,}05\times10^7$
    \item $9{,}81\times10^{-2}$
    \item $1{,}2\times10^{-5}$
    \item $4\times10^0$
    \item $2{,}003\times10^3$
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 6 -- Calculer avec la notation scientifique}

Calculer puis donner le résultat en notation scientifique.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $(3\times10^5)\times(2\times10^4)$
    \item $(8\times10^7)\div(4\times10^2)$
    \item $(1{,}5\times10^{-3})\times(4\times10^6)$
    \item $(6\times10^{-2})\div(3\times10^5)$
    \item $(2{,}4\times10^3)+(3{,}1\times10^3)$
    \item $(7{,}2\times10^8)-(5\times10^7)$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 7 -- Comparer et ranger}

Comparer les nombres suivants en utilisant $<$, $>$ ou $=$.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$4{,}2\times10^5$ \quad $\ldots$ \quad $3{,}9\times10^6$ &
$7{,}5\times10^{-4}$ \quad $\ldots$ \quad $8\times10^{-5}$ &
$12\times10^3$ \quad $\ldots$ \quad $1{,}2\times10^4$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Ranger dans l'ordre croissant :
\[
A=3{,}4\times10^7,
\quad B=5{,}1\times10^6,
\quad C=9{,}8\times10^{-2},
\quad D=1{,}2\times10^8,
\quad E=7\times10^{-1}.
\]

\vspace{1em}

\section*{Exercice 8 -- Type brevet : astronomie}

La distance moyenne entre la Terre et le Soleil est environ $1{,}5\times10^8$ km. La lumière parcourt environ $3\times10^5$ km en une seconde.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Écrire $1{,}5\times10^8$ en écriture décimale.
    \item Calculer le temps, en secondes, mis par la lumière du Soleil pour atteindre la Terre.
    \item Convertir ce temps en minutes et secondes.
    \item La planète Mars peut se trouver à environ $2{,}25\times10^8$ km du Soleil. Comparer cette distance à celle Terre-Soleil.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 9 -- Type brevet : biologie}

Une bactérie a une longueur d'environ $2\times10^{-6}$ m. Un cheveu humain a une épaisseur d'environ $8\times10^{-5}$ m.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Écrire ces deux longueurs en mètres sous forme décimale.
    \item Combien de fois l'épaisseur d'un cheveu est-elle plus grande que la longueur de la bactérie ?
    \item Convertir $2\times10^{-6}$ m en micromètres, sachant que $1\,\mu\text{m}=10^{-6}$ m.
    \item On aligne $5\times10^6$ bactéries de longueur $2\times10^{-6}$ m. Quelle longueur totale obtient-on ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 10 -- Synthèse DNB}

On donne :
\[
A=\frac{6\times10^7\times 3\times10^{-4}}{9\times10^2}
\qquad\text{et}\qquad
B=(4{,}5\times10^{-3})\times(2\times10^8).
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer $A$ et donner le résultat en notation scientifique.
    \item Calculer $B$ et donner le résultat en notation scientifique.
    \item Comparer $A$ et $B$.
    \item Un fichier informatique contient $2{,}4\times10^6$ octets. On dispose d'une clé USB de capacité $1{,}6\times10^{10}$ octets. Combien de fichiers de cette taille peut-on stocker au maximum ?
    \item Donner un ordre de grandeur du résultat précédent.
\end{enumerate}

\vfill
\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $2^5=32$.
    \item $3^4=81$.
    \item $10^6=1\,000\,000$.
    \item $5^0=1$.
    \item $(-2)^4=16$.
    \item $-2^4=-16$.
    \item $\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18$.
    \item $7^1=7$.
    \item $(-2)^4$ signifie que le nombre $-2$ est élevé à la puissance $4$, alors que $-2^4$ signifie l'opposé de $2^4$.
    \item Pour tout nombre non nul $a$, $a^0=1$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $10^3=1\,000$, $10^0=1$, $10^{-2}=0{,}01$, $10^6=1\,000\,000$ et $10^{-5}=0{,}00001$.
    \item $100\,000=10^5$.
    \item $0{,}001=10^{-3}$.
    \item $\dfrac{1}{10^7}=10^{-7}$.
    \item $10^{-4}=\dfrac{1}{10^4}=\dfrac{1}{10\,000}=0{,}0001$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $10^4\times10^7=10^{11}$.
    \item $10^9\div10^3=10^6$.
    \item $(10^2)^5=10^{10}$.
    \item $3^4\times3^2=3^6$.
    \item $5^8\div5^3=5^5$.
    \item $(2^3)^4=2^{12}$.
    \item $7^3\times2^3=(7\times2)^3=14^3$.
    \item $6^5\div2^5=(6\div2)^5=3^5$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $45\,000=4{,}5\times10^4$.
    \item $7\,200\,000=7{,}2\times10^6$.
    \item $0{,}0034=3{,}4\times10^{-3}$.
    \item $0{,}000\,000\,82=8{,}2\times10^{-7}$.
    \item $301\times10^5=3{,}01\times10^7$.
    \item $0{,}56\times10^{-3}=5{,}6\times10^{-4}$.
    \item Une notation scientifique est de la forme $a\times10^n$, avec $1\leq a<10$ et $n$ entier relatif.
    \item Les notations scientifiques sont $1{,}24\times10^6$ et $8\times10^{-3}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $3{,}7\times10^4=37\,000$.
    \item $6{,}05\times10^7=60\,500\,000$.
    \item $9{,}81\times10^{-2}=0{,}0981$.
    \item $1{,}2\times10^{-5}=0{,}000012$.
    \item $4\times10^0=4$.
    \item $2{,}003\times10^3=2\,003$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $(3\times10^5)(2\times10^4)=6\times10^9$.
    \item $(8\times10^7)\div(4\times10^2)=2\times10^5$.
    \item $(1{,}5\times10^{-3})(4\times10^6)=6\times10^3$.
    \item $(6\times10^{-2})\div(3\times10^5)=2\times10^{-7}$.
    \item $(2{,}4\times10^3)+(3{,}1\times10^3)=5{,}5\times10^3$.
    \item $7{,}2\times10^8-5\times10^7=7{,}2\times10^8-0{,}5\times10^8=6{,}7\times10^8$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $4{,}2\times10^5<3{,}9\times10^6$.
    \item $7{,}5\times10^{-4}>8\times10^{-5}$.
    \item $12\times10^3=1{,}2\times10^4$.
    \item L'ordre croissant est : $C=9{,}8\times10^{-2}$, $E=7\times10^{-1}$, $B=5{,}1\times10^6$, $A=3{,}4\times10^7$, $D=1{,}2\times10^8$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $1{,}5\times10^8=150\,000\,000$ km.
    \item Le temps vaut $\dfrac{1{,}5\times10^8}{3\times10^5}=0{,}5\times10^3=500$ secondes.
    \item $500$ secondes correspondent à $8$ minutes et $20$ secondes.
    \item $2{,}25\times10^8$ km est $1{,}5$ fois plus grand que $1{,}5\times10^8$ km, car $\dfrac{2{,}25}{1{,}5}=1{,}5$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $2\times10^{-6}=0{,}000002$ m et $8\times10^{-5}=0{,}00008$ m.
    \item $\dfrac{8\times10^{-5}}{2\times10^{-6}}=4\times10^1=40$. Le cheveu est donc $40$ fois plus épais.
    \item $2\times10^{-6}$ m correspond à $2\,\mu\text{m}$.
    \item $(5\times10^6)(2\times10^{-6})=10$ m.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $A=\dfrac{6\times3}{9}\times10^{7+(-4)-2}=2\times10^1$.
    \item $B=4{,}5\times2\times10^{-3+8}=9\times10^5$.
    \item $A=20$ et $B=900\,000$, donc $A<B$.
    \item $\dfrac{1{,}6\times10^{10}}{2{,}4\times10^6}=\dfrac{1{,}6}{2{,}4}\times10^4=\dfrac{2}{3}\times10^4\approx6\,666{,}7$. On peut stocker au maximum $6\,666$ fichiers.
    \item Un ordre de grandeur est $7\times10^3$, soit environ $7\,000$ fichiers.
\end{enumerate}

\end{document}