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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\duree}{1 h}
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\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
        decoration={
            text along path,
            text={|\sffamily\bfseries\scriptsize|site2wouf.fr},
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        }
    ] (-1.3,0.66) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.38];
    \fill (0,-0.28) ellipse[x radius=0.48,y radius=0.42];
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% -------- HEADER --------
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}
}

\begin{document}



\section*{Exercice 1}

On considère le triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=6$ cm et $AC=8$ cm.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.65]
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (6,0);
    \coordinate (C) at (0,8);
    \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
    \draw (0,0) rectangle (0.45,0.45);
    \node[below left] at (A) {$A$};
    \node[below] at (B) {$B$};
    \node[left] at (C) {$C$};
    \node[below] at (3,0) {$6$ cm};
    \node[left] at (0,4) {$8$ cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Recopier la relation de Pythagore adaptée au triangle $ABC$.
    \item Calculer la longueur $BC$.
    \item Donner la nature du côté $BC$ dans ce triangle.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2}

Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$. On sait que $DE=5$ cm et $EF=13$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quel est le côté le plus long ? Comment s'appelle-t-il ?
    \item Calculer la longueur $DF$.
    \item Vérifier que le résultat obtenu est cohérent avec les longueurs données.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 3}

Pour chacun des triangles suivants, dire s'il est rectangle. Justifier par un calcul.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Triangle $RST$ : $RS=7$ cm, $RT=24$ cm et $ST=25$ cm.
    \item Triangle $MNP$ : $MN=6$ cm, $MP=10$ cm et $NP=12$ cm.
    \item Triangle $UVW$ : $UV=9$ cm, $UW=12$ cm et $VW=15$ cm.
\end{enumerate}

\vspace{1em}
\newpage
\section*{Exercice 4}

Une échelle de $5$ m est posée contre un mur vertical. Son pied est situé à $1{,}4$ m du mur.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
    \draw[very thick] (0,0) -- (0,5);
    \draw[very thick] (0,0) -- (3,0);
    \draw[thick] (3,0) -- (0,4.4);
    \draw (0,0) rectangle (0.35,0.35);
    \node[left] at (0,2.2) {mur};
    \node[below] at (1.5,0) {$1{,}4$ m};
    \node[above right] at (1.5,2.2) {échelle $5$ m};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Modéliser la situation par un triangle rectangle : préciser ce que représentent les trois côtés.
    \item Calculer la hauteur atteinte par le haut de l'échelle, au centimètre près.
    \item Expliquer pourquoi cette hauteur est inférieure à $5$ m.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 5}

Un terrain rectangulaire mesure $36$ m de long et $15$ m de large. On veut tendre un câble d'un coin du terrain au coin opposé.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Faire un schéma à main levée de la situation.
    \item Quelle longueur minimale de câble faut-il prévoir ?
    \item On dispose d'un câble de $38$ m. Est-il assez long ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 6}

Dans la figure ci-dessous, $ABCD$ est un rectangle tel que $AB=12$ cm et $AD=9$ cm. Le point $E$ est sur $[AB]$ et $AE=4$ cm.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (12,0);
    \coordinate (C) at (12,9);
    \coordinate (D) at (0,9);
    \coordinate (E) at (4,0);
    \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
    \draw[thick] (E) -- (D);
    \fill (A) circle (2pt) node[below left] {$A$};
    \fill (B) circle (2pt) node[below right] {$B$};
    \fill (C) circle (2pt) node[above right] {$C$};
    \fill (D) circle (2pt) node[above left] {$D$};
    \fill (E) circle (2pt) node[below] {$E$};
    \node[below] at (2,0) {$4$ cm};
    \node[below] at (8,0) {$8$ cm};
    \node[left] at (0,4.5) {$9$ cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer la longueur $ED$.
    \item Calculer la longueur $EC$.
    \item Comparer les longueurs $ED$ et $EC$.
\end{enumerate}

\vfill

\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, donc $BC^2=AB^2+AC^2$.
    \item $BC^2=6^2+8^2=36+64=100$, donc $BC=10$ cm.
    \item $BC$ est l'hypoténuse, c'est-à-dire le côté opposé à l'angle droit.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le côté le plus long est $EF$ : c'est l'hypoténuse.
    \item $EF^2=DE^2+DF^2$, donc $13^2=5^2+DF^2$. Ainsi $DF^2=169-25=144$, donc $DF=12$ cm.
    \item Le résultat est cohérent car $DF=12$ cm est inférieur à l'hypoténuse $EF=13$ cm.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le plus grand côté est $25$ cm. $7^2+24^2=49+576=625$ et $25^2=625$. Le triangle $RST$ est rectangle.
    \item Le plus grand côté est $12$ cm. $6^2+10^2=36+100=136$ et $12^2=144$. Le triangle $MNP$ n'est pas rectangle.
    \item Le plus grand côté est $15$ cm. $9^2+12^2=81+144=225$ et $15^2=225$. Le triangle $UVW$ est rectangle.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item On obtient un triangle rectangle : le mur est un côté de l'angle droit, le sol est l'autre côté, et l'échelle est l'hypoténuse.
    \item Si $h$ est la hauteur atteinte, alors $h^2+1{,}4^2=5^2$. Donc $h^2=25-1{,}96=23{,}04$, d'où $h=4{,}8$ m.
    \item Cette hauteur est inférieure à $5$ m car l'échelle est inclinée : elle forme l'hypoténuse, toujours plus longue que chaque côté de l'angle droit.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le câble correspond à la diagonale du rectangle.
    \item $d^2=36^2+15^2=1\,296+225=1\,521$, donc $d=39$ m.
    \item Non, un câble de $38$ m n'est pas assez long car la diagonale mesure $39$ m.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Dans le triangle $AED$ rectangle en $A$, $ED^2=AE^2+AD^2=4^2+9^2=97$, donc $ED=\sqrt{97}\approx 9{,}85$ cm.
    \item Comme $EB=8$ cm et $BC=9$ cm, dans le triangle $EBC$ rectangle en $B$, $EC^2=8^2+9^2=145$, donc $EC=\sqrt{145}\approx 12{,}04$ cm.
    \item $EC$ est plus grand que $ED$.
\end{enumerate}

\end{document}