\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\fancyhf{}
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% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Mathématiques}
\newcommand{\soustitre}{5ème / Repérage dans le plan}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}
\newcommand{\duree}{1 h}
\newcommand{\bareme}{/20}
\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
        decoration={
            text along path,
            text={|\sffamily\bfseries\scriptsize|site2wouf.fr},
            text align=center
        }
    ] (-1.3,0.66) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.38];
    \fill (0,-0.28) ellipse[x radius=0.48,y radius=0.42];
    \fill (-0.64,0.42) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.31];
    \fill (-0.22,0.68) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.35];
    \fill (0.22,0.68) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.35];
    \fill (0.64,0.42) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.31];
\end{tikzpicture}%
}

% -------- HEADER --------
\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
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\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
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\end{minipage}%
}
}

\newcommand{\repere}[1]{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.55]
    \draw[step=1cm,gray!35,very thin] (-5,-4) grid (5,5);
    \draw[->,thick] (-5.2,0)--(5.4,0) node[right] {$x$};
    \draw[->,thick] (0,-4.2)--(0,5.4) node[above] {$y$};
    \foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5} {\draw (\x,0.08)--(\x,-0.08) node[below] {\scriptsize \x};}
    \foreach \y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5} {\draw (0.08,\y)--(-0.08,\y) node[left] {\scriptsize \y};}
    \node[below left] at (0,0) {\scriptsize $O$};
    #1
\end{tikzpicture}%
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original de niveau 5ème. Compétences visées : lire et placer des coordonnées, comprendre abscisse et ordonnée, reconnaître des points alignés, calculer un milieu sur quadrillage et déterminer des distances horizontales, verticales ou simples.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1 -- Lire des coordonnées}

Dans le repère ci-dessous, lire les coordonnées des points placés.

\begin{center}
\repere{
    \fill (2,3) circle (3pt) node[above right] {$A$};
    \fill (-3,2) circle (3pt) node[above left] {$B$};
    \fill (-4,-2) circle (3pt) node[below left] {$C$};
    \fill (3,-3) circle (3pt) node[below right] {$D$};
    \fill (0,4) circle (3pt) node[right] {$E$};
    \fill (-2,0) circle (3pt) node[above] {$F$};
}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner les coordonnées de $A$, $B$ et $C$.
    \item Donner les coordonnées de $D$, $E$ et $F$.
    \item Quels points sont situés sur un axe du repère ? Préciser l'axe.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2 -- Placer des points}

Sur un repère orthonormé, placer les points suivants :
\[
A(1;4),\quad B(-2;3),\quad C(-4;-1),\quad D(3;-2),\quad E(0;-3),\quad F(5;0).
\]

\begin{center}
\repere{}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quel point a une abscisse nulle ?
    \item Quel point a une ordonnée nulle ?
    \item Dans quel quadrant se situe le point $C$ ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3 -- Abscisse et ordonnée}

Compléter les phrases suivantes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Dans le point $M(4;-2)$, l'abscisse est \dotfill et l'ordonnée est \dotfill.
    \item Dans le point $N(-3;5)$, l'abscisse est \dotfill et l'ordonnée est \dotfill.
    \item Tous les points de l'axe des abscisses ont une ordonnée égale à \dotfill.
    \item Tous les points de l'axe des ordonnées ont une abscisse égale à \dotfill.
    \item Le point $O(0;0)$ s'appelle \dotfill du repère.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 4 -- Déplacements sur quadrillage}

On part du point $P(-2;1)$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item On se déplace de $5$ carreaux vers la droite. Quelles sont les coordonnées du nouveau point ?
    \item À partir de ce nouveau point, on descend de $3$ carreaux. Quelles sont les coordonnées obtenues ?
    \item À partir de $P$, on se déplace de $4$ carreaux vers la gauche et de $2$ carreaux vers le haut. Quelles sont les coordonnées du point obtenu ?
    \item Expliquer l'effet d'un déplacement vers la droite sur l'abscisse.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 5 -- Points alignés}

On considère les points :
\[
A(-4;2),\quad B(-1;2),\quad C(3;2),\quad D(3;-1),\quad E(3;4),\quad F(-2;-3).
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quels points sont alignés horizontalement ? Justifier avec les coordonnées.
    \item Quels points sont alignés verticalement ? Justifier avec les coordonnées.
    \item Le point $F$ est-il aligné avec $A$, $B$ et $C$ ? Justifier.
    \item Placer ces points sur le repère pour vérifier.
\end{enumerate}

\begin{center}
\repere{}
\end{center}

\newpage

\section*{Exercice 6 -- Milieu d'un segment}

Sur le repère ci-dessous, on a placé les points $A(-4;1)$ et $B(2;1)$.

\begin{center}
\repere{
    \draw[thick] (-4,1)--(2,1);
    \fill (-4,1) circle (3pt) node[above] {$A$};
    \fill (2,1) circle (3pt) node[above] {$B$};
}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Placer le milieu $I$ du segment $[AB]$.
    \item Donner les coordonnées de $I$.
    \item Combien de carreaux y a-t-il entre $A$ et $B$ ?
    \item Combien de carreaux y a-t-il entre $A$ et $I$ ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 7 -- Milieux dans le plan}

Pour chaque segment, calculer les coordonnées de son milieu.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $A(2;4)$ et $B(6;4)$.
    \item $C(-3;1)$ et $D(5;1)$.
    \item $E(1;-2)$ et $F(1;4)$.
    \item $G(-4;-3)$ et $H(2;5)$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 8 -- Distances horizontales et verticales}

Calculer les distances suivantes dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $A(1;3)$ et $B(7;3)$.
    \item $C(-4;-2)$ et $D(3;-2)$.
    \item $E(2;-3)$ et $F(2;5)$.
    \item $G(-1;4)$ et $H(-1;-2)$.
    \item Expliquer pourquoi ces distances se calculent facilement.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 9 -- Distance en diagonale}

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1;1)$ et $B(5;4)$.

\begin{center}
\repere{
    \draw[thick] (1,1)--(5,4);
    \draw[dashed] (1,1)--(5,1)--(5,4);
    \fill (1,1) circle (3pt) node[below left] {$A$};
    \fill (5,4) circle (3pt) node[above right] {$B$};
    \fill (5,1) circle (2pt) node[below right] {$C$};
}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Lire la longueur $AC$ sur le quadrillage.
    \item Lire la longueur $CB$ sur le quadrillage.
    \item Quelle est la nature du triangle $ACB$ ?
    \item Calculer la distance $AB$ à l'aide du théorème de Pythagore.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 10 -- Figure dans un repère}

On considère les points $A(-3;-1)$, $B(4;-1)$, $C(4;3)$ et $D(-3;3)$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Placer ces quatre points dans un repère.
    \item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
    \item Calculer la longueur $AB$.
    \item Calculer la longueur $BC$.
    \item Calculer le périmètre de $ABCD$.
    \item Calculer l'aire de $ABCD$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\repere{}
\end{center}

\newpage

\section*{Exercice 11 -- Synthèse}

Une carte au trésor est dessinée dans un repère orthonormé. Le départ est au point $D(-4;-2)$. Le trésor est au point $T(2;2)$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Placer les points $D$ et $T$ dans le repère.
    \item On passe par le point $P(2;-2)$. Placer $P$.
    \item Calculer la distance $DP$.
    \item Calculer la distance $PT$.
    \item Calculer la longueur totale du trajet $D\to P\to T$.
    \item Le point $M(-1;0)$ est-il le milieu du segment $[DT]$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\begin{center}
\repere{}
\end{center}

\vfill
\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $A(2;3)$, $B(-3;2)$ et $C(-4;-2)$.
    \item $D(3;-3)$, $E(0;4)$ et $F(-2;0)$.
    \item $E$ est sur l'axe des ordonnées ; $F$ est sur l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le point $E(0;-3)$ a une abscisse nulle.
    \item Le point $F(5;0)$ a une ordonnée nulle.
    \item $C(-4;-1)$ se situe dans le quadrant en bas à gauche.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Dans $M(4;-2)$, l'abscisse est $4$ et l'ordonnée est $-2$.
    \item Dans $N(-3;5)$, l'abscisse est $-3$ et l'ordonnée est $5$.
    \item Tous les points de l'axe des abscisses ont une ordonnée égale à $0$.
    \item Tous les points de l'axe des ordonnées ont une abscisse égale à $0$.
    \item Le point $O(0;0)$ s'appelle l'origine du repère.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item On obtient $(3;1)$.
    \item On obtient $(3;-2)$.
    \item On obtient $(-6;3)$.
    \item Un déplacement vers la droite augmente l'abscisse.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $A$, $B$ et $C$ sont alignés horizontalement car ils ont la même ordonnée $2$.
    \item $C$, $D$ et $E$ sont alignés verticalement car ils ont la même abscisse $3$.
    \item Non, car $F$ n'a pas la même ordonnée que $A$, $B$ et $C$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le milieu est au centre du segment $[AB]$.
    \item $I(-1;1)$.
    \item Il y a $6$ carreaux entre $A$ et $B$.
    \item Il y a $3$ carreaux entre $A$ et $I$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le milieu de $[AB]$ est $(4;4)$.
    \item Le milieu de $[CD]$ est $(1;1)$.
    \item Le milieu de $[EF]$ est $(1;1)$.
    \item Le milieu de $[GH]$ est $(-1;1)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $AB=7-1=6$.
    \item $CD=3-(-4)=7$.
    \item $EF=5-(-3)=8$.
    \item $GH=4-(-2)=6$.
    \item Ces points sont alignés horizontalement ou verticalement : une seule coordonnée change.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $AC=4$.
    \item $CB=3$.
    \item Le triangle $ACB$ est rectangle en $C$.
    \item $AB^2=4^2+3^2=25$, donc $AB=5$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Les points se placent aux coordonnées indiquées.
    \item $ABCD$ est un rectangle.
    \item $AB=4-(-3)=7$.
    \item $BC=3-(-1)=4$.
    \item Le périmètre vaut $2\times(7+4)=22$.
    \item L'aire vaut $7\times4=28$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 11}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Les points $D$ et $T$ se placent aux coordonnées indiquées.
    \item $P(2;-2)$ est sur la même horizontale que $D$ et sur la même verticale que $T$.
    \item $DP=2-(-4)=6$.
    \item $PT=2-(-2)=4$.
    \item Le trajet mesure $6+4=10$ unités.
    \item Oui, car les coordonnées du milieu de $D(-4;-2)$ et $T(2;2)$ sont $\left(\dfrac{-4+2}{2};\dfrac{-2+2}{2}\right)=(-1;0)$.
\end{enumerate}

\end{document}