\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{68pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Mathématiques}
\newcommand{\soustitre}{3ème / Les fonctions au DNB}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}
\newcommand{\duree}{1 h 30}
\newcommand{\bareme}{/20}
\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
        decoration={
            text along path,
            text={|\sffamily\bfseries\scriptsize|site2wouf.fr},
            text align=center
        }
    ] (-1.3,0.66) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.38];
    \fill (0,-0.28) ellipse[x radius=0.48,y radius=0.42];
    \fill (-0.64,0.42) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.31];
    \fill (-0.22,0.68) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.35];
    \fill (0.22,0.68) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.35];
    \fill (0.64,0.42) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.31];
\end{tikzpicture}%
}

% -------- HEADER --------
\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original inspiré d'annales et de sujets zéro du DNB. Compétences visées : lire une image et un antécédent, exploiter un tableau ou un graphique, reconnaître une fonction affine ou linéaire, résoudre une équation du type $f(x)=g(x)$ et modéliser une situation.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1}

On considère la fonction $f$ définie par
\[
f(x)=3x-5.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer $f(0)$, $f(2)$ et $f(-4)$.
    \item Compléter le tableau suivant.
\end{enumerate}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & $-2$ & $0$ & $1$ & $3$ & $5$ \\
\hline
$f(x)$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Déterminer l'antécédent de $7$ par la fonction $f$.
    \item Le point $A(4;7)$ appartient-il à la représentation graphique de $f$ ? Justifier.
    \item La fonction $f$ est-elle linéaire ? affine ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2}

On donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $g$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.72]
    \draw[step=1,gray!35,very thin] (-5,-4) grid (6,6);
    \draw[->,thick] (-5.2,0) -- (6.4,0) node[right] {$x$};
    \draw[->,thick] (0,-4.2) -- (0,6.4) node[above] {$y$};
    \foreach \x in {-5,...,6} \draw (\x,0.08) -- (\x,-0.08) node[below,scale=0.75] {\x};
    \foreach \y in {-4,...,6} \draw (0.08,\y) -- (-0.08,\y) node[left,scale=0.75] {\y};
    \draw[very thick,blue] (-4,-3) -- (-2,1) -- (1,4) -- (3,0) -- (5,2);
    \fill[blue] (-4,-3) circle (2pt);
    \fill[blue] (-2,1) circle (2pt);
    \fill[blue] (1,4) circle (2pt);
    \fill[blue] (3,0) circle (2pt);
    \fill[blue] (5,2) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Déterminer $g(-4)$, $g(-2)$, $g(1)$ et $g(5)$.
    \item Donner un antécédent de $0$ par la fonction $g$.
    \item Donner les antécédents de $2$ par la fonction $g$.
    \item Résoudre graphiquement l'équation $g(x)=4$.
    \item Résoudre graphiquement l'inéquation $g(x)\geq 1$ sur l'intervalle représenté.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3}

Une salle de sport propose deux tarifs mensuels :
\begin{itemize}
    \item Tarif A : aucun abonnement, chaque séance coûte $7$ euros ;
    \item Tarif B : un abonnement mensuel de $18$ euros puis chaque séance coûte $4$ euros.
\end{itemize}

On note $x$ le nombre de séances effectuées dans le mois.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Exprimer en fonction de $x$ le prix $A(x)$ payé avec le tarif A.
    \item Exprimer en fonction de $x$ le prix $B(x)$ payé avec le tarif B.
    \item Compléter le tableau suivant.
\end{enumerate}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre de séances $x$ & $0$ & $3$ & $6$ & $9$ & $12$ \\
\hline
$A(x)$ en euros & & & & & \\
\hline
$B(x)$ en euros & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Résoudre l'équation $A(x)=B(x)$.
    \item Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
    \item Pour $10$ séances dans le mois, quel tarif est le plus avantageux ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 4}

Un artisan fabrique des porte-clés. Le coût de fabrication, en euros, de $x$ porte-clés est modélisé par la fonction
\[
C(x)=1{,}5x+45.
\]
Chaque porte-clés est vendu $4$ euros. La recette, en euros, est donc modélisée par la fonction $R$ définie par
\[
R(x)=4x.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer $C(20)$ et $R(20)$. L'artisan réalise-t-il un bénéfice s'il vend $20$ porte-clés ?
    \item Que représente le nombre $45$ dans l'expression de $C(x)$ ?
    \item Résoudre l'équation $R(x)=C(x)$.
    \item À partir de combien de porte-clés vendus l'artisan réalise-t-il un bénéfice ?
    \item Calculer le bénéfice réalisé pour $50$ porte-clés vendus.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 5}

On considère les fonctions $h$ et $k$ définies par :
\[
h(x)=-2x+6 \qquad \text{et} \qquad k(x)=x-3.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer $h(0)$, $h(3)$, $k(0)$ et $k(3)$.
    \item Compléter le tableau de valeurs suivant.
\end{enumerate}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & $-1$ & $0$ & $2$ & $3$ & $5$ \\
\hline
$h(x)$ & & & & & \\
\hline
$k(x)$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Résoudre par le calcul l'équation $h(x)=k(x)$.
    \item Que représente la solution de cette équation pour les représentations graphiques des deux fonctions ?
    \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection des deux droites représentant $h$ et $k$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 6}

Voici un programme de calcul.

\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}{0.75\textwidth}
Choisir un nombre.\par
Multiplier ce nombre par $-3$.\par
Ajouter $12$.\par
Annoncer le résultat.
\end{minipage}%
}
\end{center}

On note $p$ la fonction qui, au nombre choisi $x$, associe le résultat du programme.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Vérifier que si l'on choisit $2$, le résultat est $6$.
    \item Donner l'expression de $p(x)$.
    \item Calculer $p(-4)$.
    \item Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $0$ ?
    \item Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $21$ ?
    \item La fonction $p$ est-elle affine ? linéaire ? Justifier.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 7}

Le graphique ci-dessous représente la distance parcourue par deux cyclistes, Anaïs et Bilal, en fonction du temps.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.38cm]
    \draw[step=1,gray!30,very thin] (0,0) grid (10,18);
    \draw[->,thick] (0,0) -- (10.5,0) node[right] {temps (min)};
    \draw[->,thick] (0,0) -- (0,18.8) node[above] {distance (km)};
    \foreach \x in {0,2,4,6,8,10} \draw (\x,0.15) -- (\x,-0.15) node[below,scale=0.8] {\x};
    \foreach \y in {0,3,6,9,12,15,18} \draw (0.15,\y) -- (-0.15,\y) node[left,scale=0.8] {\y};
    \draw[very thick,blue] (0,0) -- (10,15);
    \draw[very thick,red] (0,3) -- (10,13);
    \node[blue] at (8.2,16.2) {Anaïs};
    \node[red] at (8.2,12.1) {Bilal};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Lire la distance parcourue par Anaïs au bout de $4$ minutes.
    \item Lire la distance indiquée pour Bilal au départ. Comment l'interpréter ?
    \item Déterminer graphiquement à quel instant Anaïs et Bilal sont à la même distance du point de départ.
    \item La distance d'Anaïs est modélisée par une fonction linéaire $a(x)$. Déterminer son expression.
    \item La distance de Bilal est modélisée par une fonction affine $b(x)$. Déterminer son expression.
    \item Retrouver par le calcul le résultat de la question 3.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 8}

Une commune étudie la consommation d'eau d'un bâtiment public. Le tableau suivant indique la quantité d'eau restante dans une cuve, en litres, après plusieurs jours.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre de jours $x$ & $0$ & $2$ & $5$ & $8$ & $10$ \\
\hline
Quantité d'eau $q(x)$ en L & $1\,200$ & $1\,080$ & $900$ & $720$ & $600$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Montrer que la quantité d'eau baisse de façon régulière.
    \item Déterminer la quantité d'eau consommée chaque jour.
    \item Donner une expression de $q(x)$ en fonction de $x$.
    \item Calculer $q(12)$ et interpréter le résultat.
    \item Résoudre l'équation $q(x)=0$.
    \item Au bout de combien de jours la cuve sera-t-elle vide si la consommation reste la même ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 9}

On considère la fonction $m$ dont la représentation graphique est une droite passant par les points $A(2;7)$ et $B(6;19)$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Expliquer pourquoi la fonction $m$ est affine.
    \item Déterminer le coefficient directeur de cette droite.
    \item Montrer que l'expression de $m$ est $m(x)=3x+1$.
    \item Calculer l'image de $10$ par $m$.
    \item Déterminer l'antécédent de $-8$ par $m$.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 10}

Lors d'un DNB blanc, un exercice propose deux fonctions :
\[
f(x)=2x+1 \qquad \text{et} \qquad g(x)=0{,}5x+7.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer $f(4)$ et $g(4)$.
    \item Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$.
    \item Résoudre l'inéquation $f(x)\leq g(x)$.
    \item Interpréter graphiquement les réponses aux questions 2 et 3.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 11}

Un taxi propose le tarif suivant : $3{,}50$ euros de prise en charge puis $1{,}80$ euro par kilomètre parcouru. On note $T(x)$ le prix, en euros, d'une course de $x$ kilomètres.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner l'expression de $T(x)$.
    \item Calculer le prix d'une course de $12$ km.
    \item Une course a coûté $26$ euros. Quelle distance a été parcourue ? Arrondir au dixième de kilomètre.
    \item Le prix est-il proportionnel à la distance parcourue ? Justifier.
    \item Représenter mentalement la courbe de $T$ : passe-t-elle par l'origine du repère ? Pourquoi ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 12}

On donne le tableau suivant pour une fonction $u$.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & $-3$ & $0$ & $2$ & $5$ \\
\hline
$u(x)$ & $11$ & $2$ & $-4$ & $-13$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Conjecturer que $u$ est une fonction affine.
    \item Déterminer son coefficient directeur.
    \item Déterminer une expression de $u(x)$.
    \item Vérifier cette expression avec la valeur $u(5)$.
    \item Résoudre $u(x)=0$.
\end{enumerate}

\vfill

\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $f(0)=-5$, $f(2)=1$ et $f(-4)=-17$.
    \item Pour $x=-2,0,1,3,5$, on obtient $-11,-5,-2,4,10$.
    \item $3x-5=7$, donc $3x=12$ et $x=4$. L'antécédent de $7$ est $4$.
    \item Oui, car $f(4)=3\times4-5=7$.
    \item $f$ est affine car elle est de la forme $ax+b$. Elle n'est pas linéaire car $b=-5\neq0$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $g(-4)=-3$, $g(-2)=1$, $g(1)=4$ et $g(5)=2$.
    \item Un antécédent de $0$ est $3$.
    \item Les antécédents de $2$ sont environ $-1$, $2$ et $5$.
    \item $g(x)=4$ pour $x=1$.
    \item Graphiquement, $g(x)\geq1$ pour $x$ compris environ entre $-2$ et $5$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $A(x)=7x$.
    \item $B(x)=18+4x$.
    \item Pour $x=0,3,6,9,12$, $A(x)=0,21,42,63,84$ et $B(x)=18,30,42,54,66$.
    \item $7x=18+4x$, donc $3x=18$ et $x=6$.
    \item Pour $6$ séances, les deux tarifs coûtent le même prix : $42$ euros.
    \item Pour $10$ séances, $A(10)=70$ et $B(10)=58$. Le tarif B est plus avantageux.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $C(20)=75$ et $R(20)=80$. Il réalise un bénéfice de $5$ euros.
    \item Le nombre $45$ représente les frais fixes de fabrication.
    \item $4x=1{,}5x+45$, donc $2{,}5x=45$ et $x=18$.
    \item Il réalise un bénéfice à partir de $19$ porte-clés vendus.
    \item $R(50)-C(50)=200-(75+45)=80$. Le bénéfice est de $80$ euros.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $h(0)=6$, $h(3)=0$, $k(0)=-3$ et $k(3)=0$.
    \item Pour $x=-1,0,2,3,5$, $h(x)=8,6,2,0,-4$ et $k(x)=-4,-3,-1,0,2$.
    \item $-2x+6=x-3$, donc $9=3x$ et $x=3$.
    \item La solution est l'abscisse du point d'intersection des deux droites.
    \item Le point d'intersection est $(3;0)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Pour $2$, on obtient $-3\times2+12=6$.
    \item $p(x)=-3x+12$.
    \item $p(-4)=24$.
    \item $-3x+12=0$, donc $x=4$.
    \item $-3x+12=21$, donc $-3x=9$ et $x=-3$.
    \item $p$ est affine, mais pas linéaire car le terme constant vaut $12$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Anaïs a parcouru $6$ km au bout de $4$ minutes.
    \item Bilal est à $3$ km au départ : il a de l'avance.
    \item Ils sont à la même distance au bout de $6$ minutes.
    \item La droite d'Anaïs passe par l'origine et par $(10;15)$, donc $a(x)=1{,}5x$.
    \item La droite de Bilal a pour ordonnée à l'origine $3$ et augmente de $10$ km en $10$ min, donc $b(x)=x+3$.
    \item $1{,}5x=x+3$, donc $0{,}5x=3$ et $x=6$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item La quantité baisse de $120$ L en $2$ jours, puis de $180$ L en $3$ jours : cela correspond toujours à $60$ L par jour.
    \item La consommation est de $60$ L par jour.
    \item $q(x)=1\,200-60x$.
    \item $q(12)=1\,200-720=480$ : il reste $480$ L après $12$ jours.
    \item $1\,200-60x=0$, donc $x=20$.
    \item La cuve sera vide au bout de $20$ jours.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Sa représentation graphique est une droite, donc la fonction est affine.
    \item Le coefficient directeur vaut $\dfrac{19-7}{6-2}=\dfrac{12}{4}=3$.
    \item $m(x)=3x+b$. Comme $m(2)=7$, $6+b=7$, donc $b=1$. Ainsi $m(x)=3x+1$.
    \item $m(10)=31$.
    \item $3x+1=-8$, donc $3x=-9$ et $x=-3$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $f(4)=9$ et $g(4)=9$.
    \item $2x+1=0{,}5x+7$, donc $1{,}5x=6$ et $x=4$.
    \item $2x+1\leq0{,}5x+7$, donc $1{,}5x\leq6$ et $x\leq4$.
    \item Les droites se coupent pour $x=4$. La droite de $f$ est en dessous de celle de $g$ pour $x\leq4$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 11}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $T(x)=3{,}50+1{,}80x$.
    \item $T(12)=3{,}50+21{,}60=25{,}10$ euros.
    \item $3{,}50+1{,}80x=26$, donc $1{,}80x=22{,}50$ et $x=12{,}5$ km.
    \item Non, car il y a une prise en charge fixe de $3{,}50$ euros.
    \item La droite ne passe pas par l'origine : elle coupe l'axe des ordonnées en $3{,}50$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 12}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Les écarts sont réguliers : quand $x$ augmente de $1$, $u(x)$ diminue de $3$.
    \item Le coefficient directeur vaut $-3$.
    \item Comme $u(0)=2$, on a $u(x)=-3x+2$.
    \item $u(5)=-15+2=-13$, ce qui correspond au tableau.
    \item $-3x+2=0$, donc $x=\dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}

\end{document}