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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\duree}{1 h 30}
\newcommand{\bareme}{/20}
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\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
        decoration={
            text along path,
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    \fill (0,-0.28) ellipse[x radius=0.48,y radius=0.42];
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\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original de préparation au DNB. Compétences visées : reconnaître une configuration de Thalès, calculer une longueur, justifier un parallélisme par la réciproque, repérer une situation où le théorème ne s'applique pas et modéliser une situation géométrique.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1}

Dans la figure ci-dessous, les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, les points $A$, $N$, $C$ sont alignés et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (6,0);
    \coordinate (C) at (4,3.2);
    \coordinate (M) at (2,0);
    \coordinate (N) at ($(A)!0.333333!(C)$);
    \draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
    \draw[very thick,blue] (M)--(N);
    \fill (A) circle (2pt) node[below left] {$A$};
    \fill (B) circle (2pt) node[below] {$B$};
    \fill (C) circle (2pt) node[above] {$C$};
    \fill (M) circle (2pt) node[below] {$M$};
    \fill (N) circle (2pt) node[left] {$N$};
    \node[below] at (1,0) {$3$ cm};
    \node[below] at (4,0) {$6$ cm};
    \node[rotate=38] at (1.05,1.05) {$2{,}5$ cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On donne $AM=3$ cm, $MB=6$ cm et $AN=2{,}5$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer la longueur $AB$.
    \item Écrire les égalités de rapports données par le théorème de Thalès.
    \item Calculer la longueur $AC$.
    \item Calculer la longueur $NC$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2}

Dans la figure suivante, les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.85]
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (7,0);
    \coordinate (C) at (5,3.6);
    \coordinate (D) at ($(A)!0.6!(B)$);
    \coordinate (E) at ($(A)!0.6!(C)$);
    \draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
    \draw[very thick,blue] (D)--(E);
    \fill (A) circle (2pt) node[below left] {$A$};
    \fill (B) circle (2pt) node[below] {$B$};
    \fill (C) circle (2pt) node[above] {$C$};
    \fill (D) circle (2pt) node[below] {$D$};
    \fill (E) circle (2pt) node[left] {$E$};
    \node[below] at (2.1,0) {$AD=4{,}8$};
    \node[below] at (5.6,0) {$DB=3{,}2$};
    \node[rotate=36] at (4.25,2.35) {$EC=3$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On donne $AD=4{,}8$ cm, $DB=3{,}2$ cm et $EC=3$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer $AB$.
    \item Calculer $AC$.
    \item En déduire $AE$.
    \item Un élève affirme que $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$. Expliquer pourquoi cette égalité n'est pas celle du théorème de Thalès dans cette configuration.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3}

Les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre. Les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre. On donne :
\[
AB=5\text{ cm},\quad AD=12\text{ cm},\quad AC=7\text{ cm},\quad AE=16{,}8\text{ cm}.
\]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.72]
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (D) at (7,0);
    \coordinate (E) at (4.8,4.2);
    \coordinate (B) at ($(A)!0.416667!(D)$);
    \coordinate (C) at ($(A)!0.416667!(E)$);
    \draw[thick] (A)--(D);
    \draw[thick] (A)--(E);
    \draw[thick] (B)--(C);
    \draw[thick] (D)--(E);
    \fill (A) circle (2pt) node[below left] {$A$};
    \fill (B) circle (2pt) node[below] {$B$};
    \fill (D) circle (2pt) node[below] {$D$};
    \fill (C) circle (2pt) node[left] {$C$};
    \fill (E) circle (2pt) node[above] {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer les rapports $\dfrac{AB}{AD}$ et $\dfrac{AC}{AE}$.
    \item Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ? Justifier soigneusement.
    \item Si $DE=9{,}6$ cm, calculer $BC$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 4}

Sur la figure ci-dessous, les droites $(ST)$ et $(UV)$ se coupent en $R$. Les points $S$, $R$, $U$ sont alignés et les points $T$, $R$, $V$ sont alignés. Les droites $(ST)$ et $(UV)$ sont parallèles.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.82]
    \coordinate (R) at (0,0);
    \coordinate (S) at (-3,-1.6);
    \coordinate (T) at (-2.2,2.4);
    \coordinate (U) at (4,2.1333);
    \coordinate (V) at (2.9333,-3.2);
    \draw[thick] (S)--(U);
    \draw[thick] (T)--(V);
    \draw[very thick,blue] (S)--(T);
    \draw[very thick,blue] (U)--(V);
    \fill (R) circle (2pt) node[above right] {$R$};
    \fill (S) circle (2pt) node[left] {$S$};
    \fill (T) circle (2pt) node[above left] {$T$};
    \fill (U) circle (2pt) node[right] {$U$};
    \fill (V) circle (2pt) node[below right] {$V$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On donne $RS=4{,}5$ cm, $RU=6$ cm, $RT=3$ cm et $ST=5$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Expliquer pourquoi on peut appliquer le théorème de Thalès.
    \item Calculer $RV$.
    \item Calculer $UV$.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 5}

Un collège souhaite mesurer la hauteur d'un arbre. Un bâton vertical de $1{,}20$ m projette une ombre de $1{,}50$ m. Au même moment, l'arbre projette une ombre de $9$ m.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.62]
    \draw[thick] (0,0)--(0,1.2) node[above] {bâton};
    \draw[thick] (0,0)--(1.5,0);
    \draw[dashed] (0,1.2)--(1.5,0);
    \draw[very thick,brown] (5,0)--(5,5.2) node[above] {arbre};
    \draw[thick] (5,0)--(14,0);
    \draw[dashed] (5,5.2)--(14,0);
    \node[below] at (0.75,0) {$1{,}50$ m};
    \node[left] at (0,0.6) {$1{,}20$ m};
    \node[below] at (9.5,0) {$9$ m};
    \node[left] at (5,2.6) {$h$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Expliquer pourquoi les deux triangles formés sont semblables.
    \item Calculer la hauteur de l'arbre.
    \item La méthode resterait-elle valable si les mesures étaient prises à deux moments différents de la journée ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 6}

Dans un triangle $ABC$, les points $M$ et $N$ appartiennent respectivement aux côtés $[AB]$ et $[AC]$. On donne :
\[
AB=10\text{ cm},\quad AC=14\text{ cm},\quad AM=6\text{ cm},\quad AN=8\text{ cm}.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$.
    \item Peut-on conclure que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ? Justifier.
    \item Si un élève applique malgré tout le théorème de Thalès pour calculer $MN$, quelle erreur commet-il ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 7}

Une rampe d'accès est représentée par le triangle $ABC$ rectangle en $A$. On place un point $D$ sur $[AB]$ et un point $E$ sur $[AC]$ tels que $(DE)$ soit parallèle à $(BC)$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.78]
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (8,0);
    \coordinate (C) at (0,4.8);
    \coordinate (D) at (5,0);
    \coordinate (E) at (0,3);
    \draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
    \draw[very thick,blue] (D)--(E);
    \draw (0.45,0)--(0.45,0.45)--(0,0.45);
    \fill (A) circle (2pt) node[below left] {$A$};
    \fill (B) circle (2pt) node[below] {$B$};
    \fill (C) circle (2pt) node[left] {$C$};
    \fill (D) circle (2pt) node[below] {$D$};
    \fill (E) circle (2pt) node[left] {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On donne $AB=8$ m, $AC=4{,}8$ m et $AD=5$ m.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer $AE$.
    \item Calculer $BC$.
    \item Calculer $DE$.
    \item Interpréter la longueur $DE$ dans cette situation.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 8}

Deux triangles $ABC$ et $AMN$ ont le même sommet $A$. Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés. On donne :
\[
AM=4\text{ cm},\quad AB=9\text{ cm},\quad AN=6\text{ cm},\quad AC=13{,}5\text{ cm},\quad MN=5\text{ cm}.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Montrer que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
    \item Calculer $BC$.
    \item On agrandit la figure pour obtenir le triangle $ABC$ à partir du triangle $AMN$. Quel est le coefficient d'agrandissement ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 9}

Dans la figure ci-dessous, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. Les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $O$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
    \coordinate (O) at (0,0);
    \coordinate (A) at (-2.6,2.1);
    \coordinate (B) at (-3.6,-1.5);
    \coordinate (D) at (3.9,-3.15);
    \coordinate (C) at (5.4,2.25);
    \draw[thick] (A)--(D);
    \draw[thick] (B)--(C);
    \draw[very thick,blue] (A)--(B);
    \draw[very thick,blue] (C)--(D);
    \fill (O) circle (2pt) node[above right] {$O$};
    \fill (A) circle (2pt) node[above left] {$A$};
    \fill (B) circle (2pt) node[below left] {$B$};
    \fill (C) circle (2pt) node[above right] {$C$};
    \fill (D) circle (2pt) node[below right] {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On donne $OA=3$ cm, $OD=4{,}5$ cm, $OB=4$ cm et $AB=5$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer $OC$.
    \item Calculer $CD$.
    \item Le point $O$ est-il le milieu de $[AD]$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 10}

Dans un triangle $ABC$, $D$ est un point de $[AB]$ et $E$ est un point de $[AC]$. On donne :
\[
AB=7{,}5\text{ cm},\quad AC=12\text{ cm},\quad AD=4{,}5\text{ cm},\quad AE=7{,}2\text{ cm}.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Montrer que les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.
    \item Si $BC=8$ cm, calculer $DE$.
    \item Calculer $DB$ et $EC$.
    \item Vérifier que $\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{EC}{AC}$. Pourquoi cette égalité n'est-elle pas la forme habituelle utilisée pour appliquer la réciproque de Thalès ?
\end{enumerate}

\vfill
\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $AB=AM+MB=3+6=9$ cm.
    \item Comme $(MN)\parallel(BC)$, on a $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$.
    \item $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$, donc $\dfrac{3}{9}=\dfrac{2{,}5}{AC}$. Ainsi $AC=2{,}5\times3=7{,}5$ cm.
    \item $NC=AC-AN=7{,}5-2{,}5=5$ cm.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $AB=AD+DB=4{,}8+3{,}2=8$ cm.
    \item Par Thalès, $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$. Or $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4{,}8}{8}=0{,}6$. Donc $AE=0{,}6AC$. Comme $EC=AC-AE=3$, on a $AC-0{,}6AC=3$, soit $0{,}4AC=3$, donc $AC=7{,}5$ cm.
    \item $AE=AC-EC=7{,}5-3=4{,}5$ cm.
    \item Thalès compare les longueurs mesurées depuis le même sommet $A$ : $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$. Le rapport $\dfrac{AD}{DB}$ utilise une partie du grand côté, pas le côté entier correspondant.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{5}{12}$ et $\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{7}{16{,}8}=\dfrac{70}{168}=\dfrac{5}{12}$.
    \item Les points sont alignés dans le même ordre et les rapports sont égaux. D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
    \item Par Thalès, $\dfrac{BC}{DE}=\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{5}{12}$. Donc $BC=9{,}6\times\dfrac{5}{12}=4$ cm.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Les points $S,R,U$ sont alignés, les points $T,R,V$ sont alignés et $(ST)\parallel(UV)$ : on est dans une configuration de Thalès en papillon.
    \item $\dfrac{RS}{RU}=\dfrac{RT}{RV}=\dfrac{ST}{UV}$. Donc $\dfrac{4{,}5}{6}=\dfrac{3}{RV}$, d'où $RV=\dfrac{3\times6}{4{,}5}=4$ cm.
    \item $\dfrac{4{,}5}{6}=\dfrac{5}{UV}$, donc $UV=\dfrac{5\times6}{4{,}5}=\dfrac{20}{3}\approx6{,}7$ cm.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Les deux objets sont verticaux, le sol est horizontal et les rayons du Soleil sont parallèles : les triangles formés ont les mêmes angles.
    \item $\dfrac{h}{9}=\dfrac{1{,}20}{1{,}50}$. Donc $h=9\times\dfrac{1{,}20}{1{,}50}=7{,}2$ m.
    \item Non : l'inclinaison des rayons du Soleil change au cours de la journée, donc les triangles ne seraient plus dans les mêmes conditions.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{6}{10}=0{,}6$ et $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{8}{14}=\dfrac{4}{7}\approx0{,}57$.
    \item Les rapports ne sont pas égaux, donc on ne peut pas conclure que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. Au contraire, la réciproque ne permet pas d'établir le parallélisme.
    \item Il utilise Thalès sans avoir vérifié que les droites sont parallèles, condition indispensable pour appliquer le théorème.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Comme $(DE)\parallel(BC)$, $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$. Donc $\dfrac{5}{8}=\dfrac{AE}{4{,}8}$, d'où $AE=4{,}8\times\dfrac{5}{8}=3$ m.
    \item Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, donc $BC=\sqrt{8^2+4{,}8^2}=\sqrt{87{,}04}\approx9{,}3$ m.
    \item $\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{5}{8}$. Donc $DE\approx9{,}3\times\dfrac{5}{8}\approx5{,}8$ m.
    \item $DE$ représente la longueur de la section de rampe située à $5$ m du départ, parallèle au bord extérieur $BC$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{4}{9}$ et $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{6}{13{,}5}=\dfrac{60}{135}=\dfrac{4}{9}$. Les points sont alignés dans le même ordre, donc $(MN)\parallel(BC)$ par la réciproque de Thalès.
    \item $\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{4}{9}$, donc $BC=5\times\dfrac{9}{4}=11{,}25$ cm.
    \item Le coefficient d'agrandissement est $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{9}{4}=2{,}25$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Dans la configuration en papillon, $\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}$. Donc $\dfrac{3}{4{,}5}=\dfrac{4}{OC}$, d'où $OC=6$ cm.
    \item $\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{3}{4{,}5}=\dfrac{2}{3}$. Donc $CD=5\times\dfrac{3}{2}=7{,}5$ cm.
    \item Non, car $OA=3$ cm et $OD=4{,}5$ cm : $O$ n'est pas à égale distance de $A$ et de $D$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4{,}5}{7{,}5}=0{,}6$ et $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{7{,}2}{12}=0{,}6$. Les points sont alignés dans le même ordre, donc $(DE)\parallel(BC)$.
    \item $\dfrac{DE}{BC}=0{,}6$, donc $DE=8\times0{,}6=4{,}8$ cm.
    \item $DB=AB-AD=7{,}5-4{,}5=3$ cm et $EC=AC-AE=12-7{,}2=4{,}8$ cm.
    \item $\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4$ et $\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{4{,}8}{12}=0{,}4$. Cette égalité est vraie ici, mais la forme habituelle de la réciproque de Thalès compare les longueurs issues du même sommet $A$ : $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$.
\end{enumerate}

\end{document}