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% -------- PARAMÈTRES --------
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\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
        decoration={
            text along path,
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    ] (-1.3,0.66) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.38];
    \fill (0,-0.28) ellipse[x radius=0.48,y radius=0.42];
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\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original inspiré d'exercices libres de type DNB proposés par l'APMEP, Sésamath et MathALÉA. Les questions ciblent les exigibles : identifier les côtés, utiliser sinus, cosinus, tangente dans un triangle rectangle, calculer une longueur ou un angle, arrondir correctement.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1}

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On donne $AB=7{,}2$ cm, $AC=9{,}6$ cm et $BC=12$ cm.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.58]
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (7.2,0);
    \coordinate (C) at (0,9.6);
    \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
    \draw (0,0) rectangle (0.45,0.45);
    \node[below left] at (A) {$A$};
    \node[below] at (B) {$B$};
    \node[left] at (C) {$C$};
    \node[below] at (3.6,0) {$7{,}2$ cm};
    \node[left] at (0,4.8) {$9{,}6$ cm};
    \node[above right] at (3.8,5.1) {$12$ cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Par rapport à l'angle $\widehat{ABC}$, nommer le côté opposé, le côté adjacent et l'hypoténuse.
    \item Écrire les valeurs de $\sin(\widehat{ABC})$, $\cos(\widehat{ABC})$ et $\tan(\widehat{ABC})$ sous forme de fractions.
    \item Calculer une mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ au degré près.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2}

Dans le triangle $DEF$ rectangle en $D$, on connaît $DE=8$ cm et $\widehat{DEF}=35^\circ$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
    \coordinate (D) at (0,0);
    \coordinate (E) at (5,0);
    \coordinate (F) at (0,3.5);
    \draw[thick] (D) -- (E) -- (F) -- cycle;
    \draw (0,0) rectangle (0.35,0.35);
    \node[below left] at (D) {$D$};
    \node[below] at (E) {$E$};
    \node[left] at (F) {$F$};
    \node[below] at (2.5,0) {$8$ cm};
    \draw (4.25,0) arc[start angle=180,end angle=145,radius=0.75];
    \node[left] at (4.15,0.35) {$35^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quelle formule trigonométrique permet de calculer $DF$ ?
    \item Calculer $DF$ au millimètre près.
    \item Calculer $EF$ au millimètre près.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 3}

Un observateur situé au point $O$ regarde le sommet $S$ d'un arbre vertical. Ses yeux sont à $1{,}60$ m du sol. La distance horizontale entre l'observateur et le pied $P$ de l'arbre est $18$ m. L'angle de visée est $28^\circ$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.45]
    \coordinate (O) at (0,1.6);
    \coordinate (P) at (18,0);
    \coordinate (H) at (18,1.6);
    \coordinate (S) at (18,11.2);
    \draw[thick] (18,0) -- (18,11.2);
    \draw[thick] (0,0) -- (20,0);
    \draw[dashed] (O) -- (H);
    \draw[thick] (O) -- (S);
    \draw (17.4,1.6) rectangle (18,2.2);
    \fill (O) circle (2pt) node[left] {$O$};
    \fill (P) circle (2pt) node[below] {$P$};
    \fill (S) circle (2pt) node[above] {$S$};
    \node[below] at (9,0) {$18$ m};
    \node[left] at (0,0.8) {$1{,}60$ m};
    \draw (1.8,1.6) arc[start angle=0,end angle=28,radius=1.8];
    \node[right] at (1.8,2.1) {$28^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Dans le triangle rectangle utile, quelle longueur cherche-t-on d'abord ?
    \item Calculer la hauteur de l'arbre au centimètre près.
    \item Expliquer pourquoi il ne faut pas oublier les $1{,}60$ m dans le résultat final.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 4}

Un plan incliné permet de monter de $0{,}90$ m sur une longueur de rampe de $4{,}20$ m. On note $\alpha$ l'angle formé par la rampe avec le sol horizontal.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Faire un schéma à main levée et placer l'angle $\alpha$.
    \item Quelle formule trigonométrique permet de calculer $\alpha$ ?
    \item Calculer $\alpha$ au degré près.
    \item La pente est-elle inférieure à $15^\circ$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 5}

Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$. On donne $MN=5{,}4$ cm et $NP=7{,}2$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer $MP$.
    \item Calculer une mesure de l'angle $\widehat{NMP}$ au degré près.
    \item En déduire une mesure de l'angle $\widehat{MPN}$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 6}

Sur une plage, un sauveteur observe un bateau depuis le haut d'une tour. Le point d'observation $T$ est situé à $12$ m au-dessus du niveau de la mer. L'angle de dépression vers le bateau $B$ est $6^\circ$.

On modélise la situation par un triangle rectangle $TBH$ rectangle en $H$, où $H$ est le point de la mer situé verticalement sous $T$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Faire un schéma de la situation.
    \item Expliquer pourquoi l'angle $\widehat{TBH}$ mesure $84^\circ$.
    \item Calculer la distance horizontale $BH$ entre le bateau et le pied de la tour, au mètre près.
    \item Calculer la distance $TB$ entre le sauveteur et le bateau, au mètre près.
\end{enumerate}

\vfill

\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Par rapport à $\widehat{ABC}$, le côté opposé est $AC$, le côté adjacent est $AB$ et l'hypoténuse est $BC$.
    \item $\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{9{,}6}{12}=0{,}8$ ; $\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{7{,}2}{12}=0{,}6$ ; $\tan(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{9{,}6}{7{,}2}=\dfrac43$.
    \item $\widehat{ABC}\approx 53^\circ$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Par rapport à l'angle $\widehat{DEF}$, $DF$ est le côté opposé et $DE$ est le côté adjacent. On utilise donc la tangente : $\tan(35^\circ)=\dfrac{DF}{DE}$.
    \item $DF=8\times \tan(35^\circ)\approx 5{,}6$ cm.
    \item $\cos(35^\circ)=\dfrac{DE}{EF}$, donc $EF=\dfrac{8}{\cos(35^\circ)}\approx 9{,}8$ cm.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item On cherche d'abord la différence de hauteur entre les yeux de l'observateur et le sommet de l'arbre.
    \item Si $h$ est cette différence de hauteur, alors $\tan(28^\circ)=\dfrac{h}{18}$, donc $h=18\times\tan(28^\circ)\approx 9{,}57$ m. La hauteur de l'arbre est donc $9{,}57+1{,}60=11{,}17$ m.
    \item L'angle de visée part des yeux de l'observateur, qui sont déjà à $1{,}60$ m du sol.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le triangle rectangle a pour hypoténuse la rampe de $4{,}20$ m et pour côté opposé à $\alpha$ la hauteur $0{,}90$ m.
    \item On utilise le sinus : $\sin(\alpha)=\dfrac{0{,}90}{4{,}20}$.
    \item $\alpha=\arcsin\left(\dfrac{0{,}90}{4{,}20}\right)\approx 12^\circ$.
    \item Oui, car $12^\circ<15^\circ$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item D'après Pythagore, $MP^2=MN^2+NP^2=5{,}4^2+7{,}2^2=81$, donc $MP=9$ cm.
    \item Par rapport à $\widehat{NMP}$, le côté opposé est $NP$ et l'hypoténuse est $MP$. Donc $\sin(\widehat{NMP})=\dfrac{7{,}2}{9}=0{,}8$, d'où $\widehat{NMP}\approx 53^\circ$.
    \item Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires, donc $\widehat{MPN}\approx 90^\circ-53^\circ=37^\circ$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le triangle $TBH$ est rectangle en $H$, avec $TH=12$ m et $BH$ horizontal.
    \item L'angle de dépression est égal à l'angle formé avec l'horizontale. Comme $TH$ est vertical, l'angle aigu au bateau vaut $90^\circ-6^\circ=84^\circ$.
    \item Par rapport à l'angle de $6^\circ$ au point $T$ avec l'horizontale, $\tan(6^\circ)=\dfrac{TH}{BH}$, donc $BH=\dfrac{12}{\tan(6^\circ)}\approx 114$ m.
    \item $\sin(6^\circ)=\dfrac{TH}{TB}$, donc $TB=\dfrac{12}{\sin(6^\circ)}\approx 115$ m.
\end{enumerate}

\end{document}