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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{3ème / Géométrie dans l'espace au DNB}
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\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
        decoration={
            text along path,
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    ] (-1.3,0.66) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.38];
    \fill (0,-0.28) ellipse[x radius=0.48,y radius=0.42];
    \fill (-0.64,0.42) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.31];
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% -------- HEADER --------
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    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original de préparation au DNB. Compétences visées : reconnaître des solides, utiliser les formules de volumes, calculer des aires, exploiter Pythagore dans l'espace, étudier des sections, des patrons, des agrandissements-réductions et résoudre des problèmes contextualisés.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1 -- Reconnaître des solides}

Compléter le tableau suivant.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Solide & Nombre de faces & Nature des faces latérales & Formule du volume \\
\hline
Cube & & & \\
\hline
Pavé droit & & & \\
\hline
Prisme droit & & & \\
\hline
Cylindre & & & \\
\hline
Pyramide & & & \\
\hline
Cône & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner un exemple d'objet de la vie courante ayant la forme d'un cylindre.
    \item Donner un exemple d'objet ayant la forme d'une pyramide ou d'un cône.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2 -- Cube et pavé droit}

Un cube a une arête de $6$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer son volume.
    \item Calculer l'aire totale de ses faces.
    \item Calculer la longueur d'une diagonale d'une face.
\end{enumerate}

Un pavé droit a pour dimensions $8$ cm, $5$ cm et $3$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Calculer son volume.
    \item Calculer l'aire de la face de dimensions $8$ cm et $5$ cm.
    \item Calculer la diagonale de cette face.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 3 -- Prisme droit}

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6$ cm et $8$ cm. La hauteur du prisme est $12$ cm.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (3,0);
    \coordinate (C) at (0,2);
    \coordinate (Ap) at (1.2,1.2);
    \coordinate (Bp) at (4.2,1.2);
    \coordinate (Cp) at (1.2,3.2);
    \draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
    \draw[thick] (Ap)--(Bp)--(Cp)--cycle;
    \draw[thick] (A)--(Ap) (B)--(Bp) (C)--(Cp);
    \draw (0.35,0)--(0.35,0.35)--(0,0.35);
    \node[below] at (1.5,0) {$8$ cm};
    \node[left] at (0,1) {$6$ cm};
    \node[right] at (4.2,2.2) {$12$ cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer l'aire de la base triangulaire.
    \item Calculer le volume du prisme.
    \item Calculer l'hypoténuse de la base triangulaire.
    \item Combien de faces possède ce prisme ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 4 -- Cylindre}

Un cylindre de révolution a un rayon de base $4$ cm et une hauteur de $10$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer l'aire de sa base, en fonction de $\pi$.
    \item Calculer son volume, en fonction de $\pi$.
    \item Donner une valeur approchée du volume au cm$^3$ près.
    \item Si on double la hauteur sans changer le rayon, par combien le volume est-il multiplié ?
    \item Si on double le rayon sans changer la hauteur, par combien le volume est-il multiplié ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 5 -- Pyramide}

Une pyramide a pour base un carré de côté $9$ cm. Sa hauteur mesure $12$ cm.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (4,0);
    \coordinate (C) at (5.2,1.2);
    \coordinate (D) at (1.2,1.2);
    \coordinate (O) at (2.6,0.6);
    \coordinate (S) at (2.6,4);
    \draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
    \draw[thick] (S)--(A) (S)--(B) (S)--(C) (S)--(D);
    \draw[dashed] (S)--(O);
    \fill (S) circle (2pt) node[above] {$S$};
    \fill (O) circle (2pt) node[right] {$O$};
    \node[below] at (2,0) {$9$ cm};
    \node[right] at (2.6,2.3) {$12$ cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer l'aire de la base.
    \item Calculer le volume de la pyramide.
    \item On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la base. Quelle est la nature de la section obtenue ?
    \item Si la pyramide est réduite avec un coefficient $\dfrac{1}{3}$, par quel nombre le volume est-il multiplié ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 6 -- Cône de révolution}

Un cône de révolution a un rayon de base $5$ cm et une hauteur $12$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer son volume exact en fonction de $\pi$.
    \item Donner une valeur approchée au cm$^3$ près.
    \item Calculer la longueur de la génératrice du cône.
    \item On remplit le cône d'eau aux deux tiers de sa hauteur. Peut-on dire que le volume d'eau est les deux tiers du volume total ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 7 -- Sections de solides}

Répondre aux questions suivantes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quelle est la nature de la section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face ?
    \item Quelle est la nature de la section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base ?
    \item Quelle est la nature de la section d'un cône par un plan parallèle à sa base ?
    \item Quelle est la nature de la section d'une sphère par un plan ?
    \item On coupe un cube de côté $10$ cm par un plan parallèle à une face, à mi-hauteur. Quelle est l'aire de la section ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 8 -- Patron et aire}

Une boîte sans couvercle a la forme d'un pavé droit de longueur $12$ cm, largeur $8$ cm et hauteur $5$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Combien de faces possède la boîte sans couvercle ?
    \item Calculer l'aire de la base.
    \item Calculer l'aire des quatre faces latérales.
    \item Calculer l'aire totale de carton nécessaire pour fabriquer cette boîte sans couvercle.
    \item Si on ajoute un couvercle, quelle aire de carton faut-il ajouter ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 9 -- Sphère et boule}

On considère une boule de rayon $6$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Rappeler la formule du volume d'une boule de rayon $r$.
    \item Calculer le volume exact de cette boule en fonction de $\pi$.
    \item Donner une valeur approchée au cm$^3$ près.
    \item Rappeler la formule de l'aire d'une sphère de rayon $r$.
    \item Calculer l'aire de la sphère correspondante en fonction de $\pi$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 10 -- Type brevet : silo à grains}

Un silo est composé d'un cylindre surmonté d'un cône. Le cylindre a un rayon de $3$ m et une hauteur de $8$ m. Le cône a le même rayon de base et une hauteur de $2$ m.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
    \draw[thick] (-2,0) arc[start angle=180,end angle=360,x radius=2,y radius=0.45];
    \draw[dashed] (-2,0) arc[start angle=180,end angle=0,x radius=2,y radius=0.45];
    \draw[thick] (-2,0)--(-2,4);
    \draw[thick] (2,0)--(2,4);
    \draw[thick] (-2,4) arc[start angle=180,end angle=360,x radius=2,y radius=0.45];
    \draw[dashed] (-2,4) arc[start angle=180,end angle=0,x radius=2,y radius=0.45];
    \draw[thick] (-2,4)--(0,5.8)--(2,4);
    \draw[dashed] (0,4)--(0,5.8);
    \node[right] at (2,2) {$8$ m};
    \node[right] at (0,5) {$2$ m};
    \node[below] at (1,0) {$3$ m};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer le volume du cylindre en fonction de $\pi$.
    \item Calculer le volume du cône en fonction de $\pi$.
    \item Calculer le volume total du silo en fonction de $\pi$.
    \item Donner une valeur approchée du volume total au m$^3$ près.
    \item Un mètre cube de grains pèse environ $0{,}75$ tonne. Quelle masse de grains peut contenir le silo, au dixième de tonne près ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 11 -- Synthèse DNB}

Une rampe est modélisée par un prisme droit dont la base est un triangle rectangle $ABC$ rectangle en $A$. On donne $AB=9$ m, $AC=1{,}2$ m et la largeur de la rampe est $2$ m.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (5,0);
    \coordinate (C) at (0,1.5);
    \coordinate (Ap) at (1.2,1.1);
    \coordinate (Bp) at (6.2,1.1);
    \coordinate (Cp) at (1.2,2.6);
    \draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
    \draw[thick] (Ap)--(Bp)--(Cp)--cycle;
    \draw[thick] (A)--(Ap) (B)--(Bp) (C)--(Cp);
    \draw (0.35,0)--(0.35,0.35)--(0,0.35);
    \node[below] at (2.5,0) {$9$ m};
    \node[left] at (0,0.75) {$1{,}2$ m};
    \node[right] at (6.2,1.8) {$2$ m};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer la longueur $BC$, arrondie au centimètre près.
    \item Calculer l'aire de la base triangulaire $ABC$.
    \item Calculer le volume du prisme représentant la rampe.
    \item La rampe est remplie de béton. Un mètre cube de béton coûte $135$ euros. Calculer le coût du béton.
    \item Pour des raisons de sécurité, la pente ne doit pas dépasser $15\%$. La pente est donnée par $\dfrac{AC}{AB}\times100$. La rampe respecte-t-elle la condition ?
\end{enumerate}

\vfill
\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le cube a 6 faces carrées et son volume vaut $c^3$.
    \item Le pavé droit a 6 faces rectangulaires et son volume vaut $L\times l\times h$.
    \item Le prisme droit a deux bases parallèles superposables et des faces latérales rectangulaires ; son volume vaut aire de base $\times$ hauteur.
    \item Le cylindre a deux bases circulaires et une surface latérale courbe ; son volume vaut $\pi r^2h$.
    \item La pyramide a une base et des faces latérales triangulaires ; son volume vaut $\dfrac{\text{aire de base}\times h}{3}$.
    \item Le cône a une base circulaire et une surface latérale courbe ; son volume vaut $\dfrac{\pi r^2h}{3}$.
    \item Une boîte de conserve est un exemple de cylindre.
    \item Un cornet de glace est un exemple de cône.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le volume du cube est $6^3=216$ cm$^3$.
    \item L'aire totale est $6\times6^2=216$ cm$^2$.
    \item La diagonale d'une face vaut $\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2\approx8{,}5$ cm.
    \item Le volume du pavé droit est $8\times5\times3=120$ cm$^3$.
    \item L'aire de la face est $8\times5=40$ cm$^2$.
    \item Sa diagonale vaut $\sqrt{8^2+5^2}=\sqrt{89}\approx9{,}4$ cm.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item L'aire de la base vaut $\dfrac{6\times8}{2}=24$ cm$^2$.
    \item Le volume vaut $24\times12=288$ cm$^3$.
    \item L'hypoténuse vaut $\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm.
    \item Le prisme possède 5 faces : 2 bases triangulaires et 3 faces latérales rectangulaires.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item L'aire de la base est $\pi\times4^2=16\pi$ cm$^2$.
    \item Le volume vaut $16\pi\times10=160\pi$ cm$^3$.
    \item $160\pi\approx503$ cm$^3$.
    \item Si on double la hauteur, le volume est multiplié par $2$.
    \item Si on double le rayon, l'aire de base est multipliée par $4$, donc le volume aussi.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item L'aire de la base vaut $9^2=81$ cm$^2$.
    \item Le volume vaut $\dfrac{81\times12}{3}=324$ cm$^3$.
    \item La section par un plan parallèle à la base est un carré.
    \item Le volume est multiplié par $\left(\dfrac13\right)^3=\dfrac{1}{27}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le volume vaut $\dfrac{\pi\times5^2\times12}{3}=100\pi$ cm$^3$.
    \item $100\pi\approx314$ cm$^3$.
    \item La génératrice vaut $\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm.
    \item Non. Si la hauteur est réduite avec le même cône, le coefficient est $\dfrac23$, donc le volume est multiplié par $\left(\dfrac23\right)^3=\dfrac{8}{27}$, pas par $\dfrac23$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item La section est un rectangle de mêmes dimensions que la face parallèle.
    \item La section est un disque.
    \item La section est un disque.
    \item La section d'une sphère par un plan est un cercle, ou un point dans le cas tangent.
    \item La section est un carré de côté $10$ cm, donc son aire vaut $100$ cm$^2$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item La boîte sans couvercle possède 5 faces.
    \item L'aire de la base vaut $12\times8=96$ cm$^2$.
    \item Les faces latérales ont pour aire totale $2\times(12\times5)+2\times(8\times5)=120+80=200$ cm$^2$.
    \item L'aire totale nécessaire est $96+200=296$ cm$^2$.
    \item Il faut ajouter $96$ cm$^2$ pour le couvercle.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le volume d'une boule est $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$.
    \item $V=\dfrac43\pi\times6^3=288\pi$ cm$^3$.
    \item $288\pi\approx905$ cm$^3$.
    \item L'aire d'une sphère est $4\pi r^2$.
    \item L'aire vaut $4\pi\times6^2=144\pi$ cm$^2$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le volume du cylindre vaut $\pi\times3^2\times8=72\pi$ m$^3$.
    \item Le volume du cône vaut $\dfrac{\pi\times3^2\times2}{3}=6\pi$ m$^3$.
    \item Le volume total vaut $78\pi$ m$^3$.
    \item $78\pi\approx245$ m$^3$.
    \item La masse vaut environ $245\times0{,}75=183{,}75$, soit $183{,}8$ tonnes.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 11}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $BC=\sqrt{9^2+1{,}2^2}=\sqrt{82{,}44}\approx9{,}08$ m.
    \item L'aire de la base vaut $\dfrac{9\times1{,}2}{2}=5{,}4$ m$^2$.
    \item Le volume vaut $5{,}4\times2=10{,}8$ m$^3$.
    \item Le coût vaut $10{,}8\times135=1\,458$ euros.
    \item La pente vaut $\dfrac{1{,}2}{9}\times100\approx13{,}3\%$. Elle respecte donc la condition.
\end{enumerate}

\end{document}