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% -------- PARAMÈTRES --------
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\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
        decoration={
            text along path,
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            text align=center
        }
    ] (-1.3,0.66) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.38];
    \fill (0,-0.28) ellipse[x radius=0.48,y radius=0.42];
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% -------- HEADER --------
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    \logowouf
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    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original de préparation au DNB. Compétences visées : lire et interpréter une série statistique, calculer moyenne, médiane, étendue, fréquences, quartiles simples, modéliser une expérience aléatoire, calculer des probabilités, utiliser un arbre et résoudre des problèmes contextualisés.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1 -- Lire un tableau statistique}

Dans un collège, on a demandé à des élèves de 3ème combien de livres ils avaient lus pendant les vacances.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre de livres & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
Effectif & 4 & 9 & 12 & 10 & 3 & 2 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer l'effectif total.
    \item Calculer le nombre moyen de livres lus.
    \item Déterminer la médiane de cette série.
    \item Calculer l'étendue.
    \item Calculer la fréquence, en pourcentage, des élèves ayant lu au moins 3 livres.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2 -- Diagramme et fréquences}

Le diagramme en bâtons ci-dessous donne les notes obtenues à un devoir.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1.2cm,y=0.35cm]
    \draw[->,thick] (0,0)--(7,0) node[right] {Note};
    \draw[->,thick] (0,0)--(0,18) node[above] {Effectif};
    \foreach \y in {0,5,10,15} \draw (-0.08,\y)--(0.08,\y) node[left=4pt,scale=0.8] {\y};
    \foreach \x/\note in {1/6,2/8,3/10,4/12,5/15,6/18}{
        \node[below] at (\x,0) {\note};
    }
    \draw[very thick,blue] (1,0)--(1,3);
    \draw[very thick,blue] (2,0)--(2,6);
    \draw[very thick,blue] (3,0)--(3,8);
    \draw[very thick,blue] (4,0)--(4,10);
    \draw[very thick,blue] (5,0)--(5,5);
    \draw[very thick,blue] (6,0)--(6,2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Recopier les données dans un tableau.
    \item Calculer l'effectif total.
    \item Calculer la moyenne, arrondie au dixième.
    \item Déterminer la médiane.
    \item Quel pourcentage d'élèves a obtenu une note strictement supérieure à 10 ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3 -- Médiane, quartiles et interprétation}

On donne les temps, en minutes, mis par 14 élèves pour résoudre une énigme :
\[
8\quad 9\quad 9\quad 10\quad 11\quad 12\quad 12\quad 13\quad 14\quad 14\quad 15\quad 16\quad 18\quad 20.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Déterminer la médiane.
    \item Déterminer le premier quartile $Q_1$.
    \item Déterminer le troisième quartile $Q_3$.
    \item Calculer l'écart interquartile.
    \item Interpréter la phrase : « $Q_3=15$ » dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 4 -- Moyenne modifiée}

Une équipe de basket a marqué les points suivants lors de 6 matchs :
\[
58\quad 64\quad 71\quad 62\quad 75\quad 66.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer la moyenne de points par match.
    \item Calculer la médiane.
    \item Lors d'un 7ème match, l'équipe marque $86$ points. Calculer la nouvelle moyenne.
    \item La médiane change-t-elle après ce 7ème match ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 5 -- Probabilités simples}

Une urne contient $5$ boules rouges, $3$ boules bleues et $2$ boules vertes. On tire une boule au hasard.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Combien y a-t-il d'issues possibles si les boules d'une même couleur sont distinguées ?
    \item Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
    \item Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule verte ?
    \item Quelle est la probabilité de tirer une boule jaune ?
    \item Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge, bleue ou verte ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 6 -- Roue de loterie}

Une roue équilibrée est partagée en 8 secteurs de même taille. Les secteurs portent les inscriptions suivantes :
\[
A\quad A\quad A\quad B\quad B\quad C\quad C\quad D.
\]
On fait tourner la roue et on observe la lettre indiquée.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quelle est la probabilité d'obtenir $A$ ?
    \item Quelle est la probabilité d'obtenir $D$ ?
    \item Quelle est la probabilité d'obtenir une voyelle ?
    \item Quelle est la probabilité de ne pas obtenir $B$ ?
    \item Si on fait tourner la roue $400$ fois, environ combien de fois peut-on s'attendre à obtenir $C$ ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 7 -- Deux lancers de pièce}

On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. On note $P$ pour pile et $F$ pour face.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[level distance=1.1cm,sibling distance=3.1cm]
\node {Départ}
    child {node {$P$}
        child {node {$PP$}}
        child {node {$PF$}}
    }
    child {node {$F$}
        child {node {$FP$}}
        child {node {$FF$}}
    };
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Lister toutes les issues possibles.
    \item Quelle est la probabilité d'obtenir deux piles ?
    \item Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une fois pile ?
    \item Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois face ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 8 -- Sac de jetons et arbre}

Un sac contient trois jetons numérotés $1$, $2$ et $3$. On tire un jeton, on note son numéro, puis on le remet dans le sac. On tire ensuite un deuxième jeton.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Combien y a-t-il d'issues possibles ?
    \item Donner toutes les issues sous forme de couples.
    \item Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois le même numéro ?
    \item Quelle est la probabilité que la somme des deux numéros soit égale à $5$ ?
    \item Quelle est la probabilité que la somme soit supérieure ou égale à $4$ ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 9 -- Type brevet : contrôle qualité}

Une usine contrôle $250$ pièces. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Type de pièce & Conforme & Défaut mineur & Défaut majeur \\
\hline
Effectif & 218 & 24 & 8 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On choisit une pièce au hasard parmi les $250$ pièces contrôlées.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer la fréquence des pièces conformes en pourcentage.
    \item Quelle est la probabilité de choisir une pièce avec un défaut majeur ?
    \item Quelle est la probabilité de choisir une pièce défectueuse ?
    \item L'usine affirme que moins de $15\%$ des pièces sont défectueuses. Est-ce vrai ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 10 -- Synthèse DNB}

Dans un jeu, on lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, puis on tire une carte au hasard parmi trois cartes : une carte rouge $R$, une carte bleue $B$ et une carte verte $V$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Combien y a-t-il d'issues possibles ?
    \item Quelle est la probabilité d'obtenir le nombre $6$ puis la carte rouge ?
    \item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
    \item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair et une carte verte ?
    \item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ou une carte bleue ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 11 -- Statistiques et probabilités liées}

Une association organise une tombola. Le tableau indique le nombre de tickets achetés par chaque participant.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre de tickets & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
Nombre de participants & 8 & 12 & 10 & 6 & 4 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Chaque ticket a la même chance d'être tiré au sort.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Combien y a-t-il de participants ?
    \item Combien de tickets ont été vendus au total ?
    \item Calculer le nombre moyen de tickets achetés par participant.
    \item Quelle est la probabilité que le ticket gagnant appartienne à un participant ayant acheté exactement 5 tickets ?
    \item Quelle est la probabilité que le ticket gagnant appartienne à un participant ayant acheté au moins 3 tickets ?
\end{enumerate}

\vfill
\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item L'effectif total est $4+9+12+10+3+2=40$.
    \item La moyenne vaut $\dfrac{0\times4+1\times9+2\times12+3\times10+4\times3+5\times2}{40}=\dfrac{85}{40}=2{,}125$ livres.
    \item Avec 40 valeurs, la médiane est entre la 20ème et la 21ème valeurs. Les deux valent $2$, donc la médiane est $2$.
    \item L'étendue est $5-0=5$.
    \item Les élèves ayant lu au moins 3 livres sont $10+3+2=15$, soit $\dfrac{15}{40}=37{,}5\%$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Les effectifs sont : $6\mapsto3$, $8\mapsto6$, $10\mapsto8$, $12\mapsto10$, $15\mapsto5$, $18\mapsto2$.
    \item L'effectif total est $3+6+8+10+5+2=34$.
    \item La somme pondérée vaut $6\times3+8\times6+10\times8+12\times10+15\times5+18\times2=377$. La moyenne vaut $\dfrac{377}{34}\approx11{,}1$.
    \item Avec 34 valeurs, la médiane est entre la 17ème et la 18ème valeurs. La 17ème vaut $10$ et la 18ème vaut $12$, donc la médiane est $11$.
    \item Les notes strictement supérieures à 10 concernent $10+5+2=17$ élèves, soit $50\%$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Avec 14 valeurs, la médiane est la moyenne des 7ème et 8ème valeurs : $\dfrac{12+13}{2}=12{,}5$.
    \item $25\%$ de 14 vaut $3{,}5$, donc $Q_1$ est la 4ème valeur : $10$.
    \item $75\%$ de 14 vaut $10{,}5$, donc $Q_3$ est la 11ème valeur : $15$.
    \item L'écart interquartile est $15-10=5$ minutes.
    \item Cela signifie qu'au moins $75\%$ des élèves ont mis $15$ minutes ou moins.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item La moyenne vaut $\dfrac{58+64+71+62+75+66}{6}=66$ points.
    \item La série rangée est $58,62,64,66,71,75$. La médiane est $\dfrac{64+66}{2}=65$.
    \item La nouvelle moyenne vaut $\dfrac{396+86}{7}=\dfrac{482}{7}\approx68{,}9$ points.
    \item La série rangée devient $58,62,64,66,71,75,86$. La médiane devient $66$, donc elle change.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Il y a $5+3+2=10$ issues équiprobables si les boules sont distinguées.
    \item $P(\text{rouge})=\dfrac{5}{10}=\dfrac12$.
    \item $P(\text{pas verte})=\dfrac{8}{10}=\dfrac45$.
    \item $P(\text{jaune})=0$.
    \item $P(\text{rouge, bleue ou verte})=1$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $P(A)=\dfrac{3}{8}$.
    \item $P(D)=\dfrac{1}{8}$.
    \item La seule voyelle est $A$, donc la probabilité est $\dfrac{3}{8}$.
    \item $P(\text{pas }B)=1-\dfrac{2}{8}=\dfrac{6}{8}=\dfrac34$.
    \item $P(C)=\dfrac{2}{8}=\dfrac14$. Sur 400 tours, on peut s'attendre à environ $100$ résultats $C$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Les issues sont $PP$, $PF$, $FP$ et $FF$.
    \item $P(PP)=\dfrac14$.
    \item Les issues favorables sont $PF$ et $FP$, donc la probabilité est $\dfrac{2}{4}=\dfrac12$.
    \item Les issues avec au moins une face sont $PF$, $FP$, $FF$, donc la probabilité est $\dfrac34$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Il y a $3\times3=9$ issues possibles.
    \item Les issues sont $(1;1)$, $(1;2)$, $(1;3)$, $(2;1)$, $(2;2)$, $(2;3)$, $(3;1)$, $(3;2)$, $(3;3)$.
    \item Les issues favorables sont $(1;1)$, $(2;2)$, $(3;3)$, donc la probabilité est $\dfrac{3}{9}=\dfrac13$.
    \item La somme vaut 5 pour $(2;3)$ et $(3;2)$, donc la probabilité est $\dfrac{2}{9}$.
    \item Les sommes supérieures ou égales à 4 correspondent à 6 issues : $(1;3)$, $(2;2)$, $(2;3)$, $(3;1)$, $(3;2)$, $(3;3)$. La probabilité est $\dfrac{6}{9}=\dfrac23$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item La fréquence des pièces conformes est $\dfrac{218}{250}=0{,}872$, soit $87{,}2\%$.
    \item $P(\text{défaut majeur})=\dfrac{8}{250}=\dfrac{4}{125}$.
    \item Les pièces défectueuses sont $24+8=32$, donc la probabilité est $\dfrac{32}{250}=\dfrac{16}{125}$.
    \item $\dfrac{32}{250}=12{,}8\%$, donc oui, il y a moins de $15\%$ de pièces défectueuses.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Il y a $6\times3=18$ issues possibles.
    \item La probabilité d'obtenir $6$ puis $R$ est $\dfrac{1}{18}$.
    \item Les nombres pairs sont $2$, $4$, $6$, donc la probabilité est $\dfrac{3}{6}=\dfrac12$.
    \item Il y a 3 nombres pairs et 1 carte verte : $\dfrac{3}{18}=\dfrac16$.
    \item Les issues avec un nombre supérieur ou égal à 5 sont $2\times3=6$. Les issues avec une carte bleue sont $6$. L'intersection contient $2$ issues. Il y a donc $6+6-2=10$ issues favorables, soit $\dfrac{10}{18}=\dfrac59$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 11}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Il y a $8+12+10+6+4=40$ participants.
    \item Le nombre total de tickets est $1\times8+2\times12+3\times10+4\times6+5\times4=106$.
    \item Le nombre moyen de tickets est $\dfrac{106}{40}=2{,}65$.
    \item Les participants ayant acheté 5 tickets possèdent $5\times4=20$ tickets, donc la probabilité est $\dfrac{20}{106}=\dfrac{10}{53}$.
    \item Les participants ayant acheté au moins 3 tickets possèdent $30+24+20=74$ tickets, donc la probabilité est $\dfrac{74}{106}=\dfrac{37}{53}$.
\end{enumerate}

\end{document}