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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{De la 6ème au DNB / Symétrie axiale}
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\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
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            text along path,
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\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original de préparation progressive. Compétences visées : reconnaître un axe de symétrie, construire l'image d'un point ou d'une figure, utiliser les propriétés de la médiatrice, lire des coordonnées après symétrie, calculer des longueurs conservées et résoudre des questions de type brevet.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1 -- Reconnaître des axes}

Pour chaque figure usuelle ci-dessous, indiquer le nombre d'axes de symétrie.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Figure & Rectangle non carré & Carré & Triangle équilatéral & Cercle \\
\hline
Nombre d'axes & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Un parallélogramme quelconque a-t-il toujours un axe de symétrie ?
    \item Un losange non carré a-t-il des axes de symétrie ? Si oui, lesquels ?
    \item Un triangle isocèle non équilatéral a-t-il un axe de symétrie ? Le décrire.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2 -- Construire l'image d'un point}

Sur le quadrillage ci-dessous, la droite $(d)$ est l'axe de symétrie. On a placé les points $A$, $B$, $C$ et $D$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.62]
    \draw[step=1,gray!40,very thin] (-6,-4) grid (6,4);
    \draw[very thick,red] (0,-4.3) -- (0,4.3) node[above] {$(d)$};
    \fill (-4,2) circle (2pt) node[above left] {$A$};
    \fill (-2,-3) circle (2pt) node[below left] {$B$};
    \fill (3,1) circle (2pt) node[above right] {$C$};
    \fill (0,-2) circle (2pt) node[right] {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Construire mentalement les images $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ par la symétrie axiale d'axe $(d)$.
    \item Donner leurs coordonnées dans le repère du quadrillage.
    \item Quel point est son propre symétrique ? Expliquer pourquoi.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3 -- Image d'une figure}

On considère le triangle $ABC$ avec $A(-5;1)$, $B(-2;3)$ et $C(-1;-2)$. On effectue la symétrie axiale d'axe l'axe des ordonnées.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.58]
    \draw[step=1,gray!35,very thin] (-6,-4) grid (6,4);
    \draw[->,thick] (-6.2,0) -- (6.4,0) node[right] {$x$};
    \draw[->,thick] (0,-4.2) -- (0,4.4) node[above] {$y$};
    \foreach \x in {-6,...,6} \draw (\x,0.08)--(\x,-0.08) node[below,scale=0.7] {\x};
    \foreach \y in {-4,...,4} \draw (0.08,\y)--(-0.08,\y) node[left,scale=0.7] {\y};
    \draw[very thick,red] (0,-4.2)--(0,4.2);
    \fill[blue!15] (-5,1)--(-2,3)--(-1,-2)--cycle;
    \draw[thick,blue] (-5,1)--(-2,3)--(-1,-2)--cycle;
    \fill (-5,1) circle (2pt) node[above left] {$A$};
    \fill (-2,3) circle (2pt) node[above] {$B$};
    \fill (-1,-2) circle (2pt) node[below left] {$C$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner les coordonnées de $A'$, $B'$ et $C'$.
    \item Calculer la longueur $AB$.
    \item Que vaut la longueur $A'B'$ ? Justifier sans recalculer.
    \item Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ ont-ils la même aire ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 4 -- Axe horizontal}

Dans un repère orthonormé, on donne les points
\[
M(-4;3),\quad N(2;1),\quad P(5;-2),\quad Q(-1;0).
\]
On effectue la symétrie axiale d'axe l'axe des abscisses.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner les coordonnées de $M'$, $N'$, $P'$ et $Q'$.
    \item Que remarquer pour le point $Q$ ?
    \item Donner une règle générale : si un point a pour coordonnées $(x;y)$, quelles sont les coordonnées de son image par symétrie d'axe l'axe des abscisses ?
    \item Donner la règle analogue pour la symétrie d'axe l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 5 -- Médiatrice et symétrie}

Les points $A$ et $A'$ sont symétriques par rapport à une droite $(d)$. On sait que $AA'=8$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Que représente la droite $(d)$ pour le segment $[AA']$ ?
    \item Si $I$ est le point d'intersection de $(d)$ et de $[AA']$, calculer $AI$ et $IA'$.
    \item Quelle est la position de $(d)$ par rapport à $[AA']$ ?
    \item Un point $M$ appartient à $(d)$. Comparer les longueurs $MA$ et $MA'$. Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 6 -- Retrouver l'axe de symétrie}

Dans un repère, on donne deux points $E(-3;2)$ et $E'(5;2)$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[EE']$.
    \item Quelle est la droite qui peut être l'axe de symétrie envoyant $E$ sur $E'$ ? Donner son équation.
    \item Vérifier que cette droite est perpendiculaire au segment $[EE']$.
\end{enumerate}

On donne maintenant $F(1;-4)$ et $F'(1;6)$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Calculer le milieu de $[FF']$.
    \item Donner l'équation de l'axe de symétrie envoyant $F$ sur $F'$.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 7 -- Programme de construction}

Voici un programme de construction.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Tracer un segment $[AB]$ de longueur $6$ cm.
    \item Tracer une droite $(d)$ qui ne coupe pas le segment $[AB]$.
    \item Construire $A'$ et $B'$, images de $A$ et $B$ par la symétrie axiale d'axe $(d)$.
    \item Tracer le quadrilatère $ABB'A'$.
\end{enumerate}

Répondre aux questions suivantes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quelle est la longueur $A'B'$ ? Justifier.
    \item Les segments $[AA']$ et $[BB']$ sont-ils perpendiculaires à $(d)$ ?
    \item Le quadrilatère $ABB'A'$ est-il toujours un rectangle ? Justifier par un contre-exemple ou une explication.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 8 -- Figure avec axe oblique}

Dans la figure ci-dessous, l'axe de symétrie est la droite $(d)$ d'équation $y=x$. On donne $R(1;4)$, $S(-2;3)$ et $T(5;-1)$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.55]
    \draw[step=1,gray!35,very thin] (-5,-3) grid (6,6);
    \draw[->,thick] (-5.2,0)--(6.4,0) node[right] {$x$};
    \draw[->,thick] (0,-3.2)--(0,6.4) node[above] {$y$};
    \draw[very thick,red] (-3,-3)--(6,6) node[above right] {$(d)$};
    \fill (1,4) circle (2pt) node[above left] {$R$};
    \fill (-2,3) circle (2pt) node[above left] {$S$};
    \fill (5,-1) circle (2pt) node[below right] {$T$};
    \draw[thick,blue] (1,4)--(-2,3)--(5,-1)--cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour une symétrie d'axe $y=x$, l'image d'un point $(x;y)$ est le point $(y;x)$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner les coordonnées de $R'$, $S'$ et $T'$.
    \item Le point $U(3;3)$ change-t-il par cette symétrie ? Justifier.
    \item Calculer la longueur $RS$ puis donner la longueur $R'S'$.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 9 -- Type brevet : logo}

Un logo est formé d'un triangle $ABC$ et de son image $A'B'C'$ par une symétrie axiale. On sait que l'axe de symétrie est la droite $(d)$ et que $A$ a pour image $A'$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
    \draw[step=1,gray!30,very thin] (-5,-3) grid (5,4);
    \draw[very thick,red] (0,-3.2)--(0,4.2) node[above] {$(d)$};
    \coordinate (A) at (-4,2);
    \coordinate (B) at (-2,3);
    \coordinate (C) at (-1,-1);
    \coordinate (Ap) at (4,2);
    \coordinate (Bp) at (2,3);
    \coordinate (Cp) at (1,-1);
    \fill[blue!12] (A)--(B)--(C)--cycle;
    \fill[green!12] (Ap)--(Bp)--(Cp)--cycle;
    \draw[thick,blue] (A)--(B)--(C)--cycle;
    \draw[thick,green!60!black] (Ap)--(Bp)--(Cp)--cycle;
    \draw[dashed] (A)--(Ap);
    \fill (A) circle (2pt) node[above left] {$A$};
    \fill (B) circle (2pt) node[above] {$B$};
    \fill (C) circle (2pt) node[below left] {$C$};
    \fill (Ap) circle (2pt) node[above right] {$A'$};
    \fill (Bp) circle (2pt) node[above] {$B'$};
    \fill (Cp) circle (2pt) node[below right] {$C'$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quelle est la nature de la droite $(d)$ par rapport au segment $[AA']$ ?
    \item Si $AA'=8$ cm sur le dessin à l'échelle, quelle est la distance de $A$ à l'axe $(d)$ ?
    \item Si $AB=3{,}5$ cm et $BC=4{,}2$ cm, donner $A'B'$ et $B'C'$.
    \item Les deux triangles ont-ils le même périmètre ? Justifier.
    \item L'orientation des sommets est-elle conservée par une symétrie axiale ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 10 -- Synthèse DNB}

Dans un repère orthonormé, on considère les points
\[
A(-6;1),\quad B(-2;4),\quad C(-1;-2).
\]
On note $A'B'C'$ l'image du triangle $ABC$ par la symétrie axiale d'axe l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner les coordonnées de $A'$, $B'$ et $C'$.
    \item Montrer que $AB=5$.
    \item En déduire $A'B'$.
    \item Calculer l'aire du triangle $ABC$ en utilisant la formule de la base et de la hauteur ou une autre méthode.
    \item Quelle est l'aire du triangle $A'B'C'$ ? Justifier.
    \item On effectue ensuite une translation de vecteur $(2;-1)$ sur $A'B'C'$. Donner les coordonnées de l'image de $B'$ par cette translation.
\end{enumerate}

\vfill
\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le rectangle non carré a $2$ axes, le carré en a $4$, le triangle équilatéral en a $3$ et le cercle en a une infinité.
    \item Non, un parallélogramme quelconque n'a pas d'axe de symétrie (sauf cas particuliers : rectangle, losange, carré).
    \item Oui. Un losange non carré a $2$ axes de symétrie : ses diagonales.
    \item Oui. Un triangle isocèle non équilatéral a un axe : la droite passant par le sommet principal et le milieu de la base.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item L'axe $(d)$ est vertical : on reporte chaque point à la même distance de l'autre côté de l'axe.
    \item $A'(4;2)$, $B'(2;-3)$, $C'(-3;1)$ et $D'(0;-2)$.
    \item $D$ est son propre symétrique car il appartient à l'axe de symétrie.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Par symétrie d'axe l'axe des ordonnées, l'abscisse change de signe et l'ordonnée reste la même : $A'(5;1)$, $B'(2;3)$ et $C'(1;-2)$.
    \item $AB=\sqrt{(-2+5)^2+(3-1)^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$.
    \item $A'B'=\sqrt{13}$ car une symétrie axiale conserve les longueurs.
    \item Oui, ils ont la même aire car une symétrie axiale conserve les longueurs et les aires.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $M'(-4;-3)$, $N'(2;-1)$, $P'(5;2)$ et $Q'(-1;0)$.
    \item $Q$ ne change pas car il appartient à l'axe des abscisses.
    \item L'image de $(x;y)$ par symétrie d'axe l'axe des abscisses est $(x;-y)$.
    \item L'image de $(x;y)$ par symétrie d'axe l'axe des ordonnées est $(-x;y)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item La droite $(d)$ est la médiatrice du segment $[AA']$.
    \item Comme $(d)$ coupe $[AA']$ en son milieu, $AI=IA'=4$ cm.
    \item La droite $(d)$ est perpendiculaire au segment $[AA']$.
    \item $MA=MA'$ car tout point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités du segment.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le milieu de $[EE']$ est $I(1;2)$.
    \item L'axe est la médiatrice de $[EE']$. Comme $[EE']$ est horizontal, l'axe est la droite verticale d'équation $x=1$.
    \item Une droite verticale est perpendiculaire à un segment horizontal, donc l'axe est bien perpendiculaire à $[EE']$.
    \item Le milieu de $[FF']$ est $(1;1)$.
    \item Comme $[FF']$ est vertical, l'axe est la droite horizontale d'équation $y=1$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $A'B'=AB=6$ cm car une symétrie axiale conserve les longueurs.
    \item Oui. Pour tout point et son image, le segment qui les relie est perpendiculaire à l'axe de symétrie.
    \item Non, pas toujours. Le quadrilatère dépend de la position du segment $[AB]$ par rapport à l'axe. Il n'est rectangle que dans des cas particuliers ; en général, les côtés $[AB]$ et $[B'A']$ sont parallèles mais les autres côtés ne sont pas forcément perpendiculaires à $[AB]$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item On échange les coordonnées : $R'(4;1)$, $S'(3;-2)$ et $T'(-1;5)$.
    \item Oui. $U(3;3)$ appartient à la droite $y=x$, donc il est invariant.
    \item $RS=\sqrt{(-2-1)^2+(3-4)^2}=\sqrt{10}$. Donc $R'S'=\sqrt{10}$ car la symétrie conserve les longueurs.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item La droite $(d)$ est la médiatrice du segment $[AA']$.
    \item La distance de $A$ à l'axe est la moitié de $AA'$, donc $4$ cm.
    \item $A'B'=AB=3{,}5$ cm et $B'C'=BC=4{,}2$ cm.
    \item Oui, les périmètres sont égaux car toutes les longueurs sont conservées par symétrie axiale.
    \item Non. Une symétrie axiale inverse l'orientation de la figure.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $A'(6;1)$, $B'(2;4)$ et $C'(1;-2)$.
    \item $AB=\sqrt{(-2+6)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
    \item $A'B'=5$ car la symétrie axiale conserve les longueurs.
    \item On inscrit le triangle dans le rectangle $[-6;-1]\times[-2;4]$, d'aire $5\times6=30$.
    On enlève les trois triangles rectangles extérieurs :
    \begin{itemize}
        \item coin supérieur gauche (A, B) : $\tfrac12\times4\times3=6$,
        \item coin inférieur droit (B, C) : $\tfrac12\times1\times6=3$,
        \item coin inférieur gauche (A, C) : $\tfrac12\times5\times3=7{,}5$.
    \end{itemize}
    Donc $\mathcal A=30-6-3-7{,}5=13{,}5$ unités d'aire.
    \item L'aire de $A'B'C'$ est aussi $13{,}5$ unités d'aire car une symétrie axiale conserve les aires.
    \item $B'(2;4)$ devient $(2+2;4-1)$, donc $(4;3)$.
\end{enumerate}

\end{document}