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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{De la 5ème au DNB / Symétrie centrale}
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\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
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        decorate,
        decoration={
            text along path,
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\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original de préparation progressive. Compétences visées : reconnaître une symétrie centrale, construire l'image d'un point ou d'une figure, utiliser le milieu, lire des coordonnées, exploiter les propriétés de conservation et résoudre des questions de type brevet.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1 -- Reconnaître une symétrie centrale}

Répondre aux questions suivantes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quelle transformation correspond à un demi-tour autour d'un point ?
    \item Dans une symétrie centrale de centre $O$, que représente $O$ pour le segment reliant un point $A$ à son image $A'$ ?
    \item Une symétrie centrale conserve-t-elle les longueurs ? les angles ? les aires ?
    \item Une symétrie centrale conserve-t-elle l'orientation d'une figure ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Transformation & Symétrie axiale & Symétrie centrale & Translation \\
\hline
Effet principal & Retournement & & Glissement \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Compléter la case manquante du tableau.

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2 -- Image de points sur quadrillage}

Sur le quadrillage ci-dessous, $O$ est le centre de symétrie. On a placé les points $A$, $B$, $C$ et $D$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.62]
    \draw[step=1,gray!40,very thin] (-6,-4) grid (6,4);
    \draw[->,thick] (-6.2,0)--(6.4,0) node[right] {$x$};
    \draw[->,thick] (0,-4.2)--(0,4.4) node[above] {$y$};
    \foreach \x in {-6,...,6} \draw (\x,0.08)--(\x,-0.08) node[below,scale=0.7] {\x};
    \foreach \y in {-4,...,4} \draw (0.08,\y)--(-0.08,\y) node[left,scale=0.7] {\y};
    \fill[red] (0,0) circle (2pt) node[above right] {$O$};
    \fill (-4,2) circle (2pt) node[above left] {$A$};
    \fill (-2,-3) circle (2pt) node[below left] {$B$};
    \fill (3,1) circle (2pt) node[above right] {$C$};
    \fill (0,-2) circle (2pt) node[right] {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Construire mentalement les images $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ par la symétrie centrale de centre $O$.
    \item Donner les coordonnées de $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$.
    \item Quel point aurait pour image lui-même par cette symétrie centrale ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3 -- Coordonnées dans un repère}

Dans un repère orthonormé, on considère les points
\[
M(-5;1),\quad N(2;4),\quad P(3;-2).
\]
On effectue la symétrie centrale de centre l'origine $O(0;0)$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner les coordonnées de $M'$, $N'$ et $P'$.
    \item Donner la règle générale : si un point a pour coordonnées $(x;y)$, quelles sont les coordonnées de son image par symétrie centrale de centre $O$ ?
    \item Calculer $MN$.
    \item Que vaut $M'N'$ ? Justifier sans recalculer.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 4 -- Centre quelconque}

On considère le point $I(1;2)$ et le point $A(-3;5)$. Le point $A'$ est l'image de $A$ par la symétrie centrale de centre $I$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Que représente $I$ pour le segment $[AA']$ ?
    \item Calculer les coordonnées de $A'$.
    \item Vérifier que $I$ est bien le milieu de $[AA']$.
\end{enumerate}

Même question avec $B(4;-1)$ :
\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Calculer les coordonnées de $B'$, image de $B$ par la symétrie centrale de centre $I$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 5 -- Image d'une figure}

On considère le triangle $ABC$ avec
\[
A(-4;1),\quad B(-1;3),\quad C(-2;-2).
\]
On effectue la symétrie centrale de centre $O(0;0)$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.58]
    \draw[step=1,gray!35,very thin] (-5,-4) grid (5,4);
    \draw[->,thick] (-5.2,0)--(5.4,0) node[right] {$x$};
    \draw[->,thick] (0,-4.2)--(0,4.4) node[above] {$y$};
    \foreach \x in {-5,...,5} \draw (\x,0.08)--(\x,-0.08) node[below,scale=0.7] {\x};
    \foreach \y in {-4,...,4} \draw (0.08,\y)--(-0.08,\y) node[left,scale=0.7] {\y};
    \fill[red] (0,0) circle (2pt) node[above right] {$O$};
    \fill[blue!15] (-4,1)--(-1,3)--(-2,-2)--cycle;
    \draw[thick,blue] (-4,1)--(-1,3)--(-2,-2)--cycle;
    \fill (-4,1) circle (2pt) node[above left] {$A$};
    \fill (-1,3) circle (2pt) node[above] {$B$};
    \fill (-2,-2) circle (2pt) node[below left] {$C$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner les coordonnées de $A'$, $B'$ et $C'$.
    \item Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont-ils superposables ? Justifier.
    \item Les deux triangles ont-ils le même périmètre ? la même aire ?
    \item L'ordre des sommets est-il conservé par une symétrie centrale ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 6 -- Retrouver le centre}

Dans un repère, on donne $E(-2;5)$ et son image $E'(6;-1)$ par une symétrie centrale.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer les coordonnées du centre $I$ de cette symétrie.
    \item Expliquer pourquoi ce centre est unique.
\end{enumerate}

On donne aussi $F(1;-4)$ et $F'(7;2)$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Calculer le milieu de $[FF']$.
    \item Les couples $(E,E')$ et $(F,F')$ peuvent-ils correspondre à une même symétrie centrale ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 7 -- Parallélogramme}

On considère un quadrilatère $ABCD$. On sait que les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $O$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quelle est l'image de $A$ par la symétrie centrale de centre $O$ ?
    \item Quelle est l'image de $B$ par cette même symétrie ?
    \item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier.
\end{enumerate}

Application : dans un repère, $A(-3;1)$, $B(2;4)$ et $C(5;-1)$ sont trois sommets consécutifs d'un parallélogramme $ABCD$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Calculer les coordonnées de $D$.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 8 -- Figure type brevet}

Un logo est formé d'un quadrilatère $KLMN$ et de son image $K'L'M'N'$ par une symétrie centrale de centre $O$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.62]
    \draw[step=1,gray!30,very thin] (-6,-4) grid (6,4);
    \draw[->,thick] (-6.2,0)--(6.4,0) node[right] {$x$};
    \draw[->,thick] (0,-4.2)--(0,4.4) node[above] {$y$};
    \coordinate (K) at (-5,1);
    \coordinate (L) at (-3,3);
    \coordinate (M) at (-1,0);
    \coordinate (N) at (-4,-2);
    \coordinate (Kp) at (5,-1);
    \coordinate (Lp) at (3,-3);
    \coordinate (Mp) at (1,0);
    \coordinate (Np) at (4,2);
    \fill[blue!12] (K)--(L)--(M)--(N)--cycle;
    \fill[green!12] (Kp)--(Lp)--(Mp)--(Np)--cycle;
    \draw[thick,blue] (K)--(L)--(M)--(N)--cycle;
    \draw[thick,green!60!black] (Kp)--(Lp)--(Mp)--(Np)--cycle;
    \draw[dashed] (K)--(Kp);
    \draw[dashed] (L)--(Lp);
    \fill[red] (0,0) circle (2pt) node[above right] {$O$};
    \fill (K) circle (2pt) node[above left] {$K$};
    \fill (L) circle (2pt) node[above] {$L$};
    \fill (M) circle (2pt) node[right] {$M$};
    \fill (N) circle (2pt) node[below left] {$N$};
    \fill (Kp) circle (2pt) node[below right] {$K'$};
    \fill (Lp) circle (2pt) node[below] {$L'$};
    \fill (Mp) circle (2pt) node[left] {$M'$};
    \fill (Np) circle (2pt) node[above right] {$N'$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner les coordonnées de $K$, $L$, $M$ et $N$.
    \item Donner les coordonnées de $K'$, $L'$, $M'$ et $N'$.
    \item Quelle propriété permet d'affirmer que $O$ est le milieu de $[KK']$ ?
    \item Si $KL=2{,}8$ cm, que vaut $K'L'$ ?
    \item Les deux quadrilatères ont-ils la même orientation ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 9 -- Centre non placé à l'origine}

Dans un repère, on considère le centre $S(2;-1)$ et les points
\[
A(5;3),\quad B(-1;4),\quad C(0;-5).
\]
On note $A'$, $B'$ et $C'$ leurs images par la symétrie centrale de centre $S$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer les coordonnées de $A'$, $B'$ et $C'$.
    \item Vérifier que $S$ est le milieu de $[BB']$.
    \item Calculer $AB$.
    \item En déduire $A'B'$.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 10 -- Synthèse DNB}

Dans un repère orthonormé, on donne
\[
A(-4;2),\quad B(1;5),\quad C(3;-1).
\]
On note $A'B'C'$ l'image du triangle $ABC$ par la symétrie centrale de centre $I(1;1)$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer les coordonnées de $A'$, $B'$ et $C'$.
    \item Montrer que $AB=\sqrt{34}$.
    \item Donner $A'B'$ en justifiant.
    \item Calculer l'aire du triangle $ABC$.
    \item Quelle est l'aire du triangle $A'B'C'$ ? Justifier.
    \item On effectue ensuite l'homothétie de centre $I$ et de rapport $2$ appliquée au triangle $ABC$. Donner les coordonnées de l'image de $B$ et indiquer par quel nombre l'aire est multipliée.
\end{enumerate}

\vfill
\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Il s'agit d'une symétrie centrale.
    \item Le point $O$ est le milieu du segment $[AA']$.
    \item Oui, une symétrie centrale conserve les longueurs, les angles et les aires.
    \item Oui, une symétrie centrale conserve l'orientation d'une figure.
\end{enumerate}

Dans le tableau, l'effet principal de la symétrie centrale est un demi-tour.

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item On place chaque image de l'autre côté de $O$, à la même distance, sur la même droite passant par le point et $O$.
    \item $A'(4;-2)$, $B'(2;3)$, $C'(-3;-1)$ et $D'(0;2)$.
    \item Seul le centre $O$ a pour image lui-même.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $M'(5;-1)$, $N'(-2;-4)$ et $P'(-3;2)$.
    \item L'image de $(x;y)$ par symétrie centrale de centre $O$ est $(-x;-y)$.
    \item $MN=\sqrt{(2+5)^2+(4-1)^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$.
    \item $M'N'=\sqrt{58}$ car une symétrie centrale conserve les longueurs.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $I$ est le milieu de $[AA']$.
    \item Si $A'(x;y)$, alors $\left(\dfrac{-3+x}{2};\dfrac{5+y}{2}\right)=(1;2)$. Donc $x=5$ et $y=-1$. Ainsi $A'(5;-1)$.
    \item Le milieu de $A(-3;5)$ et $A'(5;-1)$ est $\left(\dfrac{-3+5}{2};\dfrac{5-1}{2}\right)=(1;2)$.
    \item Pour $B(4;-1)$, on obtient $B'(-2;5)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $A'(4;-1)$, $B'(1;-3)$ et $C'(2;2)$.
    \item Oui, ils sont superposables car une symétrie centrale conserve les longueurs et les angles.
    \item Oui, ils ont le même périmètre et la même aire.
    \item Oui, la symétrie centrale conserve l'ordre des sommets : elle conserve l'orientation.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le centre est le milieu de $[EE']$ : $I\left(\dfrac{-2+6}{2};\dfrac{5+(-1)}{2}\right)=(2;2)$.
    \item Il est unique car un segment possède un seul milieu.
    \item Le milieu de $[FF']$ est $\left(\dfrac{1+7}{2};\dfrac{-4+2}{2}\right)=(4;-1)$.
    \item Non, car les milieux ne sont pas les mêmes : $(2;2)\neq(4;-1)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Comme $O$ est le milieu de $[AC]$, l'image de $A$ est $C$.
    \item Comme $O$ est le milieu de $[BD]$, l'image de $B$ est $D$.
    \item Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme car ses diagonales ont le même milieu.
    \item Dans un parallélogramme de sommets consécutifs $A$, $B$, $C$, on a $D=A+C-B$. Donc $D(-3+5-2;1+(-1)-4)=(0;-4)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $K(-5;1)$, $L(-3;3)$, $M(-1;0)$ et $N(-4;-2)$.
    \item $K'(5;-1)$, $L'(3;-3)$, $M'(1;0)$ et $N'(4;2)$.
    \item Dans une symétrie centrale, le centre est le milieu du segment reliant un point et son image.
    \item $K'L'=KL=2{,}8$ cm car les longueurs sont conservées.
    \item Oui, ils ont la même orientation : une symétrie centrale correspond à un demi-tour, contrairement à une symétrie axiale qui inverse l'orientation.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Avec le centre $S(2;-1)$, on utilise $A'=2S-A$. Ainsi $A'(-1;-5)$, $B'(5;-6)$ et $C'(4;3)$.
    \item Le milieu de $B(-1;4)$ et $B'(5;-6)$ est $\left(\dfrac{-1+5}{2};\dfrac{4-6}{2}\right)=(2;-1)$, c'est bien $S$.
    \item $AB=\sqrt{(-1-5)^2+(4-3)^2}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$.
    \item $A'B'=\sqrt{37}$ car une symétrie centrale conserve les longueurs.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le centre est $I(1;1)$, donc $A'=2I-A=(6;0)$, $B'=2I-B=(1;-3)$ et $C'=2I-C=(-1;3)$.
    \item $AB=\sqrt{(1+4)^2+(5-2)^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$.
    \item $A'B'=\sqrt{34}$ car la symétrie centrale conserve les longueurs.
    \item On inscrit le triangle dans le rectangle $[-4;3]\times[-1;5]$, d'aire $7\times6=42$.
    On enlève les trois triangles rectangles extérieurs :
    \begin{itemize}
        \item coin haut-gauche (A, B) : $\tfrac12\times5\times3=7{,}5$,
        \item coin haut-droit (B, C) : $\tfrac12\times2\times6=6$,
        \item coin bas-gauche (A, C) : $\tfrac12\times7\times3=10{,}5$.
    \end{itemize}
    Donc $\mathcal A=42-7{,}5-6-10{,}5=18$ unités d'aire.
    \item L'aire de $A'B'C'$ est $18$ unités d'aire car une symétrie centrale conserve les aires.
    \item Par homothétie de centre $I$ et de rapport $2$, l'image de $B$ est $I+2(B-I)=(1;1)+2(0;4)=(1;9)$. Les longueurs sont multipliées par $2$, donc les aires par $2^2=4$.
\end{enumerate}

\end{document}