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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\duree}{1 h 30}
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
        decoration={
            text along path,
            text={|\sffamily\bfseries\scriptsize|site2wouf.fr},
            text align=center
        }
    ] (-1.3,0.66) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.38];
    \fill (0,-0.28) ellipse[x radius=0.48,y radius=0.42];
    \fill (-0.64,0.42) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.31];
    \fill (-0.22,0.68) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.35];
    \fill (0.22,0.68) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.35];
    \fill (0.64,0.42) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.31];
\end{tikzpicture}%
}

% -------- HEADER --------
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\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
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    \logowouf
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    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original inspiré d'exercices libres de type DNB proposés par l'APMEP et Sésamath.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1}

Sur le quadrillage ci-dessous, on a placé les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $O$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.62]
    \draw[step=1,gray!45,very thin] (-5,-4) grid (5,4);
    \draw[->,thick] (-5.2,0) -- (5.4,0);
    \draw[->,thick] (0,-4.2) -- (0,4.4);
    \foreach \x in {-5,...,5} \draw (\x,0.08) -- (\x,-0.08) node[below,scale=0.75] {\x};
    \foreach \y in {-4,...,4} \draw (0.08,\y) -- (-0.08,\y) node[left,scale=0.75] {\y};
    \fill (0,0) circle (2pt) node[above right] {$O$};
    \fill (-4,1) circle (2pt) node[above left] {$A$};
    \fill (-1,1) circle (2pt) node[above] {$B$};
    \fill (-2,3) circle (2pt) node[above] {$C$};
    \fill (2,-1) circle (2pt) node[below right] {$D$};
    \draw[thick] (-4,1) -- (-1,1) -- (-2,3) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$.
    \item Construire, sur le quadrillage, l'image $A'B'C'$ du triangle $ABC$ par la translation qui transforme $O$ en $D$.
    \item Donner les coordonnées de $A'$, $B'$ et $C'$.
    \item Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ ont-ils la même aire ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2}

Le motif gris est composé de quatre triangles rectangles isométriques. On s'intéresse aux transformations qui permettent d'obtenir certains triangles à partir du triangle $T_1$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.85]
    \draw[step=1,gray!35,very thin] (-3,-3) grid (3,3);
    \draw[->,thick] (-3.2,0) -- (3.4,0);
    \draw[->,thick] (0,-3.2) -- (0,3.4);
    \fill (0,0) circle (2pt) node[below left] {$O$};
    \fill[gray!25] (0,0) -- (2,0) -- (0,1) -- cycle;
    \fill[gray!25] (0,0) -- (0,2) -- (-1,0) -- cycle;
    \fill[gray!25] (0,0) -- (-2,0) -- (0,-1) -- cycle;
    \fill[gray!25] (0,0) -- (0,-2) -- (1,0) -- cycle;
    \draw[thick] (0,0) -- (2,0) -- (0,1) -- cycle node[midway,right] {$T_1$};
    \draw[thick] (0,0) -- (0,2) -- (-1,0) -- cycle node[midway,above left] {$T_2$};
    \draw[thick] (0,0) -- (-2,0) -- (0,-1) -- cycle node[midway,left] {$T_3$};
    \draw[thick] (0,0) -- (0,-2) -- (1,0) -- cycle node[midway,below right] {$T_4$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quelle transformation du plan permet de passer de $T_1$ à $T_3$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
    \item Quelle rotation permet de passer de $T_1$ à $T_2$ ? Donner son centre, son angle et son sens.
    \item Le triangle $T_4$ est-il l'image de $T_1$ par une symétrie axiale ? Si oui, préciser l'axe ; sinon, expliquer pourquoi.
    \item On note $E(2;0)$ et $F(0;1)$ deux sommets de $T_1$. Déterminer les coordonnées des images de $E$ et $F$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $90^\circ$ dans le sens anti-horaire.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 3}

Dans un repère orthonormé, on considère les points
\[
M(-3;2), \quad N(1;4), \quad P(3;0) \quad \text{et} \quad I(0;1).
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer les longueurs $MN$, $NP$ et $MP$.
    \item Construire mentalement l'image $M'N'P'$ du triangle $MNP$ par la symétrie centrale de centre $I$.
    \item Donner les coordonnées de $M'$, $N'$ et $P'$.
    \item Justifier que les triangles $MNP$ et $M'N'P'$ sont superposables.
    \item On effectue ensuite l'homothétie de centre $I$ et de rapport $2$ appliquée au triangle $MNP$. Donner les coordonnées de l'image de $N$ et indiquer par quel nombre l'aire du triangle est multipliée.
\end{enumerate}


\vspace{1em}

\section*{Exercice 4}

La figure ci-dessous représente une frise obtenue à partir d'un quadrilatère $KLMN$ par plusieurs transformations du plan.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.58]
    \draw[step=1,gray!35,very thin] (-6,-4) grid (8,4);
    \draw[->,thick] (-6.2,0) -- (8.4,0);
    \draw[->,thick] (0,-4.2) -- (0,4.4);
    \foreach \x in {-6,...,8} \draw (\x,0.08) -- (\x,-0.08) node[below,scale=0.7] {\x};
    \foreach \y in {-4,...,4} \draw (0.08,\y) -- (-0.08,\y) node[left,scale=0.7] {\y};

    \coordinate (K) at (-5,1);
    \coordinate (L) at (-3,2);
    \coordinate (M) at (-2,0);
    \coordinate (N) at (-4,-1);
    \coordinate (Kp) at (1,1);
    \coordinate (Lp) at (3,2);
    \coordinate (Mp) at (4,0);
    \coordinate (Np) at (2,-1);
    \coordinate (Ka) at (5,-1);
    \coordinate (La) at (3,-2);
    \coordinate (Ma) at (2,0);
    \coordinate (Na) at (4,1);

    \fill[blue!12] (K) -- (L) -- (M) -- (N) -- cycle;
    \fill[green!12] (Kp) -- (Lp) -- (Mp) -- (Np) -- cycle;
    \fill[orange!18] (Ka) -- (La) -- (Ma) -- (Na) -- cycle;
    \draw[thick] (K) -- (L) -- (M) -- (N) -- cycle;
    \draw[thick] (Kp) -- (Lp) -- (Mp) -- (Np) -- cycle;
    \draw[thick] (Ka) -- (La) -- (Ma) -- (Na) -- cycle;

    \fill (K) circle (2pt) node[above left] {$K$};
    \fill (L) circle (2pt) node[above] {$L$};
    \fill (M) circle (2pt) node[below right] {$M$};
    \fill (N) circle (2pt) node[below left] {$N$};
    \fill (Kp) circle (2pt) node[above left] {$K'$};
    \fill (Lp) circle (2pt) node[above] {$L'$};
    \fill (Mp) circle (2pt) node[below right] {$M'$};
    \fill (Np) circle (2pt) node[below left] {$N'$};
    \fill (Ka) circle (2pt) node[below right] {$K_a$};
    \fill (La) circle (2pt) node[below] {$L_a$};
    \fill (Ma) circle (2pt) node[above left] {$M_a$};
    \fill (Na) circle (2pt) node[above right] {$N_a$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner les coordonnées des sommets $K$, $L$, $M$ et $N$.
    \item Le quadrilatère $K'L'M'N'$ est l'image de $KLMN$ par une translation. Décrire le déplacement effectué.
    \item Expliquer quelle symétrie centrale permet de passer de $K'L'M'N'$ à $K_aL_aM_aN_a$.
    \item Calculer l'aire du quadrilatère $KLMN$ en le découpant en deux triangles.
    \item La symétrie centrale conserve-t-elle les longueurs et l'orientation de la figure ? Justifier à partir de la figure.
\end{enumerate}

\vfill

\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $A(-4;1)$, $B(-1;1)$, $C(-2;3)$ et $D(2;-1)$.
    \item La translation qui transforme $O$ en $D$ déplace chaque point de 2 carreaux vers la droite et de 1 carreau vers le bas.
    \item On obtient donc : $A'(-2;0)$, $B'(1;0)$ et $C'(0;2)$.
    \item Oui. Une translation conserve les longueurs, les angles et donc les aires.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Pour passer de $T_1$ à $T_3$, on effectue une symétrie centrale de centre $O$, c'est-à-dire un demi-tour autour de $O$.
    \item Pour passer de $T_1$ à $T_2$, on effectue une rotation de centre $O$, d'angle $90^\circ$, dans le sens anti-horaire.
    \item Oui. $T_4$ est l'image de $T_1$ par la symétrie axiale d'axe la droite d'équation $y=-x$.
    \item Par cette rotation, $E(2;0)$ devient $E'(0;2)$ et $F(0;1)$ devient $F'(-1;0)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $MN=\sqrt{(1-(-3))^2+(4-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$.
    
    $NP=\sqrt{(3-1)^2+(0-4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$.
    
    $MP=\sqrt{(3-(-3))^2+(0-2)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$.
    \item La symétrie centrale de centre $I$ place $I$ au milieu de $[MM']$, de $[NN']$ et de $[PP']$.
    \item $M'(3;0)$, $N'(-1;-2)$ et $P'(-3;2)$.
    \item Les deux triangles sont superposables car une symétrie centrale conserve les longueurs et les angles.
    \item L'image de $N(1;4)$ par l'homothétie de centre $I(0;1)$ et de rapport $2$ est le point $N_1(2;7)$. Les longueurs sont multipliées par $2$, donc l'aire est multipliée par $2^2=4$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $K(-5;1)$, $L(-3;2)$, $M(-2;0)$ et $N(-4;-1)$.
    \item Pour obtenir $K'L'M'N'$, on déplace $KLMN$ de 6 carreaux vers la droite, sans monter ni descendre.
    \item On passe de $K'L'M'N'$ à $K_aL_aM_aN_a$ par la symétrie centrale de centre $(3;0)$.
    \item En découpant selon la diagonale $KM$, on obtient deux triangles de même aire. Par exemple, l'aire de $KLM$ vaut $\dfrac{5}{2}$ et celle de $KMN$ vaut $\dfrac{5}{2}$. L'aire du quadrilatère $KLMN$ est donc $5$ unités d'aire.
    \item Oui. La symétrie centrale conserve les longueurs et l'orientation : sur la figure, $K'L'M'N'$ et $K_aL_aM_aN_a$ ont les mêmes dimensions et le même ordre de parcours des sommets.
\end{enumerate}

\end{document}
