\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

% Numérotation CALQUÉE sur le HTML des leçons : I / A / 1 / a (façon de planifier
% de l'utilisateur) — indispensable pour retrouver le même plan sur PDF et en ligne.
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\Alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}
\renewcommand{\theparagraph}{\alph{paragraph}}
\setcounter{secnumdepth}{4}   % numérote aussi le 4e niveau (\paragraph → a, b, c)
\makeatletter
\renewcommand{\@seccntformat}[1]{\csname the#1\endcsname.\hspace{0.6em}}
% \paragraph = vrai titre de niveau 4 (sur sa ligne, gras), pas run-in
\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{\z@}%
  {1.4ex \@plus 1ex \@minus .2ex}{0.5ex \@plus .2ex}%
  {\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\usepackage{colortbl}   % \rowcolor / \arrayrulecolor pour tableaux stylés (fiches mémo…)
\usepackage{needspace}  % \needspace{...} : garder un bloc (déf + figure) sur une même page
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,breakable}
\tcbset{lecbox/.style={
    enhanced, breakable, boxrule=0pt, leftrule=4pt, arc=2pt,
    left=10pt, right=8pt, top=6pt, bottom=6pt,
    fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
}}
\newtcolorbox{definition}{lecbox, colback=blue!6, colframe=blue!55!black,
    title={Définition}}
\newtcolorbox{propriete}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Propriété}}
\newtcolorbox{theoreme}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Théorème}}
\newtcolorbox{exemple}{lecbox, colback=green!6, colframe=green!55!black,
    title={Exemple}}
\newtcolorbox{remarque}{lecbox, colback=gray!8, colframe=gray!60!black,
    title={Remarque}}
% Application : reformulation « sur la figure », sans titre, en gris.
\newtcolorbox{application}{enhanced, boxrule=0pt, colback=gray!5,
    borderline west={2pt}{0pt}{gray!50}, left=10pt, right=8pt, top=4pt,
    bottom=4pt, arc=1pt, coltext=black!75}
% Symboles maths courants écrits en UNICODE dans le corps (→ copiables en HTML,
% pandoc les passe tels quels) et rendus en PDF via newunicodechar. Évite le
% mode math $...$ qui casse le copier-coller (MathJax non copiable).
\usepackage{newunicodechar}
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\notin}}
\newunicodechar{⊥}{\ensuremath{\perp}}
\newunicodechar{≈}{\ensuremath{\approx}}
\newunicodechar{×}{\ensuremath{\times}}
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leqslant}}
\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geqslant}}
\newunicodechar{°}{\ifmmode{^\circ}\else\textdegree\fi}
\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}}
\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}}
\newunicodechar{÷}{\ensuremath{\div}}
\newunicodechar{−}{\ensuremath{-}}
% numeration : tableau de numération centré. En PDF, simple \begin{center} ;
% en HTML, pandoc émet <div class="numeration"> stylé par css2026/lecon.css
% (couleurs des cellules, perdues sinon car pandoc ignore \cellcolor).
\newenvironment{numeration}{\begin{center}}{\end{center}}
% pose : opération posée (addition/multiplication). En PDF, tabular en
% \ttfamily centré ; en HTML pandoc émet <div class="pose"> (monospace +
% colonnes alignées via css2026/lecon.css). Chiffres copiables.
\newenvironment{pose}{\begin{center}\ttfamily}{\end{center}}
% calcul : un calcul isolé, centré, seul sur sa ligne (jamais coupé en plein
% milieu). En PDF \begin{center}\large ; en HTML pandoc émet <div class="calcul">
% (centré, sans retour ligne interne) via css2026/lecon.css.
\newenvironment{calcul}{\begin{center}\large}{\par\end{center}}

\newcommand{\titre}{Arithmétique}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 — Troisième · Nombres et calculs}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/arithmetique.php}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} LEC3ARIT}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

% Corps maître « Arithmétique » (3e). Programme actuel 2020 (DNB).
% Transcription FIDÈLE et COMPLÈTE du HTML (I à VII). Exposants $x^{n}$ → <sup>,
% fractions \dfrac → .frac-inline (copiables). Un calcul par ligne.

\section{Rappels : les ensembles de nombres}

\begin{itemize}
  \item Les \textbf{entiers naturels} : ceux que l'on compte ($0\,;\ 1\,;\ 2\,;\ \ldots$).
  \item Les \textbf{entiers relatifs} : les entiers naturels et leurs opposés.
  \item Les \textbf{nombres rationnels} : les quotients de deux entiers relatifs
        ($\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ ; $-\dfrac{2}{3} = -0{,}6666\ldots$).
  \item Les \textbf{nombres irrationnels} : ceux qui ne sont pas rationnels
        ($\pi$ ; $\sqrt{2}$).
\end{itemize}

\section{Multiples et division euclidienne}

\subsection{Encadrer un entier par deux multiples consécutifs}

Encadrer 413 par deux multiples consécutifs de 21 :
\begin{calcul}$413 = 21 \times 19 + 14$\end{calcul}
\begin{calcul}$399 \leq 413 < 420$\end{calcul}

\subsection{Le plus grand multiple inférieur à un nombre}

Le plus grand multiple de 27 inférieur à 112 :
\begin{calcul}$112 = 27 \times 4 + 4$\end{calcul}
\begin{calcul}$27 \times 4 = 108$\end{calcul}

\subsection{Le plus petit multiple supérieur à un nombre}

Le plus petit multiple de 8 supérieur à 387 :
\begin{calcul}$387 = 8 \times 48 + 3$\end{calcul}
\begin{calcul}$8 \times (48 + 1) = 8 \times 49 = 392$\end{calcul}

\section{Nombres premiers}

\subsection{Définition}

\begin{definition}
Un \textbf{nombre premier} est un entier naturel qui possède exactement
\textbf{deux diviseurs distincts} : 1 et lui-même.
\end{definition}

Les premiers d'entre eux : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … (1 n'est
pas premier).

\subsection{Décomposer en facteurs premiers}

On divise successivement 1350 par des facteurs premiers :

\begin{center}
\begin{tabular}{r|l}
1350 & 2 \\ \hline 675 & 3 \\ \hline 225 & 3 \\ \hline
75 & 3 \\ \hline 25 & 5 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline 1 & \\
\end{tabular}
\end{center}

\begin{calcul}$1350 = 2 \times 3^{3} \times 5^{2}$\end{calcul}

\section{Diviseurs et PGCD}

\subsection{Diviseur}

\begin{definition}
$k$ (non nul) est un \textbf{diviseur} de $a$ lorsque le reste de la division
euclidienne de $a$ par $k$ est \textbf{zéro} ; on dit aussi que $a$ est un
\textbf{multiple} de $k$.
\end{definition}

\subsection{Lister les diviseurs}

À partir de la décomposition $260 = 2^{2} \times 5 \times 13$, on combine les
facteurs :
\begin{calcul}$260 : \{1\,;2\,;4\,;5\,;10\,;13\,;20\,;26\,;52\,;65\,;130\,;260\}$\end{calcul}

\begin{remarque}
En multipliant les diviseurs « par paires » (le premier avec le dernier…) on
retrouve 260 : $1 \times 260 = 2 \times 130 = 4 \times 65 = 260$. Cela fait
gagner du temps pour écrire la liste.
\end{remarque}

\subsection{Diviseur commun}

\begin{definition}
Si deux entiers $a$ et $b$ sont divisibles par un même entier $k$, alors $k$ est
un \textbf{diviseur commun} de $a$ et $b$ (1 est diviseur commun à tous).
\end{definition}

\subsection{Le PGCD}

\begin{definition}
Le \textbf{PGCD}$(a\,;b)$ est le plus grand des diviseurs positifs communs à $a$
et $b$.
\end{definition}

Diviseurs de 24 : $\{1;2;3;4;6;8;12;24\}$ ; de 36 : $\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\}$.
Communs : $\{1;2;3;4;6;12\}$, donc :
\begin{calcul}$\text{PGCD}(24\,;36) = 12$\end{calcul}

\section{Algorithmes de recherche du PGCD}

\subsection{Algorithme des différences}

On soustrait les deux nombres, on garde les deux plus petits et on recommence
jusqu'à obtenir deux nombres égaux. PGCD$(150\,;40)$ :
\begin{calcul}$150 - 40 = 110$\end{calcul}
\begin{calcul}$110 - 40 = 70$\end{calcul}
\begin{calcul}$70 - 40 = 30$\end{calcul}
\begin{calcul}$40 - 30 = 10$\end{calcul}
\begin{calcul}$30 - 10 = 20$\end{calcul}
\begin{calcul}$20 - 10 = 10$\end{calcul}
\begin{calcul}$\text{PGCD}(150\,;40) = 10$\end{calcul}

\subsection{Algorithme d'Euclide}

\begin{propriete}
On divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu'à
un reste nul. Le \textbf{dernier reste non nul} est le PGCD.
\end{propriete}

PGCD$(252\,;360)$ :
\begin{calcul}$360 = 252 \times 1 + 108$\end{calcul}
\begin{calcul}$252 = 108 \times 2 + 36$\end{calcul}
\begin{calcul}$108 = 36 \times 3 + 0$\end{calcul}
\begin{calcul}$\text{PGCD}(252\,;360) = 36$\end{calcul}

\section{PPCM}

\subsection{Définition}

\begin{definition}
Le \textbf{PPCM} de deux nombres est le plus petit entier naturel qui est un
multiple commun aux deux. Il sert notamment à trouver un dénominateur commun.
\end{definition}

\subsection{Exemple}

Multiples de 4 : $4, 8, 12, 16, \ldots$ ; de 6 : $6, 12, 18, \ldots$. Le plus
petit multiple commun est 12 :
\begin{calcul}$\text{PPCM}(4\,;6) = 12$\end{calcul}

\subsection{Avec la décomposition}

$4 = 2^{2}$ et $6 = 2 \times 3$ : un multiple commun contient au minimum
$2^{2} \times 3$, d'où PPCM$(4\,;6) = 12$.

\subsection{Exercice type Brevet}

Deux ampoules s'allument toutes les 9 min 48 s (588 s) et toutes les 5 min 48 s
(348 s). Elles s'allument ensemble à minuit ; quand de nouveau ?
\begin{calcul}$588 = 2^{2} \times 3 \times 7^{2}$\end{calcul}
\begin{calcul}$348 = 2^{2} \times 3 \times 29$\end{calcul}
\begin{calcul}$\text{PPCM} = 2^{2} \times 3 \times 7^{2} \times 29 = 17\,052 \text{ s}$\end{calcul}
Or $17\,052 = 4 \times 3600 + 44 \times 60 + 12$ : elles se rallument ensemble à
\textbf{4 h 44 min 12 s}.

\section{Nombres premiers entre eux, fractions irréductibles}

\subsection{Nombres premiers entre eux}

\begin{definition}
Deux nombres sont \textbf{premiers entre eux} lorsque leur PGCD est égal à 1.
Par exemple 10 et 7 (diviseurs de 10 : $\{1;2;5;10\}$, de 7 : $\{1;7\}$).
\end{definition}

\subsection{Fraction irréductible}

Une fraction est \textbf{irréductible} lorsque son numérateur et son dénominateur
sont premiers entre eux. On y parvient en divisant par leur PGCD :
\begin{calcul}$\dfrac{156}{260} = \dfrac{156 \div 52}{260 \div 52} = \dfrac{3}{5}$\end{calcul}

\end{document}
