\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

% Numérotation CALQUÉE sur le HTML des leçons : I / A / 1 / a (façon de planifier
% de l'utilisateur) — indispensable pour retrouver le même plan sur PDF et en ligne.
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\Alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}
\renewcommand{\theparagraph}{\alph{paragraph}}
\setcounter{secnumdepth}{4}   % numérote aussi le 4e niveau (\paragraph → a, b, c)
\makeatletter
\renewcommand{\@seccntformat}[1]{\csname the#1\endcsname.\hspace{0.6em}}
% \paragraph = vrai titre de niveau 4 (sur sa ligne, gras), pas run-in
\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{\z@}%
  {1.4ex \@plus 1ex \@minus .2ex}{0.5ex \@plus .2ex}%
  {\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\usepackage{colortbl}   % \rowcolor / \arrayrulecolor pour tableaux stylés (fiches mémo…)
\usepackage{needspace}  % \needspace{...} : garder un bloc (déf + figure) sur une même page
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,breakable}
\tcbset{lecbox/.style={
    enhanced, breakable, boxrule=0pt, leftrule=4pt, arc=2pt,
    left=10pt, right=8pt, top=6pt, bottom=6pt,
    fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
}}
\newtcolorbox{definition}{lecbox, colback=blue!6, colframe=blue!55!black,
    title={Définition}}
\newtcolorbox{propriete}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Propriété}}
\newtcolorbox{theoreme}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Théorème}}
\newtcolorbox{exemple}{lecbox, colback=green!6, colframe=green!55!black,
    title={Exemple}}
\newtcolorbox{remarque}{lecbox, colback=gray!8, colframe=gray!60!black,
    title={Remarque}}
% Application : reformulation « sur la figure », sans titre, en gris.
\newtcolorbox{application}{enhanced, boxrule=0pt, colback=gray!5,
    borderline west={2pt}{0pt}{gray!50}, left=10pt, right=8pt, top=4pt,
    bottom=4pt, arc=1pt, coltext=black!75}
% Symboles maths courants écrits en UNICODE dans le corps (→ copiables en HTML,
% pandoc les passe tels quels) et rendus en PDF via newunicodechar. Évite le
% mode math $...$ qui casse le copier-coller (MathJax non copiable).
\usepackage{newunicodechar}
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\notin}}
\newunicodechar{⊥}{\ensuremath{\perp}}
\newunicodechar{≈}{\ensuremath{\approx}}
\newunicodechar{×}{\ensuremath{\times}}
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leqslant}}
\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geqslant}}
\newunicodechar{°}{\ifmmode{^\circ}\else\textdegree\fi}
\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}}
\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}}
\newunicodechar{÷}{\ensuremath{\div}}
\newunicodechar{−}{\ensuremath{-}}
% numeration : tableau de numération centré. En PDF, simple \begin{center} ;
% en HTML, pandoc émet <div class="numeration"> stylé par css2026/lecon.css
% (couleurs des cellules, perdues sinon car pandoc ignore \cellcolor).
\newenvironment{numeration}{\begin{center}}{\end{center}}
% pose : opération posée (addition/multiplication). En PDF, tabular en
% \ttfamily centré ; en HTML pandoc émet <div class="pose"> (monospace +
% colonnes alignées via css2026/lecon.css). Chiffres copiables.
\newenvironment{pose}{\begin{center}\ttfamily}{\end{center}}
% calcul : un calcul isolé, centré, seul sur sa ligne (jamais coupé en plein
% milieu). En PDF \begin{center}\large ; en HTML pandoc émet <div class="calcul">
% (centré, sans retour ligne interne) via css2026/lecon.css.
\newenvironment{calcul}{\begin{center}\large}{\par\end{center}}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{patterns}
\newcommand{\titre}{Équations, inéquations, problèmes}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 — Troisième · Nombres et calculs}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/equations_inequations.php}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} LEC3EQUA}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

% Corps maître « Équations, inéquations, problèmes » (3e). Prog. 2020 (DNB).
% Transcription FIDÈLE du HTML (I à III). 2 figures TikZ (droites graduées).
% Inconnue en $x$, fractions \dfrac, symboles < > \leqslant \geqslant.

\section{Équations}

\subsection{Définitions}

\subsubsection{Égalités}

\begin{definition}
On appelle \textbf{égalité} une expression algébrique contenant le signe « = ».
\end{definition}
Dans $5 + 3 = 8$, $5 + 3$ est le premier membre et 8 le second.

\subsubsection{Équations}

\begin{definition}
On appelle \textbf{équation} une égalité dans laquelle au moins une lettre
symbolise une valeur inconnue.
\end{definition}
$3 + 2x = 7$ est une équation du premier degré à une inconnue.

\subsection{Équations et additions}

\begin{propriete}
Une égalité ne change pas si on ajoute (ou soustrait) un même nombre à ses deux
membres.
\end{propriete}

\textbf{Exemple.}
\begin{calcul}$3 + 2x = 7$\end{calcul}
\begin{calcul}$3 + 2x - 3 = 7 - 3$\end{calcul}
\begin{calcul}$2x = 4$\end{calcul}
En ajoutant $-3$ aux deux membres, on isole le terme « en $x$ ». Autre façon de
voir : la \textbf{transposition} — on écrit de l'autre côté du signe « = »
l'opposé du terme :
\begin{calcul}$2x = 7 - 3 = 4$\end{calcul}

\subsection{Équations et multiplications}

\begin{propriete}
Une égalité ne change pas si on multiplie (ou divise) ses deux membres par un même
nombre non nul.
\end{propriete}

\textbf{Exemple.}
\begin{calcul}$2x = 4$\end{calcul}
\begin{calcul}$\dfrac{2x}{2} = \dfrac{4}{2}$\end{calcul}
\begin{calcul}$x = 2$\end{calcul}
2 est la \textbf{solution} de cette équation. Autre façon : on divise par le
coefficient de $x$ (ici 2).

\subsection{Équations de type produit nul}

\begin{propriete}
Si un produit est nul, alors l'un (au moins) de ses facteurs est nul.
Réciproquement, si l'un des facteurs est nul, le produit est nul.
\end{propriete}

\begin{application}
Résoudre l'équation $(2x + 6)(5x - 5) = 0$.
\end{application}

\textbf{Correction.} Si un produit est nul, l'un de ses facteurs est nul, donc :
\begin{calcul}$2x + 6 = 0 \quad\text{ou}\quad 5x - 5 = 0$\end{calcul}
\begin{calcul}$2x = -6 \quad\text{ou}\quad 5x = 5$\end{calcul}
\begin{calcul}$x = \dfrac{-6}{2} = -3 \quad\text{ou}\quad x = \dfrac{5}{5} = 1$\end{calcul}
Cette équation admet deux solutions : $x = -3$ et $x = 1$. On pense à vérifier en
substituant !

\section{Inéquations}

\subsection{Définitions}

\subsubsection{Les 4 symboles}

\begin{definition}
\begin{itemize}
  \item $a < b$ : $a$ est strictement inférieur à $b$ ;
  \item $a \leqslant b$ : $a$ est inférieur ou égal à $b$ ;
  \item $a > b$ : $a$ est strictement supérieur à $b$ ;
  \item $a \geqslant b$ : $a$ est supérieur ou égal à $b$.
\end{itemize}
\end{definition}

\subsubsection{Inégalités}

\begin{definition}
On appelle \textbf{inégalité} une expression contenant l'un des symboles
précédents. Ainsi $12{,}5 \geqslant 10$ est une inégalité.
\end{definition}

\subsubsection{Inéquations}

\begin{definition}
On appelle \textbf{inéquation} une inégalité dans laquelle au moins une lettre
symbolise une valeur inconnue. Ainsi $3 + 2x > 7$ est une inéquation.
\end{definition}

\subsection{Inéquations et additions}

\begin{propriete}
Une inégalité ne change pas si on ajoute (ou soustrait) un même nombre à ses deux
membres.
\end{propriete}

\textbf{Exemple.}
\begin{calcul}$3 + 2x > 7$\end{calcul}
\begin{calcul}$3 + 2x - 3 > 7 - 3$\end{calcul}
\begin{calcul}$2x > 4$\end{calcul}

\subsection{Inéquations et multiplications}

\begin{propriete}
\textbf{Attention} quand on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité
par un même nombre non nul :
\begin{itemize}
  \item si ce nombre est \textbf{positif}, le sens de l'inégalité ne change pas ;
  \item si ce nombre est \textbf{négatif}, le sens de l'inégalité est
        \textbf{inversé}.
\end{itemize}
\end{propriete}

\textbf{Exemple.}
\begin{calcul}$2x > 4$\end{calcul}
\begin{calcul}$\dfrac{2x}{2} > \dfrac{4}{2}$\end{calcul}
\begin{calcul}$x > 2$\end{calcul}

\begin{center}
{\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.75\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  % Solution : x > 2. Zone NON solution (x <= 2) hachurée, 2 exclu (crochet ]).
  \fill[pattern=north east lines] (-2.2,-0.28) rectangle (2,0.28);
  \draw[->] (-2.6,0) -- (7,0);
  \foreach \x/\lab in {0/0,2/2}{\draw (\x,0.1)--(\x,-0.1); \node[above=3pt] at (\x,0.28){\lab};}
  % Crochet ] en 2 (ouvre vers la gauche : 2 rattaché à la zone hachurée).
  \draw[very thick] (2,0.28)--(2,-0.28) (2,0.28)--(1.72,0.28) (2,-0.28)--(1.72,-0.28);
  \node[above right] at (3.3,0) {Solutions};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}
On a hachuré la zone des nombres qui ne sont pas solutions. 2 n'est pas solution :
on l'a associé (crochet « ] ») à la zone hachurée.

\textbf{Autre exemple.}
\begin{calcul}$6 - 3x \leqslant 3$\end{calcul}
\begin{calcul}$-3x \leqslant 3 - 6$\end{calcul}
\begin{calcul}$-3x \leqslant -3$\end{calcul}
On divise par $-3$, coefficient de $x$, qui est négatif : on change le sens de
l'inégalité.
\begin{calcul}$x \geqslant \dfrac{-3}{-3} = 1$\end{calcul}

\begin{center}
{\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.75\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  % Solution : x >= 1. Zone NON solution (x < 1) hachurée, 1 inclus (crochet [).
  \fill[pattern=north east lines] (-2.2,-0.28) rectangle (1,0.28);
  \draw[->] (-2.6,0) -- (7,0);
  \foreach \x/\lab in {0/0,1/1}{\draw (\x,0.1)--(\x,-0.1); \node[above=3pt] at (\x,0.28){\lab};}
  % Crochet [ en 1 (ouvre vers la droite : 1 rattaché aux solutions).
  \draw[very thick] (1,0.28)--(1,-0.28) (1,0.28)--(1.28,0.28) (1,-0.28)--(1.28,-0.28);
  \node[above right] at (3.3,0) {Solutions};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}
1 est solution : on l'a associé (crochet « [ ») à la zone non hachurée.

\section{Problèmes}

\subsection{Méthode}

\begin{propriete}
De nombreux problèmes se traitent par des méthodes algébriques (équations ou
inéquations). Il faut faire apparaître clairement les étapes :
\begin{enumerate}
  \item le choix de la (ou des) inconnue(s) ;
  \item la mise en équation(s) ou en inéquation(s) ;
  \item la résolution ;
  \item la conclusion (interprétation du résultat) ;
  \item la vérification (recommandée).
\end{enumerate}
\end{propriete}

\subsection{Problème type brevet}

\begin{application}
Un élève achète 4 stylos identiques et un cahier qui coûte 3 €. Il paie 15 € en
tout. On note $x$ le prix d'un stylo en euros.
\begin{enumerate}
  \item Exprimer le prix total en fonction de $x$.
  \item Écrire une équation traduisant la situation.
  \item Résoudre cette équation.
  \item Donner une phrase réponse : quel est le prix d'un stylo ?
  \item Vérifier le résultat.
\end{enumerate}
\end{application}

\textbf{Correction.}

\textbf{1.} Le prix total est $4x + 3$.

\textbf{2.} La situation se traduit par :
\begin{calcul}$4x + 3 = 15$\end{calcul}

\textbf{3.}
\begin{calcul}$4x = 15 - 3$\end{calcul}
\begin{calcul}$4x = 12$\end{calcul}
\begin{calcul}$x = \dfrac{12}{4} = 3$\end{calcul}

\textbf{4.} Le prix d'un stylo est donc 3 euros.

\textbf{5.} Vérification :
\begin{calcul}$4 \times 3 = 12 \quad\text{puis}\quad 12 + 3 = 15$\end{calcul}
Le total est bien celui attendu.

\end{document}
