\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

% Numérotation CALQUÉE sur le HTML des leçons : I / A / 1 / a (façon de planifier
% de l'utilisateur) — indispensable pour retrouver le même plan sur PDF et en ligne.
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\Alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}
\renewcommand{\theparagraph}{\alph{paragraph}}
\setcounter{secnumdepth}{4}   % numérote aussi le 4e niveau (\paragraph → a, b, c)
\makeatletter
\renewcommand{\@seccntformat}[1]{\csname the#1\endcsname.\hspace{0.6em}}
% \paragraph = vrai titre de niveau 4 (sur sa ligne, gras), pas run-in
\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{\z@}%
  {1.4ex \@plus 1ex \@minus .2ex}{0.5ex \@plus .2ex}%
  {\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\usepackage{colortbl}   % \rowcolor / \arrayrulecolor pour tableaux stylés (fiches mémo…)
\usepackage{needspace}  % \needspace{...} : garder un bloc (déf + figure) sur une même page
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,breakable}
\tcbset{lecbox/.style={
    enhanced, breakable, boxrule=0pt, leftrule=4pt, arc=2pt,
    left=10pt, right=8pt, top=6pt, bottom=6pt,
    fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
}}
\newtcolorbox{definition}{lecbox, colback=blue!6, colframe=blue!55!black,
    title={Définition}}
\newtcolorbox{propriete}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
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\newtcolorbox{theoreme}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Théorème}}
\newtcolorbox{exemple}{lecbox, colback=green!6, colframe=green!55!black,
    title={Exemple}}
\newtcolorbox{remarque}{lecbox, colback=gray!8, colframe=gray!60!black,
    title={Remarque}}
% Application : reformulation « sur la figure », sans titre, en gris.
\newtcolorbox{application}{enhanced, boxrule=0pt, colback=gray!5,
    borderline west={2pt}{0pt}{gray!50}, left=10pt, right=8pt, top=4pt,
    bottom=4pt, arc=1pt, coltext=black!75}
% Symboles maths courants écrits en UNICODE dans le corps (→ copiables en HTML,
% pandoc les passe tels quels) et rendus en PDF via newunicodechar. Évite le
% mode math $...$ qui casse le copier-coller (MathJax non copiable).
\usepackage{newunicodechar}
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\notin}}
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\newunicodechar{≈}{\ensuremath{\approx}}
\newunicodechar{×}{\ensuremath{\times}}
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
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\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geqslant}}
\newunicodechar{°}{\ifmmode{^\circ}\else\textdegree\fi}
\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}}
\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}}
\newunicodechar{÷}{\ensuremath{\div}}
\newunicodechar{−}{\ensuremath{-}}
% numeration : tableau de numération centré. En PDF, simple \begin{center} ;
% en HTML, pandoc émet <div class="numeration"> stylé par css2026/lecon.css
% (couleurs des cellules, perdues sinon car pandoc ignore \cellcolor).
\newenvironment{numeration}{\begin{center}}{\end{center}}
% pose : opération posée (addition/multiplication). En PDF, tabular en
% \ttfamily centré ; en HTML pandoc émet <div class="pose"> (monospace +
% colonnes alignées via css2026/lecon.css). Chiffres copiables.
\newenvironment{pose}{\begin{center}\ttfamily}{\end{center}}
% calcul : un calcul isolé, centré, seul sur sa ligne (jamais coupé en plein
% milieu). En PDF \begin{center}\large ; en HTML pandoc émet <div class="calcul">
% (centré, sans retour ligne interne) via css2026/lecon.css.
\newenvironment{calcul}{\begin{center}\large}{\par\end{center}}

\newcommand{\titre}{Équations de A à Z — exemples commentés}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 — Troisième · Nombres et calculs}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/equations.php}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} LEC3EQAZ}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

% Corps maître « Équations de A à Z — exemples commentés » (3e). Prog. 2020 (DNB).
% Transcription FIDÈLE du HTML index2.html : avant-propos, 17 énoncés, 17 corrections.
% Inconnue $x$, fractions \dfrac, ensembles S=\{...\}, sans figure.

\section{Avant-propos}

Cette fiche rassemble \textbf{17 exemples commentés} d'équations. Il est
recommandé de relire d'abord la leçon « Équations et inéquations ». On rappelle
les propriétés utilisées :

\begin{propriete}
\textbf{P1.} Une égalité ne change pas quand on ajoute (ou soustrait) un même
nombre à ses deux membres.\\
\textbf{P2.} Une égalité ne change pas quand on multiplie (ou divise) ses deux
membres par un même nombre non nul.\\
\textbf{P3.} Si un produit est nul, alors l'un (au moins) de ses facteurs est
nul.\\
\textbf{P4.} Si l'un des facteurs d'un produit est nul, alors ce produit est nul.
\end{propriete}

\section{Énoncés : résoudre}

\begin{center}
\begin{tabular}{llll}
\textbf{1.} $x + 7 = 100$ & \textbf{2.} $x \times 4 = 100$ &
\textbf{3.} $2x + 5 = 21$ & \textbf{4.} $3(x + 2) = 300$ \\[2pt]
\textbf{5.} $4x + 7 = 3x - 3$ & \textbf{6.} $3x + 5 = -11x + 8$ &
\textbf{7.} $\dfrac{3}{x} = \dfrac{2}{5}$ & \textbf{8.} $\dfrac{x}{11} = \dfrac{5}{32}$ \\[8pt]
\textbf{9.} $3x = \dfrac{2}{3}x + 5$ & \textbf{10.} $-8x = 0$ &
\textbf{11.} $x^{2} = 25$ & \textbf{12.} $4x^{2} = 9$ \\[8pt]
\textbf{13.} $(3x-1)(2x+5) = 0$ & \textbf{14.} $7(3x-1)x = 0$ &
\textbf{15.} $(2x-3)^{2} = (5x+1)^{2}$ & \textbf{16.} $x + 2 = x + 5$ \\[2pt]
\textbf{17.} $2x + 4 = 2(x+2)$ & & & \\
\end{tabular}
\end{center}

\section{Corrections}

\subsection*{1. \quad $x + 7 = 100$}
L'inconnue est dans une somme, d'un seul côté. Par \textbf{P1}, on enlève 7 aux
deux membres (transposition de $+7$) :
\begin{calcul}$x = 100 - 7 = 93$\end{calcul}
$S = \{93\}$. Vérification : $93 + 7 = 100$.

\subsection*{2. \quad $x \times 4 = 100$}
L'inconnue est dans un produit. Par \textbf{P2}, on divise par le coefficient de
$x$ (4) :
\begin{calcul}$x = \dfrac{100}{4} = 25$\end{calcul}
$S = \{25\}$. Vérification : $25 \times 4 = 100$.

\subsection*{3. \quad $2x + 5 = 21$}
On isole le terme en $x$ (transposition de 5), puis on divise par 2 :
\begin{calcul}$2x = 21 - 5 = 16$\end{calcul}
\begin{calcul}$x = \dfrac{16}{2} = 8$\end{calcul}
$S = \{8\}$. Vérification : $2 \times 8 + 5 = 16 + 5 = 21$.

\subsection*{4. \quad $3(x + 2) = 300$}
300 étant multiple de 3, le plus rapide est de diviser d'abord les deux membres
par 3 (\textbf{P2}), puis de transposer 2 :
\begin{calcul}$x + 2 = 100$\end{calcul}
\begin{calcul}$x = 100 - 2 = 98$\end{calcul}
$S = \{98\}$. Vérification : $3 \times (98 + 2) = 3 \times 100 = 300$.

\subsection*{5. \quad $4x + 7 = 3x - 3$}
Type le plus classique ($ax + b$ dans chaque membre). Double transposition pour
regrouper les $x$ à gauche :
\begin{calcul}$4x - 3x = -3 - 7$\end{calcul}
\begin{calcul}$x = -10$\end{calcul}
$S = \{-10\}$. Vérification : $4 \times (-10) + 7 = -33$ et
$3 \times (-10) - 3 = -33$.

\subsection*{6. \quad $3x + 5 = -11x + 8$}
Même méthode :
\begin{calcul}$3x + 11x = 8 - 5$\end{calcul}
\begin{calcul}$14x = 3$\end{calcul}
\begin{calcul}$x = \dfrac{3}{14}$\end{calcul}
$S = \left\{\dfrac{3}{14}\right\}$. Vérification : les deux membres valent
$\dfrac{79}{14}$.

\subsection*{7. \quad $\dfrac{3}{x} = \dfrac{2}{5}$}
Égalité de fractions (fréquente avec Thalès ou la trigonométrie). On divise le
produit de la diagonale sans inconnue par le nombre restant :
\begin{calcul}$x = \dfrac{3 \times 5}{2} = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$\end{calcul}
$S = \{7{,}5\}$. Vérification (produits en croix) : $3 \times 5 = 15$ et
$2 \times \dfrac{15}{2} = 15$.

\subsection*{8. \quad $\dfrac{x}{11} = \dfrac{5}{32}$}
Même méthode :
\begin{calcul}$x = \dfrac{5 \times 11}{32} = \dfrac{55}{32} \approx 1{,}7$\end{calcul}
$S = \left\{\dfrac{55}{32}\right\}$ (on ne met que la valeur exacte entre
accolades). Vérification par les produits en croix (55).

\subsection*{9. \quad $3x = \dfrac{2}{3}x + 5$}
On transpose $\dfrac{2}{3}x$, puis on met au même dénominateur :
\begin{calcul}$3x - \dfrac{2}{3}x = 5$\end{calcul}
\begin{calcul}$\dfrac{9}{3}x - \dfrac{2}{3}x = \dfrac{7}{3}x = 5$\end{calcul}
On multiplie par l'inverse de $\dfrac{7}{3}$ :
\begin{calcul}$x = 5 \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{7} \approx 2{,}1$\end{calcul}
$S = \left\{\dfrac{15}{7}\right\}$. Vérification : les deux membres valent
$\dfrac{45}{7}$.

\subsection*{10. \quad $-8x = 0$}
On divise par le coefficient non nul $-8$ (\textbf{P2}), ou on applique
\textbf{P3} directement :
\begin{calcul}$x = 0$\end{calcul}
$S = \{0\}$.

\subsection*{11. \quad $x^{2} = 25$}
Première équation du \textbf{second degré}. On fait apparaître une différence de
deux carrés, puis on factorise avec $a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)$ :
\begin{calcul}$x^{2} - 25 = 0$\end{calcul}
\begin{calcul}$(x - 5)(x + 5) = 0$\end{calcul}
Par \textbf{P3} : $x - 5 = 0$ ou $x + 5 = 0$, d'où $x = 5$ ou $x = -5$.
$S = \{-5\,;\,5\}$. Vérification : $(\pm 5)^{2} = 25$.

\subsection*{12. \quad $4x^{2} = 9$}
Différence de deux carrés :
\begin{calcul}$4x^{2} - 9 = 0$\end{calcul}
\begin{calcul}$(2x - 3)(2x + 3) = 0$\end{calcul}
Par \textbf{P3} : $2x = 3$ ou $2x = -3$, d'où $x = \dfrac{3}{2}$ ou
$x = -\dfrac{3}{2}$.
$S = \left\{-\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{3}{2}\right\}$. Vérification :
$4 \times \left(\pm\dfrac{3}{2}\right)^{2} = 4 \times \dfrac{9}{4} = 9$.

\subsection*{13. \quad $(3x - 1)(2x + 5) = 0$}
Produit déjà factorisé. Par \textbf{P3} : $3x - 1 = 0$ ou $2x + 5 = 0$, d'où
$x = \dfrac{1}{3}$ ou $x = -\dfrac{5}{2}$.
$S = \left\{-\dfrac{5}{2}\,;\,\dfrac{1}{3}\right\}$.

\subsection*{14. \quad $7(3x - 1)x = 0$}
Par \textbf{P3} : $3x - 1 = 0$ ou $x = 0$, d'où $x = \dfrac{1}{3}$ ou $x = 0$.
$S = \left\{0\,;\,\dfrac{1}{3}\right\}$.

\subsection*{15. \quad $(2x - 3)^{2} = (5x + 1)^{2}$}
\textbf{Mauvaise idée :} développer conduit à $-21x^{2} - 22x + 8 = 0$, qu'on ne
sait pas résoudre au cycle 4. \textbf{Bonne idée :} faire apparaître une
différence de deux carrés.
\begin{calcul}$(2x - 3)^{2} - (5x + 1)^{2} = 0$\end{calcul}
\begin{calcul}$[(2x-3)-(5x+1)]\,[(2x-3)+(5x+1)] = 0$\end{calcul}
\begin{calcul}$(-3x - 4)(7x - 2) = 0$\end{calcul}
Par \textbf{P3} : $-3x = 4$ ou $7x = 2$, d'où $x = -\dfrac{4}{3}$ ou
$x = \dfrac{2}{7}$.
$S = \left\{-\dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{2}{7}\right\}$. (Vérification : les deux
membres valent $\dfrac{289}{9}$ pour $-\dfrac{4}{3}$, et $\dfrac{289}{49}$ pour
$\dfrac{2}{7}$.)

\subsection*{16. \quad $x + 2 = x + 5$}
Ici la difficulté est la conclusion. Double transposition :
\begin{calcul}$0x = 5$\end{calcul}
On devrait diviser par le coefficient de $x$, mais c'est 0 : \textbf{la division
par zéro est interdite}. Aucun nombre multiplié par 0 ne donne 5 : l'équation
n'a \textbf{aucune solution}.
\begin{calcul}$S = \varnothing$\end{calcul}
(sans accolades).

\subsection*{17. \quad $2x + 4 = 2(x + 2)$}
\begin{calcul}$2x + 4 = 2x + 4$\end{calcul}
\begin{calcul}$0x = 0$\end{calcul}
On ne peut pas diviser par 0, mais tout nombre multiplié par 0 donne 0 :
\textbf{tous les nombres sont solutions}. L'ensemble des réels se note
$\mathbb{R}$ :
\begin{calcul}$S = \mathbb{R}$\end{calcul}

\end{document}
