\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

% Numérotation CALQUÉE sur le HTML des leçons : I / A / 1 / a (façon de planifier
% de l'utilisateur) — indispensable pour retrouver le même plan sur PDF et en ligne.
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\Alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}
\renewcommand{\theparagraph}{\alph{paragraph}}
\setcounter{secnumdepth}{4}   % numérote aussi le 4e niveau (\paragraph → a, b, c)
\makeatletter
\renewcommand{\@seccntformat}[1]{\csname the#1\endcsname.\hspace{0.6em}}
% \paragraph = vrai titre de niveau 4 (sur sa ligne, gras), pas run-in
\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{\z@}%
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  {\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\usepackage{colortbl}   % \rowcolor / \arrayrulecolor pour tableaux stylés (fiches mémo…)
\usepackage{needspace}  % \needspace{...} : garder un bloc (déf + figure) sur une même page
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,breakable}
\tcbset{lecbox/.style={
    enhanced, breakable, boxrule=0pt, leftrule=4pt, arc=2pt,
    left=10pt, right=8pt, top=6pt, bottom=6pt,
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\newtcolorbox{definition}{lecbox, colback=blue!6, colframe=blue!55!black,
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\newtcolorbox{remarque}{lecbox, colback=gray!8, colframe=gray!60!black,
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% Application : reformulation « sur la figure », sans titre, en gris.
\newtcolorbox{application}{enhanced, boxrule=0pt, colback=gray!5,
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% Symboles maths courants écrits en UNICODE dans le corps (→ copiables en HTML,
% pandoc les passe tels quels) et rendus en PDF via newunicodechar. Évite le
% mode math $...$ qui casse le copier-coller (MathJax non copiable).
\usepackage{newunicodechar}
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% numeration : tableau de numération centré. En PDF, simple \begin{center} ;
% en HTML, pandoc émet <div class="numeration"> stylé par css2026/lecon.css
% (couleurs des cellules, perdues sinon car pandoc ignore \cellcolor).
\newenvironment{numeration}{\begin{center}}{\end{center}}
% pose : opération posée (addition/multiplication). En PDF, tabular en
% \ttfamily centré ; en HTML pandoc émet <div class="pose"> (monospace +
% colonnes alignées via css2026/lecon.css). Chiffres copiables.
\newenvironment{pose}{\begin{center}\ttfamily}{\end{center}}
% calcul : un calcul isolé, centré, seul sur sa ligne (jamais coupé en plein
% milieu). En PDF \begin{center}\large ; en HTML pandoc émet <div class="calcul">
% (centré, sans retour ligne interne) via css2026/lecon.css.
\newenvironment{calcul}{\begin{center}\large}{\par\end{center}}

\newcommand{\titre}{Fractions et puissances}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 — Troisième · Nombres et calculs}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
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    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
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    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} LEC3FRPU}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

% Corps maître « Fractions et puissances » (3e). Programme actuel 2020 (DNB).
% Transcription FIDÈLE du HTML (I à VIII). Sans figure. Exposants $a^{n}$ ->
% <sup> ; fractions \dfrac -> .frac-inline (copiables) ; un calcul par ligne.

\section{Maîtrisons le vocabulaire des écritures fractionnaires}

\subsection{Fractions ou écritures fractionnaires ?}

\begin{definition}
On appelle \textbf{écriture fractionnaire} du quotient $a : b$ de nombres
relatifs l'écriture $\dfrac{a}{b}$. Cette écriture fractionnaire est seulement
appelée \textbf{fraction} quand $a$ et $b$ sont des entiers relatifs.
\end{definition}

\begin{exemple}
$\dfrac{3{,}5}{6{,}123}$ et $\dfrac{a}{b}$ sont des écritures fractionnaires,
mais seul $\dfrac{-17}{3}$ est une fraction.
\end{exemple}

\subsection{Numérateur et dénominateur}

\begin{definition}
Le nombre du haut s'appelle le \textbf{numérateur}, celui du bas le
\textbf{dénominateur}, et « le trait » s'appelle la \textbf{barre de fraction}.
\end{definition}

\subsection{Opposé d'un nombre relatif}

\subsubsection{Définition}

\begin{definition}
L'\textbf{opposé} d'un nombre relatif est le nombre qui a la même distance à zéro
mais le signe contraire.
\end{definition}

\subsubsection{Exemples}

$\dfrac{-17}{3}$ et $\dfrac{17}{3}$ sont opposés ; $\dfrac{3{,}5}{6{,}123}$ et
$-\dfrac{3{,}5}{6{,}123}$ sont opposés.

\begin{remarque}
\textbf{Place du signe « moins ».} Quand une fraction représente un nombre
négatif, le signe « moins » peut s'écrire à trois endroits : devant la fraction
$-\dfrac{3}{4}$, au numérateur $\dfrac{-3}{4}$, ou au dénominateur
$\dfrac{3}{-4}$. Ces trois écritures représentent le même nombre. On place
\textbf{de préférence} le signe « moins » devant la fraction.
\end{remarque}

\subsubsection{Propriétés}

\begin{propriete}
La somme de deux nombres relatifs opposés est nulle :
\end{propriete}
\begin{calcul}$\dfrac{-17}{3} + \dfrac{17}{3} = 0$\end{calcul}

\begin{propriete}
Multiplier un relatif par $-1$, c'est prendre son opposé :
\end{propriete}
\begin{calcul}$\dfrac{17}{3} \times (-1) = \dfrac{-17}{3}$\end{calcul}

\subsection{Inverse d'un nombre relatif non nul}

\subsubsection{Définition}

\begin{definition}
L'\textbf{inverse} de $x$ (avec $x$ non nul) est le quotient de 1 par $x$. On le
note $\dfrac{1}{x}$ ou encore $x^{-1}$.
\end{definition}

\subsubsection{Exemples}

L'inverse de 5 est $\dfrac{1}{5}$ ou $5^{-1}$.

\subsubsection{Propriété}

\begin{propriete}
L'inverse d'un nombre relatif non nul $x$ est le nombre relatif $y$ tel que
$x \times y = 1$.
\end{propriete}

\begin{exemple}
L'inverse de $\dfrac{-2}{3}$ est $\dfrac{-3}{2}$, en effet :
\begin{calcul}$\dfrac{-2}{3} \times \dfrac{-3}{2} = 1$\end{calcul}
\end{exemple}

\section{Addition de relatifs en écriture fractionnaire}

\subsection{Mise au même dénominateur}

\begin{definition}
La première étape pour ajouter des relatifs en écriture fractionnaire est la
\textbf{mise au même dénominateur} :
\end{definition}
\begin{calcul}$\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{6} + \dfrac{4}{6}$\end{calcul}

\subsection{Ajout de même dénominateur}

\begin{definition}
Pour ajouter des relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur, on
ajoute les numérateurs et on garde le dénominateur commun :
\end{definition}
\begin{calcul}$\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{13}{6}$\end{calcul}

\section{Soustraction de relatifs en écriture fractionnaire}

\subsection{Petit rappel}

\begin{definition}
Soustraire un relatif, c'est ajouter son opposé.
\end{definition}

\subsection{Méthode}

\begin{calcul}$\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{6} - \dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{6}$\end{calcul}

\section{Multiplication de relatifs en écriture fractionnaire}

\subsection{Exercice}

\begin{application}
Écrire le calcul qui correspond à : « les trois quarts de deux tiers ».
\end{application}

\textbf{Solution :}
\begin{calcul}$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3}$\end{calcul}

\subsection{Propriété}

\begin{propriete}
Pour multiplier des relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les
numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
\end{propriete}
\begin{calcul}$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$\end{calcul}

\section{Division de relatifs en écriture fractionnaire}

\subsection{Propriété}

\begin{propriete}
Diviser par un relatif non nul, c'est multiplier par son inverse.
\end{propriete}

\subsection{Méthode}

On se ramène donc à une multiplication :
\begin{calcul}$\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{8}$\end{calcul}

\section{Puissance et définitions}

\subsection{Carré}

\begin{definition}
$a$ étant un nombre relatif, on appelle \textbf{carré} de $a$ le nombre noté
$a^{2}$ tel que $a^{2} = a \times a$.
\end{definition}
\begin{calcul}$4^{2} = 16 \qquad 5^{2} = 25 \qquad (-6)^{2} = 36$\end{calcul}

\subsection{Cube}

\begin{definition}
$a$ étant un nombre relatif, on appelle \textbf{cube} de $a$ le nombre noté
$a^{3}$ tel que $a^{3} = a \times a \times a$.
\end{definition}
\begin{calcul}$2^{3} = 8 \qquad (-3)^{3} = -27$\end{calcul}

\subsection{Généralisation pour n > 1}

\begin{definition}
$a$ étant un nombre relatif et $n$ un entier, $n > 1$ :
\[ a^{n} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}} \]
On lit « $a$ puissance $n$ ». $n$ est l'\textbf{exposant}.
\end{definition}

\subsection{Convention}

\begin{definition}
Un nombre non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1 : $x^{0} = 1$.
Un nombre élevé à la puissance 1 est égal à lui-même : $x^{1} = x$.
\end{definition}

\subsection{Généralisation pour n < 0}

On généralise pour les entiers relatifs :
\begin{calcul}$x^{-1} = \dfrac{1}{x} \qquad x^{-2} = \dfrac{1}{x^{2}} \qquad x^{-3} = \dfrac{1}{x^{3}}$\end{calcul}

\begin{remarque}
Au passage, on comprend la notation de l'inverse sur certaines calculatrices.
\end{remarque}

\subsection{Puissances, priorités et pièges classiques}

\begin{propriete}
La puissance est prioritaire sur les autres opérations.
\end{propriete}

\begin{remarque}
\textbf{Ne pas confondre :}
\begin{calcul}$(-6)^{2} = (-6) \times (-6) = 36$\end{calcul}
\begin{calcul}$-6^{2} = -36$\end{calcul}
\end{remarque}

\section{Exemples de calcul}

\subsection{Un conseil pour commencer}

\begin{remarque}
Pour calculer avec des puissances, il est nécessaire de bien connaître la
définition et d'y revenir aussi souvent que possible !
\end{remarque}

\subsection{Des produits}

\subsubsection{Même nombre, exposants différents}

\begin{calcul}$7^{3} \times 7^{5} = (7 \times 7 \times 7) \times (7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7) = 7^{8}$\end{calcul}
En revenant à la définition, il suffit d'\textbf{ajouter les exposants} !

\subsubsection{Nombres différents, même exposant}

\begin{calcul}$7^{3} \times 5^{3} = (7 \times 5) \times (7 \times 5) \times (7 \times 5) = (7 \times 5)^{3} = 35^{3}$\end{calcul}

\subsection{Des quotients}

\subsubsection{Même nombre, exposants différents}

\begin{calcul}$\dfrac{7^{3}}{7^{5}} = \dfrac{7 \times 7 \times 7}{7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7} = \dfrac{1}{7^{2}} = 7^{-2}$\end{calcul}
En revenant à la définition, il suffit de \textbf{soustraire les exposants} !

\subsubsection{Nombres différents, même exposant}

\begin{calcul}$\dfrac{7^{3}}{5^{3}} = \dfrac{7 \times 7 \times 7}{5 \times 5 \times 5} = \dfrac{7}{5} \times \dfrac{7}{5} \times \dfrac{7}{5} = \left(\dfrac{7}{5}\right)^{3}$\end{calcul}

\subsection{Des puissances}

\begin{calcul}$(7^{2})^{3} = 7^{2} \times 7^{2} \times 7^{2} = 7^{6}$\end{calcul}
En revenant à la définition, il suffit de \textbf{multiplier les exposants} !

\section{Puissances de 10, notation scientifique}

\subsection{Écriture décimale des puissances de 10}

\subsubsection{Deux exemples}

\begin{calcul}$10^{3} = 1\,000$\end{calcul}
(exposant $+3$ et 3 zéros après le 1)
\begin{calcul}$10^{-5} = 0{,}00001$\end{calcul}
(exposant $-5$ et 5 zéros avant le 1)

\subsubsection{À retenir}

\begin{definition}
Si $n$ est un entier positif :
\begin{itemize}
  \item $10^{n}$ est un nombre entier qui s'écrit avec un 1 suivi de $n$ zéro(s) ;
  \item $10^{-n}$ est un nombre décimal qui s'écrit $0{,}00\ldots01$, le chiffre 1
        étant précédé de $n$ zéros.
\end{itemize}
\end{definition}

\subsection{Écriture scientifique}

\subsubsection{Définition}

\begin{definition}
L'\textbf{écriture scientifique} d'un nombre est de la forme $a \times 10^{n}$ où
$a$ est un nombre décimal tel que : $a$ n'a qu'un seul chiffre avant la virgule,
et ce chiffre n'est pas nul.
\end{definition}

\subsubsection{Exemples}

\begin{application}
Donner l'écriture scientifique de 789 et de 0,0258.
\end{application}
\begin{calcul}$789 = 7{,}89 \times 10^{2}$\end{calcul}
\begin{calcul}$0{,}0258 = 2{,}58 \times 10^{-2}$\end{calcul}

\begin{remarque}
L'écriture scientifique permet d'avoir très rapidement une idée de l'ordre de
grandeur d'un nombre : $156\,000\,000\,000\,000\,000\,000$ est beaucoup moins
parlant que $1{,}56 \times 10^{20}$.
\end{remarque}

\end{document}
