\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

% Numérotation CALQUÉE sur le HTML des leçons : I / A / 1 / a (façon de planifier
% de l'utilisateur) — indispensable pour retrouver le même plan sur PDF et en ligne.
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\Alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}
\renewcommand{\theparagraph}{\alph{paragraph}}
\setcounter{secnumdepth}{4}   % numérote aussi le 4e niveau (\paragraph → a, b, c)
\makeatletter
\renewcommand{\@seccntformat}[1]{\csname the#1\endcsname.\hspace{0.6em}}
% \paragraph = vrai titre de niveau 4 (sur sa ligne, gras), pas run-in
\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{\z@}%
  {1.4ex \@plus 1ex \@minus .2ex}{0.5ex \@plus .2ex}%
  {\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\usepackage{colortbl}   % \rowcolor / \arrayrulecolor pour tableaux stylés (fiches mémo…)
\usepackage{needspace}  % \needspace{...} : garder un bloc (déf + figure) sur une même page
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,breakable}
\tcbset{lecbox/.style={
    enhanced, breakable, boxrule=0pt, leftrule=4pt, arc=2pt,
    left=10pt, right=8pt, top=6pt, bottom=6pt,
    fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
}}
\newtcolorbox{definition}{lecbox, colback=blue!6, colframe=blue!55!black,
    title={Définition}}
\newtcolorbox{propriete}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Propriété}}
\newtcolorbox{theoreme}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Théorème}}
\newtcolorbox{exemple}{lecbox, colback=green!6, colframe=green!55!black,
    title={Exemple}}
\newtcolorbox{remarque}{lecbox, colback=gray!8, colframe=gray!60!black,
    title={Remarque}}
% Application : reformulation « sur la figure », sans titre, en gris.
\newtcolorbox{application}{enhanced, boxrule=0pt, colback=gray!5,
    borderline west={2pt}{0pt}{gray!50}, left=10pt, right=8pt, top=4pt,
    bottom=4pt, arc=1pt, coltext=black!75}
% Symboles maths courants écrits en UNICODE dans le corps (→ copiables en HTML,
% pandoc les passe tels quels) et rendus en PDF via newunicodechar. Évite le
% mode math $...$ qui casse le copier-coller (MathJax non copiable).
\usepackage{newunicodechar}
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\notin}}
\newunicodechar{⊥}{\ensuremath{\perp}}
\newunicodechar{≈}{\ensuremath{\approx}}
\newunicodechar{×}{\ensuremath{\times}}
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leqslant}}
\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geqslant}}
\newunicodechar{°}{\ifmmode{^\circ}\else\textdegree\fi}
\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}}
\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}}
\newunicodechar{÷}{\ensuremath{\div}}
\newunicodechar{−}{\ensuremath{-}}
% numeration : tableau de numération centré. En PDF, simple \begin{center} ;
% en HTML, pandoc émet <div class="numeration"> stylé par css2026/lecon.css
% (couleurs des cellules, perdues sinon car pandoc ignore \cellcolor).
\newenvironment{numeration}{\begin{center}}{\end{center}}
% pose : opération posée (addition/multiplication). En PDF, tabular en
% \ttfamily centré ; en HTML pandoc émet <div class="pose"> (monospace +
% colonnes alignées via css2026/lecon.css). Chiffres copiables.
\newenvironment{pose}{\begin{center}\ttfamily}{\end{center}}
% calcul : un calcul isolé, centré, seul sur sa ligne (jamais coupé en plein
% milieu). En PDF \begin{center}\large ; en HTML pandoc émet <div class="calcul">
% (centré, sans retour ligne interne) via css2026/lecon.css.
\newenvironment{calcul}{\begin{center}\large}{\par\end{center}}

\newcommand{\titre}{Écriture littérale et identités remarquables}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 — Troisième · Nombres et calculs}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/litterale_3eme.php}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} LEC3IDRE}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

% Corps maître « Écriture littérale et identités remarquables » (3e). Prog. 2020.
% Transcription FIDÈLE du HTML (I à V). Sans figure. Expressions en $...$ ;
% un calcul par ligne.

\section{Somme algébrique}

\subsection{Définition}

\begin{definition}
L'\textbf{addition} est l'opération qui permet de calculer la \textbf{somme} de
plusieurs nombres ; ces nombres sont les \textbf{termes} de la somme.
\end{definition}

\textbf{Exemples :}
\begin{itemize}
  \item $7 + 2 + 8$ est la somme des termes 7, 2 et 8 ;
  \item $8 - 3 + 2$ est la somme de 8, $-3$ et 2 ; on peut l'écrire $8 + (-3) + 2$ ;
  \item $a + 5 + b + 7$ est la somme de $a$, 5, $b$ et 7 ;
  \item $3a - 2$ est la somme de $3a$ et $-2$.
\end{itemize}

\subsection{Propriété}

\begin{propriete}
Dans une somme algébrique, on peut changer l'ordre des termes et regrouper les
termes de son choix.
\end{propriete}

\textbf{Exemples :}
\begin{calcul}$7 + 2 + 8 = (8 + 2) + 7$\end{calcul}
\begin{calcul}$8 - 3 + 2 = 8 + 2 - 3$\end{calcul}
\begin{calcul}$a + 5 + b + 7 = (5 + 7) + a + b$\end{calcul}

\section{Produit}

\subsection{Définition}

\begin{definition}
La \textbf{multiplication} est l'opération qui permet de calculer le
\textbf{produit} de deux nombres ; ces nombres sont les \textbf{facteurs} du
produit.
\end{definition}

\textbf{Exemples :}
\begin{itemize}
  \item $7 \times 2 \times 5$ est le produit des facteurs 7, 2 et 5 ;
  \item $\dfrac{7}{5}$ peut être considéré comme le produit de 7 par $\dfrac{1}{5}$ ;
  \item $a^{2}$ est le produit de $a$ par $a$ ;
  \item $\dfrac{a^{3}}{1+a}$ est le produit de $a$ (3 fois) et de $\dfrac{1}{1+a}$.
\end{itemize}

\subsection{Propriété}

\begin{propriete}
Dans un produit, on peut changer l'ordre des facteurs et regrouper les facteurs
de son choix.
\end{propriete}

\textbf{Exemple :}
\begin{calcul}$7 \times 2 \times 5 = (2 \times 5) \times 7$\end{calcul}

\section{Expressions algébriques}

\subsection{Simplification d'écriture}

\begin{definition}
Le signe « multiplié » est facultatif devant une lettre ou une parenthèse :
$3b$ veut dire $3 \times b$ ; $k(a+b)$ veut dire $k \times (a+b)$. Mais 37 ne
veut pas dire $3 \times 7$ !
\end{definition}

\subsection{Réduction d'une somme algébrique}

Certaines sommes algébriques peuvent être \textbf{réduites} :
\begin{calcul}$7 + 2 + 8 = (8 + 2) + 7 = 10 + 7 = 17$\end{calcul}
\begin{calcul}$a + 5 + b + 7 = 12 + a + b$\end{calcul}
D'autres sont irréductibles : $3a - 2$ \ldots STOP.

\subsection{Reconnaître une expression algébrique}

\subsubsection{Rappel des priorités opératoires}

\begin{propriete}
Dans l'ordre, on s'occupe :
\begin{enumerate}
  \item des parenthèses les plus imbriquées ;
  \item des puissances ;
  \item des produits ;
  \item des sommes.
\end{enumerate}
\end{propriete}

\subsubsection{Propriété}

\begin{propriete}
On peut séparer les expressions algébriques en deux types : les \textbf{sommes}
et les \textbf{produits}.
\end{propriete}

\subsubsection{Problème}

$7 \times 2 + 5$ est-il un produit ou une somme ? Effectuons le calcul en
respectant les priorités :
\begin{calcul}$7 \times 2 + 5 = 14 + 5 = 19$\end{calcul}
19 est la somme de 14 et 5, c'est-à-dire de $7 \times 2$ et 5. Donc
$7 \times 2 + 5$ est \textbf{la somme} de 5 et du produit de 7 par 2.

\subsection{Développer (un produit)}

\subsubsection{Définition}

\begin{definition}
\textbf{Développer} (étymologie : enlever l'enveloppe), c'est transformer un
produit en somme.
\end{definition}

\subsubsection{Distributivité simple}

\begin{propriete}
\[ k(a+b) = ka + kb \]
\end{propriete}
Premier membre : produit de $k$ par la somme de $a$ et $b$. Deuxième membre :
somme des produits $ka$ et $kb$.

\subsubsection{Distributivité double}

\begin{propriete}
\[ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd \]
\end{propriete}

\subsection{Factoriser (une somme)}

\subsubsection{Définition}

\begin{definition}
\textbf{Factoriser}, c'est transformer une somme en produit.
\end{definition}

\subsubsection{Distributivité simple}

\begin{propriete}
\[ ka + kb = k(a+b) \]
\end{propriete}
Premier membre : somme des produits $ka$ et $kb$. Deuxième membre : produit de
$k$ par la somme de $a$ et $b$.

\section{Les identités remarquables}

\subsection{Exercices}

\begin{application}
Développer : $A = (a+b)^{2}$ ; $B = (a-b)^{2}$ ; $C = (a+b)(a-b)$.
\end{application}

\textbf{Correction.}
\begin{calcul}$A = (a+b)(a+b) = a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$\end{calcul}
\begin{calcul}$B = (a-b)(a-b) = a^{2} - ab - ab + b^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$\end{calcul}
\begin{calcul}$C = (a+b)(a-b) = a^{2} - ab + ab - b^{2} = a^{2} - b^{2}$\end{calcul}

\subsection{Boîte à outils}

\begin{theoreme}
\[ (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \]
\[ (a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} \]
\[ (a+b)(a-b) = a^{2} - b^{2} \]
\end{theoreme}

De la gauche vers la droite, on \textbf{développe} ; de la droite vers la gauche,
on \textbf{factorise}.

\subsection{Vocabulaire}

\begin{definition}
$(a+b)^{2}$ est un \textbf{produit remarquable}. $a^{2} - 2ab + b^{2}$ est une
\textbf{somme remarquable}. $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ est une
\textbf{identité remarquable} (ou égalité remarquable). $2ab$ est un
\textbf{double produit}. $a^{2} - b^{2}$ est une \textbf{différence de deux
carrés}.
\end{definition}

\section{Utilisation des outils}

\subsection{Pour développer}

Si on repère un produit remarquable, on peut utiliser l'identité correspondante
pour développer plus rapidement :
\begin{calcul}$(y - 10)^{2} = y^{2} - 20y + 100$\end{calcul}
est plus rapide que :
\begin{calcul}$(y - 10)^{2} = y^{2} - 10y - 10y + 10 \times 10 = y^{2} - 20y + 100$\end{calcul}

\subsection{Pour factoriser}

Si on repère une somme remarquable, on peut l'utiliser pour factoriser (on ne
dispose d'ailleurs pas d'autre méthode) :
\begin{calcul}$4a^{2} - 4a + 1 = (2a)^{2} - 2 \times 2a + 1 = (2a - 1)^{2}$\end{calcul}
\begin{calcul}$16 - 9x^{2} = 4^{2} - (3x)^{2} = (4 - 3x)(4 + 3x)$\end{calcul}
\begin{calcul}$(x + 5)^{2} - 4 = (x + 5 - 2)(x + 5 + 2) = (x + 3)(x + 7)$\end{calcul}

\subsection{Pour calculer astucieusement}

\begin{calcul}$101^{2} = (100 + 1)^{2} = 100^{2} + 2 \times 100 + 1 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201$\end{calcul}

\end{document}
