Statistiques et probabilités

I Statistiques : Vocabulaire

A Vocabulaire de base

1. Définitions

Lorsque l'on réalise une enquête, on est amené à étudier des caractères propres à chaque individu.

L'ensemble des individus est appelé la population.

Le caractère peut être qualitatif (la couleur des cheveux, les sports pratiqués ou le type de film préféré) ou quantitatif (la taille, l'âge, le temps passé devant la télévision).

L'ensemble des données collectées s'appelle une série statistique. Avant traitement, elle est appelée série brute.

2. Effectifs : définition et calcul

Le nombre total d'individus de la population est appelé effectif total de la série.

Le nombre d'individus qui possèdent un même caractère est appelé effectif du caractère.

3. Fréquences : définition et calcul

La fréquence d'une valeur est le quotient :

effectif de la valeur effectif total

Elle peut être exprimée sous forme décimale (exacte ou approchée) ou fractionnaire.
C'est un nombre entre 0 et 1.

La fréquence en pourcentage est l'écriture de la fréquence sous forme de pourcentage:

"effectif de la valeur" "effectif total" ×100

B. Représenter et lire des données

1. Définitions

Un tableau permet de regrouper et d'organiser des données, de lire et d'interpréter facilement des informations.

Si on étudie un caractère quantitatif, on peut regrouper les données par classes pour limiter la taille du tableau de données. On détermine alors les effectifs de chaque classe.

2. Exercice témoin. D'après l’exercice 3 du Brevet Pondichéry 2007

Voici les résultats au lancer de javelot lors d’un championnat d’athlétisme.
Les longueurs sont exprimées en mètres :

36 42 37 43 38 44 32 40 44 36 46 39 40 40 41 41 45 37 43 43 46 39 44 47 48

Compléter le tableau suivant :

Longueur ℓ du lancer (en mètres)	30 ≤ ℓ < 35	35 ≤ ℓ < 40	40 ≤ ℓ < 45	45 ≤ ℓ < 50	Total
Nombre de sportifs
Fréquence
Fréquence en pourcentage

Quel est le pourcentage de sportifs ayant lancé au moins à 40 mètres ?

1

Longueur ℓ du lancer (en mètres)	30 ≤ ℓ < 35	35 ≤ ℓ < 40	40 ≤ ℓ < 45	45 ≤ ℓ < 50	Total
Nombre de sportifs	1	6	12	6	25
Fréquence	0,04	0,24	0,48	0,24	1
Fréquence en pourcentage	4 %	24 %	48 %	24 %	100 %

2.

Il suffit d'additionner les pourcentages des deux dernières classes dans la ligne "Fréquence en pourcentage" du tableau :

48 + 24 = 72

Le pourcentage de sportifs ayant lancé au moins à 40 mètres est 72%

Compètences : Organisation et gestion de données, fonctions

Lire et compléter un tableau statistique avec effectifs, fréquences et pourcentages.
Calculer une fréquence à partir d’un effectif.
Interpréter un tableau avec données groupées par classe pour répondre à des questions simples.

3. Représentations :

Dans un diagramme circulaire (ou semi-circulaire), les mesures des angles au centre sont proportionnelles aux quantités représentées. Dans un diagramme en barres (ou en bâtons), les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux quantités représentées.
Pour représenter une situation, il existe plusieurs types de représentations

Le graphique qui montre les évolutions
Le diagramme circulaire qui montre les proportions
Le diagramme en barres (ou en bâtons) qui montre les répartitions
L'histogramme pour les séries regroupées en classes

Longueur ℓ du lancer (en mètres)	30 ≤ ℓ < 35	35 ≤ ℓ < 40	40 ≤ ℓ < 45	45 ≤ ℓ < 50	Total
Nombre de sportifs	1	6	12	6	25
Fréquence	0,04	0,24	0,48	0,24	1
Fréquence en pourcentage	4 %	24 %	48 %	24 %	100 %

Représente ces données sous la formes d'un histogramme.

3.

Compètences : Organisation et gestion de données, fonctions

Lire ou construire un histogramme à partir d’un tableau statistique.

4. Moyenne d'une série statistique

Si x₁, x₂, ..., x_p représentent les valeurs du caractère de la série, et M la moyenne de cette série statistique, on a alors :

M = x₁+x₂+...+x_p p

Remarque :

Si les données sont regroupées par classe, on choisit une valeur de l'intervalle pour effectuer le calcul de la moyenne. Classiquement, on prend la valeur centrale de la classe.

Longueur ℓ du lancer (en mètres)	30 ≤ ℓ < 35	35 ≤ ℓ < 40	40 ≤ ℓ < 45	45 ≤ ℓ < 50	Total
Nombre de sportifs	1	6	12	6	25
Fréquence	0,04	0,24	0,48	0,24	1
Fréquence en pourcentage	4 %	24 %	48 %	24 %	100 %
Valeur centrale	32,5				-

En utilisant les valeurs centrales, calculer la longueur moyenne d’un lancer.

4.

Longueur ℓ du lancer (en mètres)	30 ≤ ℓ < 35	35 ≤ ℓ < 40	40 ≤ ℓ < 45	45 ≤ ℓ < 50	Total
Nombre de sportifs	1	6	12	6	25
Fréquence	0,04	0,24	0,48	0,24	1
Fréquence en pourcentage	4 %	24 %	48 %	24 %	100 %
Valeur centrale	32,5	37,5	42,5	47,5	–

La longueur moyenne (estimée) du lancer est :

1 × 32,5 + 6 × 37,5 + 12 × 42,5 + 6 × 47,5 25 = 1 052,5 25 = 42,1 m

Compètences : Organisation et gestion de données, fonctions

Estimer la moyenne d’une série statistique à partir d’un tableau de classes, en utilisant les valeurs centrales.

5. Calculer une médiane

La médiane m d'une série dont les valeurs sont ordonnées est la plus petite valeur telle qu'il y ait au moins la moitié de l'effectif inférieur à cette valeur.

6. Calculer une étendue

L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs prises par cette série.

Voici à nouveau, les résultats au lancer de javelot lors d’un championnat d’athlétisme.
Les longueurs sont exprimées en mètres :

36 42 37 43 38 44 32 40 44 36 46 39 40 40 41 41 45 37 43 43 46 39 44 47 48

Quel est le lancer médian ?
Quelle est l'étendue ?

Quel est le lancer médian ?
Il y a 25 lancers au total, donc la médiane est la 13^e valeur lorsque les données sont rangées par ordre croissant.

Valeurs triées : 32, 36, 36, 37, 37, 38, 39, 39, 40, 40, 40, 41, 41, 42, 43, 43, 43, 43, 44, 44, 44, 45, 46, 46, 47, 48

La 13^e valeur est 41, donc le lancer médian est 41 m.
Quelle est l’étendue ?
L'étendue est 48 – 32 = 16 m.

Compètences : Organisation et gestion de données, fonctions

Déterminer la médiane d’une série statistique.
Calculer l’étendue d’une série statistique.

II. Probabilités.

A. Avant propos

Les probabilités sont une branche des mathématiques qui s'intéresse à quantifier l'incertitude liée à des événements futurs. Elles nous permettent d'évaluer la chance qu'un événement particulier se produise.

Pourquoi combiner statistiques et probabilités ?

Statistiques:

Elles s'intéressent à la collecte, à l'organisation, à l'analyse et à l'interprétation de données numériques. Elle permet de décrire des populations et d'identifier des tendances.

Probabilités:

Elles étudient le hasard et l'incertitude, en quantifiant la probabilité qu'un événement se produise. Elle sert à modéliser des phénomènes aléatoires.

Ensemble:

En combinant ces deux approches, on peut non seulement décrire des données existantes, mais aussi prédire des événements futurs et prendre des décisions éclairées en tenant compte de l'incertitude.

B. Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience qu'on peut répéter, dont le résultat ne peut être prédit avec certitude avant sa réalisation, même si l'ensemble des résultats possibles est connu.

Par exemple :

Lancer un dé
Tirer une carte dans un jeu de 52 cartes
Lancer une pièce

C. Issues d'une expérience aléatoire

Une issue est tout résultat possible d'une expérience aléatoire. C'est le résultat concret que l'on obtient lorsqu'on réalise une fois l'expérience.

Exemples détaillés

1. Lancer un dé à six faces:

Expérience aléatoire: Lancer le dé.
Issues possibles: Obtenir un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 ou un 6. Chaque face du dé représente une issue différente.

2. Tirer une carte dans un jeu de 52 cartes:

Expérience aléatoire: Tirer une carte.
Issues possibles: Chaque carte du jeu est une issue différente (As de cœur, Roi de pique, etc.).

3. Lancer une pièce de monnaie:

Expérience aléatoire: Lancer la pièce.
Issues possibles: Obtenir pile ou face

D. Événement d'une expérience aléatoire

Un événement d'une expérience aléatoire est un regroupement de plusieurs issues qui nous intéresse particulièrement.

Exemples détaillés

1. Lancer un dé à six faces:

L'événement "obtenir un nombre pair" est composé de 3 issues (Obtenir 2, obtenir 4 et obtenir 6)

2. Tirer une carte dans un jeu de 52 cartes:

L'événement "Obtenir un roi" est composé de 4 issues. Obtenir l'un des quatre rois : R♣ R♠ R♥ R♦

3. Lancer une pièce de monnaie:

L' événement "Obtenir Pile" est composé d'une seule issue !

Ce genre d'événement qui ne contient qu'une seule issue est appelé événement élémentaire.

E. Probabilité d'un événement.

La probabilité d'un événement est une mesure numérique qui exprime la chance que cet événement se produise lors d'une expérience aléatoire. Elle est comprise entre 0 et 1 :

0: l'événement est impossible (il ne se produira jamais).
1: l'événement est certain (il se produira à coup sûr).
Entre 0 et 1: l'événement est incertain, et la valeur de la probabilité indique sa "vraisemblance"

F. Équiprobabilité

L'équiprobabilité est une notion fondamentale en théorie des probabilités qui décrit une situation où toutes les issues d'une expérience aléatoire ont exactement la même chance de se produire.

On ne s'intéressera cette année qu'aux expériences aléatoires en situation d'équiprobabilité.

Exemples détaillés

1. Lancer un dé à six faces:

Chaque issue à une chance sur 6 de se réaliser.

On écrira par exemple:

p(5) = 1 6

pour dire que la probabilté de faire un 5 (événement élémentaire) est 1 6

En cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement est égale au quotient du nombre d'issues favorables par le nombre d'issues total

P(un événement) = nombre d'issues favorables nombre d'issues total

Ainsi la propabilité de faire un nombre pair est 3 6 = 1 2 = 0,5

2. Tirer une carte dans un jeu de 52 cartes:

La probabilité de tirer un roi est 4 52 = 1 13 ≈ 0,08

G. Exercices témoins

Exercice 1 : Arbre de probabilité

Une urne contient deux boules vertes, cinq boules grises et une boule bordeaux, indiscernables au toucher.

On tire successivement, et sans remise, deux boules.

Schématise l'arbre des probabilités en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités évidentes.
Quelle est la probabilité de tirer une boule verte au premier tirage ?
Quelle est la probabilité de tirer une boule bordeaux au deuxième tirage ?

Il y a deux boules vertes sur un total de 8 boules.
La probabilité de tirer une boule verte au premier tirage est donc :
28 = 14 = 0,25
Probabilité de tirer une boule bordeaux au 2^ème tirage :
28 × 17 + 58 × 17 =
256 + 556 =
756 = 18 = 0,125 = 12,5%

Exercice 2 : Probabilité et tableaux à doubles entrées.

🎲 Exercice – Probabilités et tableau à double entrée

Un collège propose deux activités aux élèves de 3^e pour une sortie de fin d’année : canoë ou randonnée. Les élèves doivent choisir leur activité préférée.

On interroge un échantillon de 80 élèves. On distingue les filles et les garçons. Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous :

	Canoë	Randonnée	Total
Filles	18	22	?
Garçons	28	?	40
Total	?	?	80

Compléter le tableau.
On choisit un élève au hasard parmi les 80 interrogés.
1. Quelle est la probabilité que cet élève soit une fille ?
2. Quelle est la probabilité que cet élève ait choisi le canoë ?
3. Quelle est la probabilité que ce soit un garçon ayant choisi la randonnée ?
On choisit un élève parmi ceux qui ont choisi le canoë. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

✅ Correction – Probabilités et tableau à double entrée

1. Complétons le tableau :

L’effectif total est 80 élèves, dont 40 garçons.

Donc le nombre de filles est :

80 − 40 = 40

Il y a 40 filles.

Parmi les filles, 18 ont choisi le canoë et 22 la randonnée, ce qui correspond bien au total de 40.

Parmi les 40 garçons, 28 ont opté pour le canoë.

40 − 28 = 12

12 garçons ont choisi la randonnée.

8 + 28 = 46

Le nombre d'élèves ayant choisi le canoë est 46.

22 + 12 = 34

Le nombre d'élèves ayant choisi la randonnée est 34.

	Canoë	Randonnée	Total
Filles	18	22	40
Garçons	28	12	40
Total	46	34	80

2. Probabilités parmi les 80 élèves :

Être une fille :
4080 = 12 = 0,5
Avoir choisi le canoë :

4680 = 2340 = 0,575
Être un garçon ayant choisi la randonnée :

1280 = 320 = 0,15

3. Probabilité d’être une fille parmi ceux qui ont choisi le canoë :

Sur les 46 élèves ayant choisi le canoë, 18 sont des filles:

1846 = 923 ≈ 0,39