\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

% Numérotation CALQUÉE sur le HTML des leçons : I / A / 1 / a (façon de planifier
% de l'utilisateur) — indispensable pour retrouver le même plan sur PDF et en ligne.
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\Alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}
\renewcommand{\theparagraph}{\alph{paragraph}}
\setcounter{secnumdepth}{4}   % numérote aussi le 4e niveau (\paragraph → a, b, c)
\makeatletter
\renewcommand{\@seccntformat}[1]{\csname the#1\endcsname.\hspace{0.6em}}
% \paragraph = vrai titre de niveau 4 (sur sa ligne, gras), pas run-in
\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{\z@}%
  {1.4ex \@plus 1ex \@minus .2ex}{0.5ex \@plus .2ex}%
  {\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\usepackage{colortbl}   % \rowcolor / \arrayrulecolor pour tableaux stylés (fiches mémo…)
\usepackage{needspace}  % \needspace{...} : garder un bloc (déf + figure) sur une même page
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,breakable}
\tcbset{lecbox/.style={
    enhanced, breakable, boxrule=0pt, leftrule=4pt, arc=2pt,
    left=10pt, right=8pt, top=6pt, bottom=6pt,
    fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
}}
\newtcolorbox{definition}{lecbox, colback=blue!6, colframe=blue!55!black,
    title={Définition}}
\newtcolorbox{propriete}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Propriété}}
\newtcolorbox{theoreme}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Théorème}}
\newtcolorbox{exemple}{lecbox, colback=green!6, colframe=green!55!black,
    title={Exemple}}
\newtcolorbox{remarque}{lecbox, colback=gray!8, colframe=gray!60!black,
    title={Remarque}}
% Application : reformulation « sur la figure », sans titre, en gris.
\newtcolorbox{application}{enhanced, boxrule=0pt, colback=gray!5,
    borderline west={2pt}{0pt}{gray!50}, left=10pt, right=8pt, top=4pt,
    bottom=4pt, arc=1pt, coltext=black!75}
% Symboles maths courants écrits en UNICODE dans le corps (→ copiables en HTML,
% pandoc les passe tels quels) et rendus en PDF via newunicodechar. Évite le
% mode math $...$ qui casse le copier-coller (MathJax non copiable).
\usepackage{newunicodechar}
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\notin}}
\newunicodechar{⊥}{\ensuremath{\perp}}
\newunicodechar{≈}{\ensuremath{\approx}}
\newunicodechar{×}{\ensuremath{\times}}
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leqslant}}
\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geqslant}}
\newunicodechar{°}{\ifmmode{^\circ}\else\textdegree\fi}
\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}}
\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}}
\newunicodechar{÷}{\ensuremath{\div}}
\newunicodechar{−}{\ensuremath{-}}
% numeration : tableau de numération centré. En PDF, simple \begin{center} ;
% en HTML, pandoc émet <div class="numeration"> stylé par css2026/lecon.css
% (couleurs des cellules, perdues sinon car pandoc ignore \cellcolor).
\newenvironment{numeration}{\begin{center}}{\end{center}}
% pose : opération posée (addition/multiplication). En PDF, tabular en
% \ttfamily centré ; en HTML pandoc émet <div class="pose"> (monospace +
% colonnes alignées via css2026/lecon.css). Chiffres copiables.
\newenvironment{pose}{\begin{center}\ttfamily}{\end{center}}
% calcul : un calcul isolé, centré, seul sur sa ligne (jamais coupé en plein
% milieu). En PDF \begin{center}\large ; en HTML pandoc émet <div class="calcul">
% (centré, sans retour ligne interne) via css2026/lecon.css.
\newenvironment{calcul}{\begin{center}\large}{\par\end{center}}
\usepackage{tikz}
\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles,quotes}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\newcommand{\titre}{Trigonométrie dans le triangle rectangle}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 — Troisième · Espace et géométrie}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/trigonometrie.php}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} LEC3TRIG}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

% Corps maître « Trigonométrie dans le triangle rectangle » (3e). Prog. 2020 (DNB).
% Transcription FIDÈLE du HTML (I à II). 3 figures TikZ (triangle, abc35, ext3).
% Angles $\widehat{...}$, fractions \dfrac. Image 1619 + pas-à-pas Casio (« pas à
% noter ») laissés à la page web.

\section{Relations trigonométriques dans le triangle rectangle}

\subsection{Avant-propos}

\begin{center}
{\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.6\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,thick,>=stealth]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (8,0);
  \coordinate (C) at (0,3.1);
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  % Angle droit en A.
  \draw (0.4,0) -- (0.4,0.4) -- (0,0.4);
  % Sommets.
  \foreach \p in {A,B,C} \fill (\p) circle(2pt);
  \node[below left]  at (A) {A};
  \node[right]       at (B) {B};
  \node[above left]  at (C) {C};
  % Hypoténuse (le long de BC).
  \path (C)--(B) node[midway,above,sloped,brown!60!black] {\textbf{Hypoténuse}};
  % Côté AC (vertical gauche).
  \node[left,align=right,brown!60!black] at (-0.15,1.55)
    {Côté opposé à $\widehat{B}$\\ Côté adjacent à $\widehat{C}$};
  % Côté AB (horizontal bas).
  \node[below,align=center,brown!60!black] at (4,-0.15)
    {Côté opposé à $\widehat{C}$\\ Côté adjacent à $\widehat{B}$};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\begin{definition}
Dans le triangle rectangle ABC, $\widehat{BAC}$ est l'angle droit ; le côté
opposé à $\widehat{BAC}$ (en face) est $[BC]$ : c'est l'\textbf{hypoténuse}.
\end{definition}

Si on s'intéresse à l'angle $\widehat{ABC}$ :
\begin{itemize}
  \item $[AC]$ est le côté \textbf{opposé} à $\widehat{ABC}$ ;
  \item $[AB]$ est le côté \textbf{adjacent} à $\widehat{ABC}$.
\end{itemize}
Si on s'intéresse à l'angle $\widehat{ACB}$ :
\begin{itemize}
  \item $[AB]$ est le côté \textbf{opposé} à $\widehat{ACB}$ ;
  \item $[AC]$ est le côté \textbf{adjacent} à $\widehat{ACB}$.
\end{itemize}

\subsection{Formulaire}

\begin{propriete}
Dans le triangle ABC rectangle en A, pour l'angle aigu $\widehat{ABC}$ :
\[ \cos\widehat{ABC} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AB}{BC} \]
\[ \sin\widehat{ABC} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AC}{BC} \]
\[ \tan\widehat{ABC} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{AC}{AB} \]
\end{propriete}

\begin{application}
De même, exprimer $\cos\widehat{ACB}$, $\sin\widehat{ACB}$ et $\tan\widehat{ACB}$.
\end{application}

\textbf{Correction.}
\begin{calcul}$\cos\widehat{ACB} = \dfrac{AC}{BC} \qquad \sin\widehat{ACB} = \dfrac{AB}{BC} \qquad \tan\widehat{ACB} = \dfrac{AB}{AC}$\end{calcul}

\subsection{Mnémotechnie}

\begin{remarque}
\textbf{SOH CAH TOA} n'est pas une formule magique, mais un moyen pour retenir les
formules :
\begin{itemize}
  \item \textbf{SOH} : Sinus = Opposé / Hypoténuse ;
  \item \textbf{CAH} : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse ;
  \item \textbf{TOA} : Tangente = Opposé / Adjacent.
\end{itemize}
\end{remarque}

\section{Exemples}

\subsection{Japon 96 : chercher une longueur}

\begin{application}
ABC est un triangle rectangle en A. On donne AB = 5 cm et $\widehat{ABC} = 35°$.
Déterminer la longueur AC, arrondie au dixième de centimètre.
\end{application}

\begin{center}
{\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.5\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,thick]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (5,0);
  \coordinate (C) at (0,3.5);
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  % Angle droit en A.
  \draw (0.35,0) -- (0.35,0.35) -- (0,0.35);
  % Angle 35° en B (entre BA et BC).
  \draw (B) ++(180:0.9) arc[start angle=180,end angle=145,radius=0.9];
  \node at ($(B)+(162:1.25)$) {35°};
  \foreach \p in {A,B,C} \fill (\p) circle(2pt);
  \node[below left]  at (A) {A};
  \node[below right] at (B) {B};
  \node[above left]  at (C) {C};
  \node[below] at ($(A)!0.5!(B)$) {5 cm};
  \node[left]  at ($(A)!0.5!(C)$) {?};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\textbf{Correction.} Dans le triangle ABC rectangle en A :
\begin{calcul}$\tan\widehat{ABC} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AC}{5}$\end{calcul}
D'où :
\begin{calcul}$AC = 5 \times \tan\widehat{ABC} = 5 \times \tan(35°) \approx 3{,}5 \text{ cm}$\end{calcul}

\subsection{Chercher un angle}

\begin{application}
Dans le triangle FCO rectangle en F, on sait que FC = 3,1 cm et FO = 5,4 cm.
Calculer l'arrondi au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{COF}$.
\end{application}

\begin{center}
{\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.42\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,thick,scale=0.85]
  \coordinate (F) at (0,0);
  \coordinate (O) at (0,5.4);
  \coordinate (C) at (3.1,0);
  \draw (F)--(O)--(C)--cycle;
  % Angle droit en F.
  \draw (0.35,0) -- (0.35,0.35) -- (0,0.35);
  % Angle cherché en O (entre OF et OC).
  \draw (O) ++(-90:0.85) arc[start angle=-90,end angle=-60,radius=0.85];
  \node[red] at ($(O)+(-72:1.2)$) {?};
  \foreach \p in {F,O,C} \fill (\p) circle(2pt);
  \node[below left] at (F) {F};
  \node[above]      at (O) {O};
  \node[below right] at (C) {C};
  \node[left]  at ($(F)!0.5!(O)$) {5,4 cm};
  \node[below] at ($(F)!0.5!(C)$) {3,1 cm};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\textbf{Correction.} On cherche une relation entre $\widehat{COF}$, son côté
opposé et son côté adjacent :
\begin{calcul}$\tan\widehat{COF} = \dfrac{FC}{FO} = \dfrac{3{,}1}{5{,}4}$\end{calcul}
\begin{calcul}$\widehat{COF} = \arctan\left(\dfrac{3{,}1}{5{,}4}\right) \approx 30°$\end{calcul}

\subsection{Parlons calculatrice}

\begin{remarque}
Les touches \textbf{arccos}, \textbf{arcsin} et \textbf{arctan} (souvent
$\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$, via la touche \texttt{2nde}) permettent de
retrouver un \textbf{angle} à partir d'un rapport trigonométrique. Vérifie que ta
calculatrice est bien réglée en \textbf{degrés} (« D » ou « DEG » à l'écran) :
en tapant $\cos(60°)$, tu dois obtenir $0{,}5$.
\end{remarque}

\end{document}
