\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

% Numérotation CALQUÉE sur le HTML des leçons : I / A / 1 / a (façon de planifier
% de l'utilisateur) — indispensable pour retrouver le même plan sur PDF et en ligne.
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\Alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}
\renewcommand{\theparagraph}{\alph{paragraph}}
\setcounter{secnumdepth}{4}   % numérote aussi le 4e niveau (\paragraph → a, b, c)
\makeatletter
\renewcommand{\@seccntformat}[1]{\csname the#1\endcsname.\hspace{0.6em}}
% \paragraph = vrai titre de niveau 4 (sur sa ligne, gras), pas run-in
\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{\z@}%
  {1.4ex \@plus 1ex \@minus .2ex}{0.5ex \@plus .2ex}%
  {\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\usepackage{colortbl}   % \rowcolor / \arrayrulecolor pour tableaux stylés (fiches mémo…)
\usepackage{needspace}  % \needspace{...} : garder un bloc (déf + figure) sur une même page
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,breakable}
\tcbset{lecbox/.style={
    enhanced, breakable, boxrule=0pt, leftrule=4pt, arc=2pt,
    left=10pt, right=8pt, top=6pt, bottom=6pt,
    fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
}}
\newtcolorbox{definition}{lecbox, colback=blue!6, colframe=blue!55!black,
    title={Définition}}
\newtcolorbox{propriete}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Propriété}}
\newtcolorbox{theoreme}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Théorème}}
\newtcolorbox{exemple}{lecbox, colback=green!6, colframe=green!55!black,
    title={Exemple}}
\newtcolorbox{remarque}{lecbox, colback=gray!8, colframe=gray!60!black,
    title={Remarque}}
% Application : reformulation « sur la figure », sans titre, en gris.
\newtcolorbox{application}{enhanced, boxrule=0pt, colback=gray!5,
    borderline west={2pt}{0pt}{gray!50}, left=10pt, right=8pt, top=4pt,
    bottom=4pt, arc=1pt, coltext=black!75}
% Compétence : SEULE boîte à argument — \begin{competence}{intitulé}. Elle DOIT
% vivre ici et jamais dans un corps : pandoc ne sait pas lire une définition de
% macro à paramètre (#1) et abandonne tout le fichier. Côté HTML, pandoc rend
% l'argument en <span> de tête, que _competence_titre() transforme en titre.
\newtcolorbox{competence}[1]{colback=green!4, colframe=green!45!black,
    boxrule=0.6pt, arc=2pt, left=5pt, right=5pt, top=3pt, bottom=3pt,
    title={\textbf{Compétence — #1}}, fonttitle=\small,
    coltitle=white, colbacktitle=green!45!black}
% Symboles maths courants écrits en UNICODE dans le corps (→ copiables en HTML,
% pandoc les passe tels quels) et rendus en PDF via newunicodechar. Évite le
% mode math $...$ qui casse le copier-coller (MathJax non copiable).
\usepackage{newunicodechar}
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\notin}}
\newunicodechar{⊥}{\ensuremath{\perp}}
\newunicodechar{≈}{\ensuremath{\approx}}
\newunicodechar{×}{\ensuremath{\times}}
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leqslant}}
\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geqslant}}
\newunicodechar{°}{\ifmmode{^\circ}\else\textdegree\fi}
\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}}
\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}}
\newunicodechar{÷}{\ensuremath{\div}}
\newunicodechar{−}{\ensuremath{-}}
% numeration : tableau de numération centré. En PDF, simple \begin{center} ;
% en HTML, pandoc émet <div class="numeration"> stylé par css2026/lecon.css
% (couleurs des cellules, perdues sinon car pandoc ignore \cellcolor).
\newenvironment{numeration}{\begin{center}}{\end{center}}
% pose : opération posée (addition/multiplication). En PDF, tabular en
% \ttfamily centré ; en HTML pandoc émet <div class="pose"> (monospace +
% colonnes alignées via css2026/lecon.css). Chiffres copiables.
\newenvironment{pose}{\begin{center}\ttfamily}{\end{center}}
% calcul : un calcul isolé, centré, seul sur sa ligne (jamais coupé en plein
% milieu). En PDF \begin{center}\large ; en HTML pandoc émet <div class="calcul">
% (centré, sans retour ligne interne) via css2026/lecon.css.
\newenvironment{calcul}{\begin{center}\large}{\par\end{center}}

\newcommand{\titre}{Calcul littéral}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 — Cinquième · Calcul littéral}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/calcul_litteral_1.php}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} LEC5CALC}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

% Corps maître « Calcul littéral (1) » (5e). TRANSCRIPTION FIDÈLE du HTML.
% Coquilles corrigées (carré de a→t ; 7(x+8)+2). Compétences incluses (boîtes).
% Captures Python/tableur : RASTER → zip. Calculs seuls sur leur ligne.

% La boîte « competence » est définie dans le préambule partagé (LECON_ENVS de
% build_lecon.py) : une définition de macro à paramètre dans le corps ferait
% échouer pandoc, donc le fragment HTML.

\section{On communique}

Les mots comme \emph{somme}, \emph{produit}, \emph{double}, \emph{tiers}… vous
disent quelque chose ? Êtes-vous capables de les comprendre et de les utiliser
dans des calculs ?

\subsection{De l'expression littérale vers le français}

Traduire les expressions suivantes en langage naturel : $x+1$ ; $\pi+17$ ;
$7×n$ ; $2a$ ; $a+b+c$ ; $3b$ ; $t^2+3$ ; $(t+3)^2$ ; $3x+1$ ; $7x+8$ ;
$7(x+8)$ ; $7(x+8)+2$.

\textbf{Correction.}
\begin{itemize}\setlength{\itemsep}{1pt}
  \item $x+1$ est la somme de $x$ et $1$ ;
  \item $\pi+17$ est la somme de $\pi$ et $17$ ;
  \item $7×n$ est le produit de $7$ par $n$ ;
  \item $2a$ est le double de $a$ ;
  \item $a+b+c$ est la somme de $a$, $b$ et $c$ ;
  \item $3b$ est le triple de $b$ ;
  \item $t^2+3$ est la somme du carré de $t$ et $3$ ;
  \item $(t+3)^2$ est le carré de la somme de $t$ et $3$ ;
  \item $3x+1$ est la somme du triple de $x$ et $1$ ;
  \item $7x+8$ est la somme du produit de $7$ par $x$ et $8$ ;
  \item $7(x+8)$ est le produit de $7$ par la somme de $x$ et $8$ ;
  \item $7(x+8)+2$ est la somme du produit de $7$ par la somme de $x$ et $8$,
        et de $2$.
\end{itemize}

\subsection{Du français vers l'expression littérale}

La procédure inverse consiste à écrire l'expression littérale d'après le langage
naturel.

\textbf{Exemple 1.} Écrire le produit de $7$ par la somme de $\pi$ et $\dfrac{3}{2}$ :
\begin{calcul}$7\left(\pi + \dfrac{3}{2}\right)$\end{calcul}
Sans les parenthèses, on écrirait la somme du produit de $7$ par $\pi$ et de
$\dfrac{3}{2}$ : c'est une \textbf{erreur}.

\textbf{Exemple 2.} Écrire la somme de $7$ et du produit de $\pi$ par $\dfrac{3}{2}$ :
\begin{calcul}$7 + \pi × \dfrac{3}{2}$\end{calcul}
Ajouter des parenthèses autour du produit est une \textbf{imperfection} : avec
les priorités opératoires, elles ne servent à rien.

\begin{competence}{traduire une expression littérale}
Établir un lien clair entre le langage mathématique et son interprétation
verbale : comprendre $+$, $×$, les puissances et les parenthèses, et formuler en
français des expressions simples à modérées.
\end{competence}

\section{Factoriser une somme}

\subsection{Exemples numériques}

\textbf{1.} Calculer astucieusement $2{,}5 × 4{,}36 + 7{,}5 × 4{,}36$. C'est une
somme de deux produits ayant $4{,}36$ pour \textbf{facteur commun} :
\begin{calcul}$2{,}5 × 4{,}36 + 7{,}5 × 4{,}36 = 4{,}36 × (2{,}5 + 7{,}5) = 4{,}36 × 10 = 43{,}6$\end{calcul}
On a transformé une somme en produit : on a \textbf{factorisé}.

\textbf{2.} De même, avec $\pi$ en facteur commun :
\begin{calcul}$3\pi + 5\pi + 2\pi = \pi × (3 + 5 + 2) = \pi × 10 = 10\pi \approx 31{,}4$\end{calcul}

\subsection{Factoriser une expression littérale}

\begin{propriete}
Pour tous les nombres $a$, $b$ et $k$ :
\[ ka + kb = k(a+b) \]
De la gauche vers la droite, on dit qu'on \textbf{factorise} $k$.
\end{propriete}

\begin{competence}{reconnaître et utiliser une factorisation simple}
Identifier un facteur commun dans une somme de termes et transformer cette somme
en un produit, pour simplifier des calculs ou manipuler des expressions.
\end{competence}

\section{Réduire une somme algébrique}

\subsection{Réduire $3a + 2b + 5a$}

\begin{align*}
3a + 2b + 5a &= 3a + 5a + 2b = a(3+5) + 2b \\
             &= 8a + 2b
\end{align*}

\subsection{Réduire $3a + 2b + 5c$}

On ne peut rien faire : aucun facteur commun aux trois produits.

\subsection{Réduire $7t + 2u + t$}

Comme $t = 1 × t = 1t$ :
\begin{align*}
7t + 2u + t &= 7t + 1t + 2u = (7+1)t + 2u = 8t + 2u
\end{align*}

\subsection{Réduire $-2a + 3b + 2a - 2b$}

\begin{align*}
-2a + 3b + 2a - 2b &= a(-2+2) + b(3-2) = 0 × a + 1 × b = b
\end{align*}

\subsection{Une méthode procédurale}

Pour chaque lettre (avec son exposant) : on additionne ou soustrait les
coefficients et on écrit le résultat. Par abus de langage, on dit qu'on
« compte les $a$, les $a^2$, les $b$… ».

\subsection{Réduire $a^2 - 3a + 4b + 5a^2 - 6b$}

En prenant les exposants par ordre décroissant et les lettres par ordre
alphabétique : $1+5 = 6$ termes en $a^2$, $-3$ terme en $a$, $4-6 = -2$ termes
en $b$.
\begin{calcul}$a^2 - 3a + 4b + 5a^2 - 6b = 6a^2 - 3a - 2b$\end{calcul}

\begin{competence}{réduire une expression littérale}
Reconnaître les termes semblables, les regrouper et effectuer les calculs pour
simplifier une expression.
\end{competence}

\section{Développer un produit}

\subsection{Un exemple pour commencer}

$3(5+3a) + 2a$ semble impossible à réduire à cause des parenthèses…

\subsection{Rappelons-nous}

\begin{propriete}
Pour tous les nombres $a$, $b$ et $k$ : $\ ka + kb = k(a+b)$. De la droite vers
la gauche, on dit qu'on \textbf{distribue} $k$, ou qu'on \textbf{développe}
(étymologie : on enlève l'enveloppe).
\end{propriete}

\subsection{Retour à l'exemple}

\begin{align*}
3(5+3a) + 2a &= 3×5 + 3×3a + 2a = 15 + 9a + 2a \\
             &= 11a + 15
\end{align*}

\subsection{« Développer, réduire et ordonner »}

\begin{itemize}
  \item \textbf{Développer} : opération contraire de la factorisation ; on
        supprime les parenthèses avec la distributivité. Ex. $3(a+2) = 3a + 6$.
  \item \textbf{Réduire} : on regroupe les \textbf{termes semblables} (même
        partie littérale). Ex. $3a + 2b + a - b = 4a + b$.
  \item \textbf{Ordonner} (facultatif mais recommandé) : on écrit les termes par
        puissances décroissantes. Ex. $3 - 2c^2 + c^3 = c^3 - 2c^2 + 3$.
\end{itemize}

\begin{competence}{développer une expression littérale}
Appliquer la distributivité pour transformer un produit en somme, du type
$a(b+c)$, afin de préparer une réduction ou de résoudre une équation.
\end{competence}

\section{Les signes égal}

\subsection{Avant-propos}

Le signe égal ne signifie pas toujours « faire », comme sur une calculatrice. En
algèbre, il exprime une \textbf{égalité} entre deux expressions ; il sert à
poser des problèmes (équations), à vérifier des résultats, à exprimer des
relations (formules), parfois à \textbf{affecter} une valeur. Le signe « = »
n'a pas toujours le même sens !

\subsection{Égalité}

\begin{definition}
Une \textbf{égalité} affirme que deux expressions ont la même valeur ; on la
note avec le signe $=$.
\end{definition}

\begin{itemize}
  \item $2 + 3 = 5$ est une égalité \textbf{vraie} ;
  \item $4 + 5 = 10$ est une égalité \textbf{fausse} ;
  \item $p + p = 2p$ est vraie pour tous les nombres $p$ ;
  \item $3 × x = 12$ pourrait être vraie pour certaines valeurs de $x$ (pour
        $x = 10$ : $3×10 = 30 \neq 12$, donc fausse).
\end{itemize}

\subsection{Formule}

$P = 2\pi R$ est une \textbf{formule} : elle rappelle comment calculer le
périmètre d'un cercle.

\subsection{Équation}

\begin{definition}
Une \textbf{équation} est une égalité contenant au moins une \textbf{inconnue}.
La \textbf{résoudre}, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent
l'égalité vraie.
\end{definition}

Ici, le signe « = » ne sert donc ni à annoncer un résultat, ni à écrire une
formule : il pose une \textbf{question}. Reprenons l'égalité $3 × x = 12$ vue
plus haut et résolvons-la, en utilisant l'opération inverse (la division) :

\begin{calcul}$x = \dfrac{12}{3} = 4$\end{calcul}

Cette équation admet une unique solution : $x = 4$.

\begin{remarque}
La résolution des équations $a × x = c$ et $x + b = c$ est étudiée dans la leçon
« Initiation aux écritures littérales » (code \textbf{LEC5LITT}).
\end{remarque}

\subsection{Affectation}

En programmation (Python), le code \texttt{x = 5} n'est pas une égalité mais une
\textbf{affectation} : on attribue la valeur $5$ à la variable $x$ (comme une
étiquette sur une boîte). Certains langages notent d'ailleurs $x \leftarrow 5$.
Ainsi \texttt{x = x + 2} donne à $x$ la nouvelle valeur $5 + 2 = 7$.

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.5\linewidth]{python.png}
\end{center}

\subsection{Tableur}

Dans un tableur (Excel, LibreOffice Calc), le signe $=$ \textbf{commence une
formule}. Par exemple, \texttt{=A1+B1} additionne les valeurs des cellules A1 et
B1. Ici, $=$ n'exprime pas une égalité mathématique mais lance un calcul.

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.5\linewidth]{tableur.png}
\end{center}

\begin{competence}{comprendre les différents usages du signe égal}
Distinguer une égalité de calcul, une formule, une équation et une affectation,
et utiliser le signe $=$ à bon escient selon le contexte.
\end{competence}

\end{document}
