\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

% Numérotation CALQUÉE sur le HTML des leçons : I / A / 1 / a (façon de planifier
% de l'utilisateur) — indispensable pour retrouver le même plan sur PDF et en ligne.
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\Alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}
\renewcommand{\theparagraph}{\alph{paragraph}}
\setcounter{secnumdepth}{4}   % numérote aussi le 4e niveau (\paragraph → a, b, c)
\makeatletter
\renewcommand{\@seccntformat}[1]{\csname the#1\endcsname.\hspace{0.6em}}
% \paragraph = vrai titre de niveau 4 (sur sa ligne, gras), pas run-in
\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{\z@}%
  {1.4ex \@plus 1ex \@minus .2ex}{0.5ex \@plus .2ex}%
  {\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\usepackage{colortbl}   % \rowcolor / \arrayrulecolor pour tableaux stylés (fiches mémo…)
\usepackage{needspace}  % \needspace{...} : garder un bloc (déf + figure) sur une même page
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,breakable}
\tcbset{lecbox/.style={
    enhanced, breakable, boxrule=0pt, leftrule=4pt, arc=2pt,
    left=10pt, right=8pt, top=6pt, bottom=6pt,
    fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
}}
\newtcolorbox{definition}{lecbox, colback=blue!6, colframe=blue!55!black,
    title={Définition}}
\newtcolorbox{propriete}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Propriété}}
\newtcolorbox{theoreme}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Théorème}}
\newtcolorbox{exemple}{lecbox, colback=green!6, colframe=green!55!black,
    title={Exemple}}
\newtcolorbox{remarque}{lecbox, colback=gray!8, colframe=gray!60!black,
    title={Remarque}}
% Application : reformulation « sur la figure », sans titre, en gris.
\newtcolorbox{application}{enhanced, boxrule=0pt, colback=gray!5,
    borderline west={2pt}{0pt}{gray!50}, left=10pt, right=8pt, top=4pt,
    bottom=4pt, arc=1pt, coltext=black!75}
% Compétence : SEULE boîte à argument — \begin{competence}{intitulé}. Elle DOIT
% vivre ici et jamais dans un corps : pandoc ne sait pas lire une définition de
% macro à paramètre (#1) et abandonne tout le fichier. Côté HTML, pandoc rend
% l'argument en <span> de tête, que _competence_titre() transforme en titre.
\newtcolorbox{competence}[1]{colback=green!4, colframe=green!45!black,
    boxrule=0.6pt, arc=2pt, left=5pt, right=5pt, top=3pt, bottom=3pt,
    title={\textbf{Compétence — #1}}, fonttitle=\small,
    coltitle=white, colbacktitle=green!45!black}
% Symboles maths courants écrits en UNICODE dans le corps (→ copiables en HTML,
% pandoc les passe tels quels) et rendus en PDF via newunicodechar. Évite le
% mode math $...$ qui casse le copier-coller (MathJax non copiable).
\usepackage{newunicodechar}
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\notin}}
\newunicodechar{⊥}{\ensuremath{\perp}}
\newunicodechar{≈}{\ensuremath{\approx}}
\newunicodechar{×}{\ensuremath{\times}}
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leqslant}}
\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geqslant}}
\newunicodechar{°}{\ifmmode{^\circ}\else\textdegree\fi}
\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}}
\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}}
\newunicodechar{÷}{\ensuremath{\div}}
\newunicodechar{−}{\ensuremath{-}}
% numeration : tableau de numération centré. En PDF, simple \begin{center} ;
% en HTML, pandoc émet <div class="numeration"> stylé par css2026/lecon.css
% (couleurs des cellules, perdues sinon car pandoc ignore \cellcolor).
\newenvironment{numeration}{\begin{center}}{\end{center}}
% pose : opération posée (addition/multiplication). En PDF, tabular en
% \ttfamily centré ; en HTML pandoc émet <div class="pose"> (monospace +
% colonnes alignées via css2026/lecon.css). Chiffres copiables.
\newenvironment{pose}{\begin{center}\ttfamily}{\end{center}}
% calcul : un calcul isolé, centré, seul sur sa ligne (jamais coupé en plein
% milieu). En PDF \begin{center}\large ; en HTML pandoc émet <div class="calcul">
% (centré, sans retour ligne interne) via css2026/lecon.css.
\newenvironment{calcul}{\begin{center}\large}{\par\end{center}}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\newcommand{\titre}{Proportionnalité}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 — Cinquième · Organisation et gestion de données}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/proportionnalite.php}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} LEC5PROP}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

% Corps maître « Proportionnalité » (5e). TRANSCRIPTION FIDÈLE du HTML
% (plan I / A-B-C). Tableaux en tabular ; fractions en \dfrac. Leçon sans figure
% (la flèche « ×65 » du HTML est décorative). × via newunicodechar.

\section{Définitions}

\subsection{Grandeur}

\begin{definition}
Une \textbf{grandeur} est une caractéristique d'un objet qui se mesure ou se
calcule : la masse, la longueur, l'aire, le volume, l'angle, la durée, la
vitesse, le prix, le prix au kilo… Elle s'exprime dans une \textbf{unité} (le
dg, le cm, le km², le cm³, le degré, le km/h ou l'euro).
\end{definition}

\subsection{Grandeurs proportionnelles}

\begin{definition}
Deux grandeurs sont \textbf{proportionnelles} lorsque les valeurs de l'une
s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul,
appelé \textbf{coefficient de proportionnalité}.
\end{definition}

Les quantités utilisées en cuisine sont très souvent proportionnelles au nombre
de convives.

\subsection{Tableau de proportionnalité}

Quand ces valeurs proportionnelles sont rangées dans un tableau, on dit que
c'est un \textbf{tableau de proportionnalité}. On fait des crêpes ?

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Nombre de personnes & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
Quantité de farine (g) & 130 & 195 & 260 & 325 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

On passe de la première ligne à la seconde en multipliant par 65 :

\begin{calcul}$2×65=130 \qquad 3×65=195 \qquad 4×65=260 \qquad 5×65=325$\end{calcul}

\section{Compléter un tableau de proportionnalité}

\subsection{Avec le coefficient de proportionnalité}

Une fois le coefficient connu, compléter le tableau est facile. Si on ne le
connaît pas mais qu'on dispose d'un « pont » — une colonne où l'on connaît les
deux grandeurs — un simple quotient le donne :

\begin{calcul}$\dfrac{130}{2}=65$\end{calcul}

\begin{exemple}
Compléter ce tableau de proportionnalité :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 2 & 10 \\ \hline 7 & \phantom{00} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\textbf{Solution.} Le coefficient est $\dfrac{7}{2}=3{,}5$ ; le dernier nombre
est donc $10×3{,}5=35$.
\end{exemple}

\subsection{Par passage à l'unité}

Reprenons l'exemple des crêpes : puisqu'il faut 130 g de farine pour 2
personnes, il en faut $\dfrac{130}{2}=65$ g pour une personne ; il suffit
ensuite de multiplier par le nombre de personnes voulu.

\begin{remarque}
Le passage à l'unité donne aussi le coefficient de proportionnalité.
\end{remarque}

\subsection{Par propriétés des tableaux de proportionnalité}

\begin{propriete}
Dans un tableau de proportionnalité, on peut :
\begin{itemize}
  \item multiplier une colonne par un nombre ;
  \item diviser une colonne par un nombre non nul ;
  \item ajouter deux colonnes ;
  \item soustraire deux colonnes.
\end{itemize}
\end{propriete}

D'autres exemples sont proposés en exercices et activités.

\section{Représenter une situation}

\subsection{L'expression « en fonction de »}

Quand une grandeur \textbf{dépend} d'une autre, on dit qu'on l'étudie
\textbf{en fonction de} cette autre grandeur.

\begin{exemple}
Des tomates sont vendues 3 € le kilogramme. Le prix à payer dépend de la masse
achetée : on étudie donc le \textbf{prix en fonction de la masse}.
\end{exemple}

\subsection{Le tableau de valeurs}

On organise les valeurs dans un \textbf{tableau de valeurs} : la grandeur dont
tout dépend (ici la masse) va sur la \textbf{première ligne}.

\begin{center}\small
\setlength{\tabcolsep}{8pt}\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Masse (en kg) & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
Prix (en €) & 3 & 6 & 9 & 12 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Ici, le prix s'obtient par la \textbf{formule} : prix $= 3 × $ masse.

\subsection{Du tableau au graphique}

Chaque colonne du tableau donne un \textbf{point} : la masse se lit en abscisse,
le prix en ordonnée. Le couple $(2\,;\,6)$ donne le point d'abscisse 2 et
d'ordonnée 6. On place ainsi les quatre points dans un repère.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[>=Stealth,line cap=round,x=1.05cm,y=0.42cm]
  \draw[gray!30] (0,0) grid[xstep=1,ystep=1.5] (5,14);
  \draw[->] (0,0)--(5.5,0) node[below right,font=\small]{masse (kg)};
  \draw[->] (0,0)--(0,15.2) node[above,font=\small]{prix (euros)};
  \foreach \x in {1,...,5} \node[below,font=\small] at (\x,0){\x};
  \foreach \y in {3,6,9,12} \node[left,font=\small] at (0,\y){\y};
  \draw[blue!70!black,thick] (0,0)--(4.7,14.1);
  \foreach \p in {(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)} \fill[red] \p circle(2.6pt);
  \fill[red] (0,0) circle(2.6pt);
  \node[blue!70!black,font=\small,align=left,anchor=west] at (2.4,4.5)
    {les points sont alignés\\ \textbf{avec l'origine}};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\subsection{Reconnaître la proportionnalité sur un graphique}

\begin{propriete}
Une situation est une situation de \textbf{proportionnalité} lorsque les points
sont \textbf{alignés} \emph{et} que la droite qui les porte \textbf{passe par
l'origine} du repère.
\end{propriete}

Sur le graphique précédent, les quatre points sont alignés avec l'origine : le
prix est bien proportionnel à la masse. Le coefficient de proportionnalité, 3,
se lit d'ailleurs sur le point d'abscisse 1.

\subsection{Un contre-exemple}

Un vélo se loue 5 € (frais de dossier), puis 2 € par heure.

\begin{center}\small
\setlength{\tabcolsep}{8pt}\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Durée (en h) & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
Prix (en €) & 7 & 9 & 11 & 13 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[>=Stealth,line cap=round,x=1.05cm,y=0.42cm]
  \draw[gray!30] (0,0) grid[xstep=1,ystep=1.5] (5,14);
  \draw[->] (0,0)--(5.5,0) node[below right,font=\small]{durée (h)};
  \draw[->] (0,0)--(0,15.2) node[above,font=\small]{prix (euros)};
  \foreach \x in {1,...,5} \node[below,font=\small] at (\x,0){\x};
  \foreach \y in {5,7,9,11,13} \node[left,font=\small] at (0,\y){\y};
  \draw[dashed,gray!65] (0,0)--(4.7,14.1);
  \draw[orange!85!black,thick] (0,5)--(4.7,14.4);
  \foreach \p in {(1,7),(2,9),(3,11),(4,13)} \fill[red] \p circle(2.6pt);
  \fill[orange!85!black] (0,5) circle(2.6pt);
  \node[orange!85!black,font=\small,align=left,anchor=west] at (1.9,4.0)
    {la droite \textbf{ne passe pas}\\ \textbf{par l'origine}};
  \node[gray!65!black,font=\footnotesize,anchor=west] at (0.15,12.6)
    {(droite passant par l'origine)};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

Les points sont bien alignés… mais la droite \textbf{ne passe pas par
l'origine} : ce n'est \textbf{pas} une situation de proportionnalité. Le tableau
le confirme : $7 : 1 = 7$ alors que $9 : 2 = 4{,}5$ — il n'y a pas de
coefficient de proportionnalité.

\begin{remarque}
Attention, c'est le piège classique : des points alignés ne suffisent pas ! Il
faut aussi que la droite passe par l'origine. Et si les points ne sont
\textbf{pas alignés du tout}, la situation n'est pas proportionnelle non plus.
\end{remarque}

\end{document}
