\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

% Numérotation CALQUÉE sur le HTML des leçons : I / A / 1 / a (façon de planifier
% de l'utilisateur) — indispensable pour retrouver le même plan sur PDF et en ligne.
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\Alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}
\renewcommand{\theparagraph}{\alph{paragraph}}
\setcounter{secnumdepth}{4}   % numérote aussi le 4e niveau (\paragraph → a, b, c)
\makeatletter
\renewcommand{\@seccntformat}[1]{\csname the#1\endcsname.\hspace{0.6em}}
% \paragraph = vrai titre de niveau 4 (sur sa ligne, gras), pas run-in
\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{\z@}%
  {1.4ex \@plus 1ex \@minus .2ex}{0.5ex \@plus .2ex}%
  {\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\usepackage{colortbl}   % \rowcolor / \arrayrulecolor pour tableaux stylés (fiches mémo…)
\usepackage{needspace}  % \needspace{...} : garder un bloc (déf + figure) sur une même page
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,breakable}
\tcbset{lecbox/.style={
    enhanced, breakable, boxrule=0pt, leftrule=4pt, arc=2pt,
    left=10pt, right=8pt, top=6pt, bottom=6pt,
    fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
}}
\newtcolorbox{definition}{lecbox, colback=blue!6, colframe=blue!55!black,
    title={Définition}}
\newtcolorbox{propriete}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Propriété}}
\newtcolorbox{theoreme}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Théorème}}
\newtcolorbox{exemple}{lecbox, colback=green!6, colframe=green!55!black,
    title={Exemple}}
\newtcolorbox{remarque}{lecbox, colback=gray!8, colframe=gray!60!black,
    title={Remarque}}
% Application : reformulation « sur la figure », sans titre, en gris.
\newtcolorbox{application}{enhanced, boxrule=0pt, colback=gray!5,
    borderline west={2pt}{0pt}{gray!50}, left=10pt, right=8pt, top=4pt,
    bottom=4pt, arc=1pt, coltext=black!75}
% Compétence : SEULE boîte à argument — \begin{competence}{intitulé}. Elle DOIT
% vivre ici et jamais dans un corps : pandoc ne sait pas lire une définition de
% macro à paramètre (#1) et abandonne tout le fichier. Côté HTML, pandoc rend
% l'argument en <span> de tête, que _competence_titre() transforme en titre.
\newtcolorbox{competence}[1]{colback=green!4, colframe=green!45!black,
    boxrule=0.6pt, arc=2pt, left=5pt, right=5pt, top=3pt, bottom=3pt,
    title={\textbf{Compétence — #1}}, fonttitle=\small,
    coltitle=white, colbacktitle=green!45!black}
% Symboles maths courants écrits en UNICODE dans le corps (→ copiables en HTML,
% pandoc les passe tels quels) et rendus en PDF via newunicodechar. Évite le
% mode math $...$ qui casse le copier-coller (MathJax non copiable).
\usepackage{newunicodechar}
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\notin}}
\newunicodechar{⊥}{\ensuremath{\perp}}
\newunicodechar{≈}{\ensuremath{\approx}}
\newunicodechar{×}{\ensuremath{\times}}
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leqslant}}
\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geqslant}}
\newunicodechar{°}{\ifmmode{^\circ}\else\textdegree\fi}
\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}}
\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}}
\newunicodechar{÷}{\ensuremath{\div}}
\newunicodechar{−}{\ensuremath{-}}
% numeration : tableau de numération centré. En PDF, simple \begin{center} ;
% en HTML, pandoc émet <div class="numeration"> stylé par css2026/lecon.css
% (couleurs des cellules, perdues sinon car pandoc ignore \cellcolor).
\newenvironment{numeration}{\begin{center}}{\end{center}}
% pose : opération posée (addition/multiplication). En PDF, tabular en
% \ttfamily centré ; en HTML pandoc émet <div class="pose"> (monospace +
% colonnes alignées via css2026/lecon.css). Chiffres copiables.
\newenvironment{pose}{\begin{center}\ttfamily}{\end{center}}
% calcul : un calcul isolé, centré, seul sur sa ligne (jamais coupé en plein
% milieu). En PDF \begin{center}\large ; en HTML pandoc émet <div class="calcul">
% (centré, sans retour ligne interne) via css2026/lecon.css.
\newenvironment{calcul}{\begin{center}\large}{\par\end{center}}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc,arrows.meta}
% × n'existe pas dans une figure standalone (newunicodechar n'est chargé que dans
% le préambule des leçons) → toujours \times ici.
\newcommand{\titre}{Puissances : carré et cube}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 — Cinquième · Nombres et calculs}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/puissances_5.php}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} LEC5PUIS}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

% Corps maître « Puissances : carré et cube » (5e). Leçon NEUVE, écrite pour le
% programme du cycle 4 (arrêté du 18 février 2026, applicable en 5e à la rentrée
% 2026) : découvrir la notion de puissance et sa notation dans le cas du carré et
% du cube, carrés des entiers de 0 à 12, cube de 10.
% ATTENTION : uniquement des nombres POSITIFS — la multiplication des nombres
% relatifs n'est vue qu'en 4e, donc pas de (−3)² ici.

\begin{center}\itshape
Dans cette leçon, nous allons apprendre à écrire plus court : au lieu de
$5 × 5$, nous écrirons $5^{2}$.
\end{center}

\section{Le carré d'un nombre}

\subsection{Définition et notation}

\begin{definition}
Le \textbf{carré} d'un nombre $a$ est le produit de ce nombre par lui-même. On
le note $a^{2}$ :
\[ a^{2} = a × a \]
Le petit 2 s'appelle l'\textbf{exposant}. On lit « $a$ au carré », ou « $a$
exposant 2 ».
\end{definition}

\begin{calcul}$5^{2} = 5 × 5 = 25$\end{calcul}
\begin{calcul}$1{,}2^{2} = 1{,}2 × 1{,}2 = 1{,}44$\end{calcul}

\begin{remarque}
$5^{2}$ ne veut \textbf{pas} dire $5 × 2$ ! L'exposant 2 indique \textbf{combien
de fois} le nombre 5 est multiplié par lui-même, il ne se multiplie pas.
\end{remarque}

\subsection{Pourquoi « carré » ?}

Parce que l'aire d'un carré de côté $a$ vaut justement $a × a$, c'est-à-dire
$a^{2}$.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \draw[fill=blue!8] (0,0) rectangle (3,3);
  \draw[<->,gray!70!black,thin] (0,-0.35)--(3,-0.35) node[midway,below,black]{$a$};
  \draw[<->,gray!70!black,thin] (-0.35,0)--(-0.35,3) node[midway,left,black]{$a$};
  \node at (1.5,1.5) {aire $= a \times a = a^{2}$};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

Un carré de côté 5 cm a donc pour aire $5^{2} = 25$ cm².

\subsection{Les carrés des entiers de 0 à 12}

Ces carrés sont à \textbf{connaître par cœur} : ils servent partout (aires,
Pythagore en 4e, calcul mental…).

\begin{center}\small
\setlength{\tabcolsep}{5pt}\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$a$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline
$a^{2}$ & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 & 64 & 81 & 100 & 121 & 144 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Écrire un nombre sous la forme d'un carré}

En lisant le tableau à l'envers :

\begin{calcul}$49 = 7^{2} \qquad 81 = 9^{2} \qquad 144 = 12^{2}$\end{calcul}

\section{Le cube d'un nombre}

\subsection{Définition et notation}

\begin{definition}
Le \textbf{cube} d'un nombre $a$ est le produit de ce nombre par lui-même
\textbf{trois fois}. On le note $a^{3}$ :
\[ a^{3} = a × a × a \]
On lit « $a$ au cube », ou « $a$ exposant 3 ».
\end{definition}

\begin{calcul}$2^{3} = 2 × 2 × 2 = 8$\end{calcul}
\begin{calcul}$5^{3} = 5 × 5 × 5 = 125$\end{calcul}

\subsection{Pourquoi « cube » ?}

Parce que le volume d'un cube d'arête $a$ vaut $a × a × a$, c'est-à-dire $a^{3}$.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick,>=Stealth]
  % cube en perspective cavalière : face avant + fuyantes à 45°
  \fill[blue!8] (0,0) rectangle (3,3);
  \draw[dashed,gray!80] (0,0)--(1.05,1.05);            % arêtes cachées
  \draw[dashed,gray!80] (1.05,1.05)--(4.05,1.05);
  \draw[dashed,gray!80] (1.05,1.05)--(1.05,4.05);
  \draw (0,0) rectangle (3,3);                          % face avant
  \draw (3,0)--(4.05,1.05)--(4.05,4.05)--(3,3);         % face droite
  \draw (0,3)--(1.05,4.05)--(4.05,4.05);                % face du dessus
  \draw[<->,gray!70!black,thin] (0,-0.35)--(3,-0.35) node[midway,below,black]{$a$};
  \draw[<->,gray!70!black,thin] (-0.35,0)--(-0.35,3) node[midway,left,black]{$a$};
  \node[right,font=\small] at (4.4,2.0) {volume $= a \times a \times a = a^{3}$};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

Un cube d'arête 2 cm a donc pour volume $2^{3} = 8$ cm³.

\subsection{Le cube de 10}

\begin{propriete}
\[ 10^{2} = 100 \qquad\text{et}\qquad 10^{3} = 1\,000 \]
L'exposant indique le nombre de \textbf{zéros} : $10^{3}$ s'écrit avec un 1 suivi
de \textbf{trois} zéros.
\end{propriete}

Un cube d'arête 10 cm a pour volume $10^{3} = 1\,000$ cm³, soit exactement 1 litre.

\subsection{Écrire un nombre sous la forme d'un cube}

\begin{calcul}$8 = 2^{3} \qquad 27 = 3^{3} \qquad 1\,000 = 10^{3}$\end{calcul}

\begin{remarque}
Un même nombre peut s'écrire de plusieurs façons : $64 = 8^{2}$, et aussi
$64 = 4^{3}$ (car $4 × 4 × 4 = 64$).
\end{remarque}

\section{Calculer avec des puissances}

\subsection{Priorité des puissances}

\begin{propriete}
Dans un calcul, on effectue les \textbf{puissances en premier}, avant les
multiplications, puis les additions et les soustractions (les parenthèses restant
toujours prioritaires).
\end{propriete}

\begin{calcul}$3 + 2 × 5^{2} = 3 + 2 × 25 = 3 + 50 = 53$\end{calcul}
\begin{calcul}$4 × 3^{2} = 4 × 9 = 36$\end{calcul}

\begin{remarque}
Attention au piège : $(3 + 2)^{2} = 5^{2} = 25$, alors que
$3^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13$. Les parenthèses changent tout !
\end{remarque}

\subsection{Avec une expression littérale}

Pour calculer la valeur d'une expression littérale, on remplace la lettre par sa
valeur, puis on calcule en respectant les priorités.

\textbf{Exemple.} Calculer $a^{2} + 3a$ pour $a = 4$.

\begin{align*}
a^{2} + 3a &= 4^{2} + 3 × 4 \\
           &= 16 + 12 \\
           &= 28
\end{align*}

\subsection{Exercice témoin}

Calculer $A = 2 × 6^{2}$, $B = (2 × 6)^{2}$ et $C = b^{3} - 5b$ pour $b = 3$.

\begin{exemple}
\begin{align*}
A &= 2 × 6^{2} = 2 × 36 = 72 \\
B &= (2 × 6)^{2} = 12^{2} = 144 \\
C &= 3^{3} - 5 × 3 = 27 - 15 = 12
\end{align*}
A et B sont bien différents : dans A on élève 6 au carré, dans B on élève le
produit $2 × 6$ au carré.
\end{exemple}

\end{document}
