\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

% Numérotation CALQUÉE sur le HTML des leçons : I / A / 1 / a (façon de planifier
% de l'utilisateur) — indispensable pour retrouver le même plan sur PDF et en ligne.
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\Alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}
\renewcommand{\theparagraph}{\alph{paragraph}}
\setcounter{secnumdepth}{4}   % numérote aussi le 4e niveau (\paragraph → a, b, c)
\makeatletter
\renewcommand{\@seccntformat}[1]{\csname the#1\endcsname.\hspace{0.6em}}
% \paragraph = vrai titre de niveau 4 (sur sa ligne, gras), pas run-in
\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{\z@}%
  {1.4ex \@plus 1ex \@minus .2ex}{0.5ex \@plus .2ex}%
  {\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\usepackage{colortbl}   % \rowcolor / \arrayrulecolor pour tableaux stylés (fiches mémo…)
\usepackage{needspace}  % \needspace{...} : garder un bloc (déf + figure) sur une même page
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,breakable}
\tcbset{lecbox/.style={
    enhanced, breakable, boxrule=0pt, leftrule=4pt, arc=2pt,
    left=10pt, right=8pt, top=6pt, bottom=6pt,
    fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
}}
\newtcolorbox{definition}{lecbox, colback=blue!6, colframe=blue!55!black,
    title={Définition}}
\newtcolorbox{propriete}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Propriété}}
\newtcolorbox{theoreme}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Théorème}}
\newtcolorbox{exemple}{lecbox, colback=green!6, colframe=green!55!black,
    title={Exemple}}
\newtcolorbox{remarque}{lecbox, colback=gray!8, colframe=gray!60!black,
    title={Remarque}}
% Application : reformulation « sur la figure », sans titre, en gris.
\newtcolorbox{application}{enhanced, boxrule=0pt, colback=gray!5,
    borderline west={2pt}{0pt}{gray!50}, left=10pt, right=8pt, top=4pt,
    bottom=4pt, arc=1pt, coltext=black!75}
% Compétence : SEULE boîte à argument — \begin{competence}{intitulé}. Elle DOIT
% vivre ici et jamais dans un corps : pandoc ne sait pas lire une définition de
% macro à paramètre (#1) et abandonne tout le fichier. Côté HTML, pandoc rend
% l'argument en <span> de tête, que _competence_titre() transforme en titre.
\newtcolorbox{competence}[1]{colback=green!4, colframe=green!45!black,
    boxrule=0.6pt, arc=2pt, left=5pt, right=5pt, top=3pt, bottom=3pt,
    title={\textbf{Compétence — #1}}, fonttitle=\small,
    coltitle=white, colbacktitle=green!45!black}
% Symboles maths courants écrits en UNICODE dans le corps (→ copiables en HTML,
% pandoc les passe tels quels) et rendus en PDF via newunicodechar. Évite le
% mode math $...$ qui casse le copier-coller (MathJax non copiable).
\usepackage{newunicodechar}
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\notin}}
\newunicodechar{⊥}{\ensuremath{\perp}}
\newunicodechar{≈}{\ensuremath{\approx}}
\newunicodechar{×}{\ensuremath{\times}}
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leqslant}}
\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geqslant}}
\newunicodechar{°}{\ifmmode{^\circ}\else\textdegree\fi}
\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}}
\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}}
\newunicodechar{÷}{\ensuremath{\div}}
\newunicodechar{−}{\ensuremath{-}}
% numeration : tableau de numération centré. En PDF, simple \begin{center} ;
% en HTML, pandoc émet <div class="numeration"> stylé par css2026/lecon.css
% (couleurs des cellules, perdues sinon car pandoc ignore \cellcolor).
\newenvironment{numeration}{\begin{center}}{\end{center}}
% pose : opération posée (addition/multiplication). En PDF, tabular en
% \ttfamily centré ; en HTML pandoc émet <div class="pose"> (monospace +
% colonnes alignées via css2026/lecon.css). Chiffres copiables.
\newenvironment{pose}{\begin{center}\ttfamily}{\end{center}}
% calcul : un calcul isolé, centré, seul sur sa ligne (jamais coupé en plein
% milieu). En PDF \begin{center}\large ; en HTML pandoc émet <div class="calcul">
% (centré, sans retour ligne interne) via css2026/lecon.css.
\newenvironment{calcul}{\begin{center}\large}{\par\end{center}}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\newcommand{\titre}{Repérage}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 — Cinquième · Nombres relatifs et repérage}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/reperage.php}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} LEC5REP}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

% Corps maître « Repérage » (5e). TRANSCRIPTION FIDÈLE du HTML (plan I/A/1).
% Droites graduées + repères du plan en TikZ. − et × via newunicodechar.

\begin{center}\itshape
Dans cette leçon, nous allons découvrir comment repérer des points sur une
droite graduée, puis dans un repère du plan.
\end{center}

\section{Repérage sur une droite}

\subsection{C'est quoi une droite graduée ?}

\subsubsection{Définition 1}

On se donne une droite. On choisit un point de cette droite comme
\textbf{origine}, appelé O, puis un autre point, appelé I. Le point I a deux
utilités : la longueur OI définit l'\textbf{unité} de la droite, et on gradue la
droite à partir de O en direction de I.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.8\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[>=Stealth,line cap=round]
  \draw[->] (-5.6,0)--(5.6,0);
  \foreach \x in {-5,...,5} \draw (\x,0.12)--(\x,-0.12);
  \foreach \x in {-5,...,5} \node[below] at (\x,-0.12){$\x$};
  \fill (0,0) circle(2pt) node[above=3pt]{O};
  \fill (1,0) circle(2pt) node[above=3pt]{I};
  \draw[|<->|,thick,blue!60!black] (0,0.55)--(1,0.55) node[midway,above]{\footnotesize unité};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\subsubsection{Remarques}

On place traditionnellement I à droite de O (car nous lisons de gauche à
droite). Ainsi, à gauche de O se trouvent les nombres \textbf{négatifs}
(précédés d'un « − ») et à droite les nombres \textbf{positifs} (écrits avec un
« + » ou sans signe). Ces nombres sont appelés \textbf{nombres relatifs}.

\begin{definition}
Un nombre est \textbf{strictement positif} s'il est positif et différent de
zéro. Il est \textbf{strictement négatif} s'il est négatif et différent de zéro.
\end{definition}

\begin{remarque}
Zéro est le seul nombre relatif à la fois positif et négatif :
$0 = +0 = -0$. Il n'est donc ni strictement positif, ni strictement négatif.
\end{remarque}

\subsubsection{Définition 2}

Sur une droite graduée, tout point est repéré par un nombre relatif : son
\textbf{abscisse}.

\subsubsection{Exemples}

Plaçons le point A d'abscisse 4 :

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.8\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[>=Stealth,line cap=round]
  \draw[->] (-5.6,0)--(5.6,0);
  \foreach \x in {-5,...,5} \draw (\x,0.12)--(\x,-0.12) ;
  \foreach \x in {-5,...,5} \node[below] at (\x,-0.12){$\x$};
  \fill (0,0) circle(1.6pt) node[above=3pt]{\footnotesize O};
  \fill[red!70!black] (4,0) circle(2.4pt) node[above=3pt]{A};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

Puis le point B d'abscisse $-3$ :

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.8\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[>=Stealth,line cap=round]
  \draw[->] (-5.6,0)--(5.6,0);
  \foreach \x in {-5,...,5} \draw (\x,0.12)--(\x,-0.12) ;
  \foreach \x in {-5,...,5} \node[below] at (\x,-0.12){$\x$};
  \fill (0,0) circle(1.6pt) node[above=3pt]{\footnotesize O};
  \fill[red!70!black] (4,0) circle(2.4pt) node[above=3pt]{A};
  \fill[blue!70!black] (-3,0) circle(2.4pt) node[above=3pt]{B};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\subsection{Valeur absolue}

Dans les exemples précédents, le segment $[OA]$ mesure 4 unités et $[OB]$ mesure
3 unités : c'est la distance qui sépare chaque point de l'origine, c'est-à-dire
sa distance à zéro. En mathématiques, cette distance porte un nom.

\begin{definition}
La \textbf{valeur absolue} d'un nombre relatif est sa \textbf{distance à zéro}
sur la droite graduée.
\end{definition}

\begin{itemize}
  \item valeur absolue de $4$ : $4$ ;
  \item valeur absolue de $-3$ : $3$.
\end{itemize}

\begin{propriete}
La valeur absolue est toujours \textbf{positive}. Pour la trouver, il suffit
d'« oublier » le signe du nombre relatif.
\end{propriete}

\begin{remarque}
Au lycée, et souvent dès le collège, on note la valeur absolue de $a$ entre deux
barres verticales : $\lvert a \rvert$. Ainsi, deux nombres opposés ont la même
valeur absolue : $\lvert -3 \rvert = \lvert 3 \rvert = 3$.
\end{remarque}

\subsection{Nombres relatifs opposés}

\subsubsection{Définition}

\begin{definition}
Deux nombres relatifs sont \textbf{opposés} lorsqu'ils ont la même valeur
absolue (la même distance à zéro) mais des signes contraires.
\end{definition}

\subsubsection{Exemples}

\begin{itemize}
  \item $5$ et $-5$ sont opposés ;
  \item $-3{,}2$ et $3{,}2$ sont opposés ;
  \item l'opposé de $1$ est $-1$ ;
  \item l'opposé de $0$ est… $0$.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercice classique}

Place sur cette droite les points A$'$ et B$'$ ayant pour abscisses les opposés
de ceux des points A et B.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.8\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[>=Stealth,line cap=round]
  \draw[->] (-5.6,0)--(5.6,0);
  \foreach \x in {-5,...,5} \draw (\x,0.12)--(\x,-0.12) ;
  \foreach \x in {-5,...,5} \node[below] at (\x,-0.12){$\x$};
  \fill (0,0) circle(1.6pt) node[above=3pt]{\footnotesize O};
  \fill[red!70!black] (4,0) circle(2.4pt) node[above=3pt]{A};
  \fill[blue!70!black] (-3,0) circle(2.4pt) node[above=3pt]{B};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\subsubsection{Correction}

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.8\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[>=Stealth,line cap=round]
  \draw[->] (-5.6,0)--(5.6,0);
  \foreach \x in {-5,...,5} \draw (\x,0.12)--(\x,-0.12) ;
  \foreach \x in {-5,...,5} \node[below] at (\x,-0.12){$\x$};
  \fill (0,0) circle(1.6pt) node[above=3pt]{\footnotesize O};
  \fill[red!70!black] (4,0) circle(2.4pt) node[above=3pt]{A};
  \fill[blue!70!black] (-3,0) circle(2.4pt) node[above=3pt]{B};
  \fill[red!70!black] (-4,0) circle(2.4pt) node[above=3pt]{A'};
  \fill[blue!70!black] (3,0) circle(2.4pt) node[above=3pt]{B'};
  \draw[<->,red!60!black,dashed] (-4,-0.7) to[bend right=18] node[midway,below]{\footnotesize opposés} (4,-0.7);
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\subsection{Comparaison des nombres relatifs}

\subsubsection{Visuellement}

Sur une droite graduée (I à droite de O), les abscisses sont rangées dans
l'ordre croissant : plus un point est à gauche, plus son abscisse est petite.

\subsubsection{Exemple}

\begin{calcul}$-4 < -3 < 0 < 1 < 3 < 4$\end{calcul}

\subsubsection{Propriétés}

\begin{propriete}
\textbf{1.} De deux nombres relatifs de signes contraires, le plus grand est le
positif : $\quad -3 < 4$.

\smallskip
\textbf{2.} Deux nombres positifs sont rangés selon leur valeur absolue
(plus un nombre positif est proche de zéro, plus il est petit) : $\quad 3 < 4$.

\smallskip
\textbf{3.} Deux nombres négatifs sont rangés dans l'ordre inverse de leur
valeur absolue (plus un nombre négatif est proche de zéro, plus il est
grand) : $\quad -4 < -3$.
\end{propriete}

\section{Repérage dans le plan}

\subsection{C'est quoi un repère ?}

\subsubsection{Exemple}

Imagine une carte au trésor ! Pour le trouver, tu as besoin de deux
informations : combien de pas aller à droite ou à gauche (l'\textbf{abscisse}),
et combien de pas aller en haut ou en bas (l'\textbf{ordonnée}). À partir de
l'origine O : avancer de 3 pas vers la droite, puis monter de 2 pas. On note la
position du trésor : $A\,(3\,;\,2)$.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.52\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[>=Stealth,line cap=round]
  \draw[help lines,gray!35] (-1,-1) grid (5,4);
  \draw[->] (-1.3,0)--(5.4,0) node[right]{\footnotesize $x$};
  \draw[->] (0,-1.3)--(0,4.4) node[above]{\footnotesize $y$};
  \node[below left] at (0,0){O};
  \foreach \x in {1,2,3,4} \node[below] at (\x,-0.08){\footnotesize $\x$};
  \foreach \y in {1,2,3} \node[left] at (-0.08,\y){\footnotesize $\y$};
  \draw[dashed,red!70!black] (3,0)--(3,2)--(0,2);
  \fill[red!70!black] (3,2) circle(2.4pt) node[above right]{A (3\,;\,2)};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\subsubsection{Un deuxième exemple}

La position du trésor est : $B\,(2\,;\,-3)$.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.52\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[>=Stealth,line cap=round]
  \draw[help lines,gray!35] (-1,-4) grid (4,2);
  \draw[->] (-1.3,0)--(4.4,0) node[right]{\footnotesize $x$};
  \draw[->] (0,-4.3)--(0,2.4) node[above]{\footnotesize $y$};
  \node[above left] at (0,0){O};
  \foreach \x in {1,2,3} \node[above] at (\x,0.08){\footnotesize $\x$};
  \foreach \y in {-3,-2,-1,1} \node[left] at (-0.08,\y){\footnotesize $\y$};
  \draw[dashed,blue!70!black] (2,0)--(2,-3)--(0,-3);
  \fill[blue!70!black] (2,-3) circle(2.4pt) node[below right]{B (2\,;\,-3)};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\subsection{Vocabulaire important}

\subsubsection{Définition 1}

\begin{definition}
Un \textbf{repère orthogonal} du plan est composé de deux droites graduées
perpendiculaires ayant la même origine. L'axe horizontal est l'\textbf{axe des
abscisses}, l'axe vertical est l'\textbf{axe des ordonnées}.
\end{definition}

\subsubsection{Définition 2}

\begin{definition}
Chaque point est repéré par deux nombres appelés \textbf{coordonnées} :
l'abscisse ($x$) et l'ordonnée ($y$).
\end{definition}

\subsubsection{Retour aux exemples}

\begin{itemize}
  \item les coordonnées de A sont $(3\,;\,2)$ ;
  \item l'ordonnée de B est $-3$ ;
  \item l'abscisse de A est $3$.
\end{itemize}

\subsubsection{Pour terminer}

\begin{propriete}
Deux points ayant la même abscisse sont sur une même droite \textbf{verticale}.
Deux points ayant la même ordonnée sont sur une même droite \textbf{horizontale}.
\end{propriete}

\end{document}
