\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

% Numérotation CALQUÉE sur le HTML des leçons : I / A / 1 / a (façon de planifier
% de l'utilisateur) — indispensable pour retrouver le même plan sur PDF et en ligne.
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\Alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}
\renewcommand{\theparagraph}{\alph{paragraph}}
\setcounter{secnumdepth}{4}   % numérote aussi le 4e niveau (\paragraph → a, b, c)
\makeatletter
\renewcommand{\@seccntformat}[1]{\csname the#1\endcsname.\hspace{0.6em}}
% \paragraph = vrai titre de niveau 4 (sur sa ligne, gras), pas run-in
\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{\z@}%
  {1.4ex \@plus 1ex \@minus .2ex}{0.5ex \@plus .2ex}%
  {\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\usepackage{colortbl}   % \rowcolor / \arrayrulecolor pour tableaux stylés (fiches mémo…)
\usepackage{needspace}  % \needspace{...} : garder un bloc (déf + figure) sur une même page
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,breakable}
\tcbset{lecbox/.style={
    enhanced, breakable, boxrule=0pt, leftrule=4pt, arc=2pt,
    left=10pt, right=8pt, top=6pt, bottom=6pt,
    fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
}}
\newtcolorbox{definition}{lecbox, colback=blue!6, colframe=blue!55!black,
    title={Définition}}
\newtcolorbox{propriete}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Propriété}}
\newtcolorbox{theoreme}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Théorème}}
\newtcolorbox{exemple}{lecbox, colback=green!6, colframe=green!55!black,
    title={Exemple}}
\newtcolorbox{remarque}{lecbox, colback=gray!8, colframe=gray!60!black,
    title={Remarque}}
% Application : reformulation « sur la figure », sans titre, en gris.
\newtcolorbox{application}{enhanced, boxrule=0pt, colback=gray!5,
    borderline west={2pt}{0pt}{gray!50}, left=10pt, right=8pt, top=4pt,
    bottom=4pt, arc=1pt, coltext=black!75}
% Compétence : SEULE boîte à argument — \begin{competence}{intitulé}. Elle DOIT
% vivre ici et jamais dans un corps : pandoc ne sait pas lire une définition de
% macro à paramètre (#1) et abandonne tout le fichier. Côté HTML, pandoc rend
% l'argument en <span> de tête, que _competence_titre() transforme en titre.
\newtcolorbox{competence}[1]{colback=green!4, colframe=green!45!black,
    boxrule=0.6pt, arc=2pt, left=5pt, right=5pt, top=3pt, bottom=3pt,
    title={\textbf{Compétence — #1}}, fonttitle=\small,
    coltitle=white, colbacktitle=green!45!black}
% Symboles maths courants écrits en UNICODE dans le corps (→ copiables en HTML,
% pandoc les passe tels quels) et rendus en PDF via newunicodechar. Évite le
% mode math $...$ qui casse le copier-coller (MathJax non copiable).
\usepackage{newunicodechar}
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\notin}}
\newunicodechar{⊥}{\ensuremath{\perp}}
\newunicodechar{≈}{\ensuremath{\approx}}
\newunicodechar{×}{\ensuremath{\times}}
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leqslant}}
\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geqslant}}
\newunicodechar{°}{\ifmmode{^\circ}\else\textdegree\fi}
\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}}
\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}}
\newunicodechar{÷}{\ensuremath{\div}}
\newunicodechar{−}{\ensuremath{-}}
% numeration : tableau de numération centré. En PDF, simple \begin{center} ;
% en HTML, pandoc émet <div class="numeration"> stylé par css2026/lecon.css
% (couleurs des cellules, perdues sinon car pandoc ignore \cellcolor).
\newenvironment{numeration}{\begin{center}}{\end{center}}
% pose : opération posée (addition/multiplication). En PDF, tabular en
% \ttfamily centré ; en HTML pandoc émet <div class="pose"> (monospace +
% colonnes alignées via css2026/lecon.css). Chiffres copiables.
\newenvironment{pose}{\begin{center}\ttfamily}{\end{center}}
% calcul : un calcul isolé, centré, seul sur sa ligne (jamais coupé en plein
% milieu). En PDF \begin{center}\large ; en HTML pandoc émet <div class="calcul">
% (centré, sans retour ligne interne) via css2026/lecon.css.
\newenvironment{calcul}{\begin{center}\large}{\par\end{center}}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc}
% \tk : codage « même longueur » (petit trait au milieu d'un segment)
\providecommand{\tk}[2]{\draw[line width=0.7pt] ($($(#1)!.5!(#2)$)!4pt!90:(#2)$)--($($(#1)!.5!(#2)$)!4pt!-90:(#2)$);}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc}
% Exercice témoin : configuration du HTML (1 carreau = 25 px à l'origine),
% grille agrandie pour laisser la place à la construction.
% ATTENTION : step=1 (nombre) = 1 unité du repère. Sans lui, TikZ prend un pas
% de 1 cm ≠ 1 unité (x=0.7cm) → quadrillage décalé sous les points.
\providecommand{\croix}[3]{%
  \draw[#1,line width=1.3pt] ($(#2)+(-4pt,0)$)--($(#2)+(4pt,0)$);
  \draw[#1,line width=1.3pt] ($(#2)+(0,-4pt)$)--($(#2)+(0,4pt)$);
  \node[#1,font=\bfseries,fill=white,inner sep=1pt,above right=1pt] at (#2) {#3};}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc}
% step=1 (nombre) = 1 unité du repère : sans lui TikZ quadrille tous les 1 cm,
% qui ne coïncide pas avec l'unité (x=0.8cm) → points hors des intersections.
\providecommand{\croix}[3]{%
  \draw[#1,line width=1.3pt] ($(#2)+(-4pt,0)$)--($(#2)+(4pt,0)$);
  \draw[#1,line width=1.3pt] ($(#2)+(0,-4pt)$)--($(#2)+(0,4pt)$);
  \node[#1,font=\bfseries,fill=white,inner sep=1pt,above right=1pt] at (#2) {#3};}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc,arrows.meta}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc}
\providecommand{\tk}[2]{\draw[line width=0.7pt] ($($(#1)!.5!(#2)$)!4pt!90:(#2)$)--($($(#1)!.5!(#2)$)!4pt!-90:(#2)$);}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc,angles,quotes}
\newcommand{\titre}{Symétrie centrale}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 — Cinquième · Géométrie}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/symetrie-centrale.php}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} LEC5SYMC}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

% Corps maître « Symétrie centrale » (5e). TRANSCRIPTION du HTML (plan I/A/1).
% Vocabulaire du programme 2026 : « demi-tour, ou symétrie centrale ».
% Figures géométriques en TikZ (fig/sym_*.tex). − et × via newunicodechar.

\begin{center}\itshape
Le demi-tour, aussi appelé symétrie centrale, est la transformation qui fait
tourner une figure d'un demi-tour (180°) autour d'un point appelé le centre.
Dans cette leçon, les deux mots désignent la même chose.
\end{center}

\section{Symétrique d'un point}

\subsection{Définition}

\begin{definition}
Le \textbf{demi-tour} (ou \textbf{symétrie centrale}) de centre I associe à un
point A le point A$'$, appelé \textbf{symétrique de A par rapport à I}, tel que
I soit le \textbf{milieu} du segment $[AA']$.
\end{definition}

Autrement dit : soit un segment $[AB]$ et son milieu I, on dit que A et B sont
symétriques par rapport à I.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (I) at (2.6,0);
  \coordinate (B) at (5.2,0);
  \draw (A)--(B);
  \tk{A}{I}\tk{I}{B}
  \fill (A) circle(2pt) node[above=4pt]{A};
  \fill[red] (I) circle(2pt) node[above=4pt,red]{I};
  \fill (B) circle(2pt) node[above=4pt]{B};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\subsection{Exercice témoin : symétrique par rapport à un point sur quadrillage}

Les points M et M$'$ sont symétriques par rapport à un point V.

\begin{enumerate}
  \item Réaliser cette figure et placer le point V.
  \item Placer les symétriques D$'$ et L$'$ des points D et L par rapport au
        point V.
\end{enumerate}

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.85\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,x=0.8cm,y=0.8cm]
  \draw[gray!60,step=1,line width=0.4pt] (0,0) grid (16,8);
  \draw[gray!90,line width=0.9pt] (0,0) rectangle (16,8);
  \coordinate (M)  at (4,3);
  \coordinate (Mp) at (12,5);
  \coordinate (D)  at (6,7);
  \coordinate (L)  at (1,7);
  \croix{red}{M}{M}
  \croix{red}{Mp}{M'}
  \croix{blue}{D}{D}
  \croix{green!55!black}{L}{L}
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\subsubsection{Correction}

V est le \textbf{milieu} de $[MM']$ : on le place au croisement des lignes du
quadrillage. Pour D$'$, on reproduit à partir de V le déplacement qui va de D à
V ; on fait de même pour L$'$.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.85\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,x=0.8cm,y=0.8cm]
  \draw[gray!60,step=1,line width=0.4pt] (0,0) grid (16,8);
  \draw[gray!90,line width=0.9pt] (0,0) rectangle (16,8);
  \coordinate (M)  at (4,3);
  \coordinate (Mp) at (12,5);
  \coordinate (D)  at (6,7);
  \coordinate (L)  at (1,7);
  \coordinate (V)  at (8,4);   % milieu de [MM']
  \coordinate (Dp) at (10,1);  % symétrique de D par rapport à V
  \coordinate (Lp) at (15,1);  % symétrique de L par rapport à V
  \draw[red!75,dashed,line width=0.9pt] (M)--(Mp);
  \draw[blue!75,dashed,line width=0.9pt] (D)--(Dp);
  \draw[green!55!black,dashed,line width=0.9pt] (L)--(Lp);
  \croix{red}{M}{M}
  \croix{red}{Mp}{M'}
  \croix{blue}{D}{D}
  \croix{green!55!black}{L}{L}
  \croix{violet}{V}{V}
  \croix{blue}{Dp}{D'}
  \croix{green!55!black}{Lp}{L'}
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\subsection{Construction du symétrique d'un point par rapport à un point}

Traçons le symétrique de A par rapport à I.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (I) at (2.4,1.2);
  \fill (A) circle(2pt) node[below left]{A};
  \fill[red] (I) circle(2pt) node[below right,red]{I};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\textbf{1.} On commence par tracer la demi-droite $[AI)$, que l'on prolonge
suffisamment.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[>=Stealth,line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (I) at (2.4,1.2);
  \draw[blue!70!black,->] (A)--($(A)!2.4!(I)$);
  \fill (A) circle(2pt) node[below left]{A};
  \fill[red] (I) circle(2pt) node[below right,red]{I};
  \node[blue!70!black,above left,font=\small] at ($(A)!1.9!(I)$) {$[AI)$};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\textbf{2.} Le cercle de centre I et de rayon IA recoupe la demi-droite $[AI)$
en A$'$.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[>=Stealth,line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (I) at (2.4,1.2);
  \coordinate (Ap) at (4.8,2.4);   % symétrique de A par rapport à I
  \draw[blue!70!black,->] (A)--($(A)!1.7!(I)$);
  \draw[orange!85!black] (I) circle ({sqrt(2.4*2.4+1.2*1.2)});
  \fill (A) circle(2pt) node[below left]{A};
  \fill[red] (I) circle(2pt) node[below right,red]{I};
  \fill (Ap) circle(2pt) node[below right]{A'};
  \node[orange!85!black,font=\small] at (2.4,-1.9) {cercle de centre I et de rayon IA};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\textbf{3.} On n'oublie pas de coder !

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (I) at (2.4,1.2);
  \coordinate (Ap) at (4.8,2.4);
  \draw (A)--(Ap);
  \tk{A}{I}\tk{I}{Ap}
  \fill (A) circle(2pt) node[below left]{A};
  \fill[red] (I) circle(2pt) node[below right,red]{I};
  \fill (Ap) circle(2pt) node[below right]{A'};
  \node[font=\small] at (2.4,-0.9) {I est le milieu de $[AA']$ : on code $IA = IA'$};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\section{Symétrique d'un segment, d'une droite}

\subsection{Le segment}

\begin{propriete}
L'image d'un segment par un demi-tour (symétrie centrale) est un segment de
\textbf{même longueur}.
\end{propriete}

Pour construire le symétrique du segment $[AB]$ par le demi-tour de centre O, il
suffit de tracer le segment $[A'B']$, où A$'$ et B$'$ sont les symétriques
respectifs de A et B.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (O)  at (0,0);
  \coordinate (A)  at (-2.6,1.5);
  \coordinate (B)  at (-0.7,2.3);
  \coordinate (Ap) at (2.6,-1.5);
  \coordinate (Bp) at (0.7,-2.3);
  \draw[gray!60,dashed] (A)--(Ap);
  \draw[gray!60,dashed] (B)--(Bp);
  \draw[blue!70!black] (A)--(B);
  \draw[red!75!black] (Ap)--(Bp);
  \tk{A}{B}\tk{Ap}{Bp}
  \fill[red] (O) circle(2pt) node[below right=1pt,red]{O};
  \fill (A) circle(2pt) node[above left]{A};
  \fill (B) circle(2pt) node[above right]{B};
  \fill (Ap) circle(2pt) node[below right]{A'};
  \fill (Bp) circle(2pt) node[below left]{B'};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\subsection{La droite}

\begin{propriete}
L'image d'une droite par un demi-tour (symétrie centrale) est une droite qui lui
est \textbf{parallèle}.
\end{propriete}

Pour construire le symétrique de la droite $(AB)$ par le demi-tour de centre O,
il suffit de tracer la droite $(A'B')$, où A$'$ et B$'$ sont les symétriques
respectifs de A et B.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (O)  at (0,0);
  \coordinate (A)  at (-2.6,1.5);
  \coordinate (B)  at (-0.7,2.3);
  \coordinate (Ap) at (2.6,-1.5);
  \coordinate (Bp) at (0.7,-2.3);
  \draw[gray!60,dashed] (A)--(Ap);
  \draw[gray!60,dashed] (B)--(Bp);
  \draw[blue!70!black] ($(A)!-0.5!(B)$)--($(B)!-1.4!(A)$) node[above right,font=\small]{$(AB)$};
  \draw[red!75!black] ($(Ap)!-0.5!(Bp)$)--($(Bp)!-1.4!(Ap)$) node[above right,font=\small]{$(A'B')$};
  \fill[red] (O) circle(2pt) node[above right=1pt,red]{O};
  \fill (A) circle(2pt) node[above left]{A};
  \fill (B) circle(2pt) node[above right]{B};
  \fill (Ap) circle(2pt) node[below left]{A'};
  \fill (Bp) circle(2pt) node[below left]{B'};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\section{Propriétés du demi-tour}

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (O)  at (0,0);
  \coordinate (A)  at (-3.4,1.1);
  \coordinate (B)  at (-1.8,2.7);
  \coordinate (C)  at (-1.2,0.8);
  \coordinate (Ap) at (3.4,-1.1);
  \coordinate (Bp) at (1.8,-2.7);
  \coordinate (Cp) at (1.2,-0.8);
  \draw[gray!60,dashed] (A)--(Ap);
  \draw[gray!60,dashed] (B)--(Bp);
  \draw[gray!60,dashed] (C)--(Cp);
  \draw[blue!70!black,fill=blue!8] (A)--(B)--(C)--cycle;
  \draw[red!75!black,fill=red!8] (Ap)--(Bp)--(Cp)--cycle;
  \path pic[draw,angle radius=11pt]{angle=C--A--B};
  \path pic[draw,angle radius=11pt]{angle=Cp--Ap--Bp};
  \fill[red] (O) circle(2pt) node[above right=1pt,red]{O};
  \fill (A) circle(1.6pt) node[left]{A};
  \fill (B) circle(1.6pt) node[above]{B};
  \fill (C) circle(1.6pt) node[below right]{C};
  \fill (Ap) circle(1.6pt) node[right]{A'};
  \fill (Bp) circle(1.6pt) node[below]{B'};
  \fill (Cp) circle(1.6pt) node[above left]{C'};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\begin{propriete}
\textbf{1.} Le demi-tour (symétrie centrale) conserve les \textbf{longueurs} :
l'image d'un segment est un segment de même longueur.

\smallskip
\textbf{2.} Le demi-tour conserve la \textbf{mesure des angles} : l'image d'un
angle est un angle de même mesure.

\smallskip
\textbf{3.} Le demi-tour conserve les \textbf{périmètres}.

\smallskip
\textbf{4.} Le demi-tour conserve les \textbf{aires}.
\end{propriete}

\begin{remarque}
Une figure et son image par un demi-tour se superposent exactement : on dit que
le demi-tour conserve la \textbf{forme} et les \textbf{dimensions} de la figure.
\end{remarque}

\end{document}
