\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

% Numérotation CALQUÉE sur le HTML des leçons : I / A / 1 / a (façon de planifier
% de l'utilisateur) — indispensable pour retrouver le même plan sur PDF et en ligne.
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\Alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}
\renewcommand{\theparagraph}{\alph{paragraph}}
\setcounter{secnumdepth}{4}   % numérote aussi le 4e niveau (\paragraph → a, b, c)
\makeatletter
\renewcommand{\@seccntformat}[1]{\csname the#1\endcsname.\hspace{0.6em}}
% \paragraph = vrai titre de niveau 4 (sur sa ligne, gras), pas run-in
\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{\z@}%
  {1.4ex \@plus 1ex \@minus .2ex}{0.5ex \@plus .2ex}%
  {\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\usepackage{colortbl}   % \rowcolor / \arrayrulecolor pour tableaux stylés (fiches mémo…)
\usepackage{needspace}  % \needspace{...} : garder un bloc (déf + figure) sur une même page
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,breakable}
\tcbset{lecbox/.style={
    enhanced, breakable, boxrule=0pt, leftrule=4pt, arc=2pt,
    left=10pt, right=8pt, top=6pt, bottom=6pt,
    fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
}}
\newtcolorbox{definition}{lecbox, colback=blue!6, colframe=blue!55!black,
    title={Définition}}
\newtcolorbox{propriete}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Propriété}}
\newtcolorbox{theoreme}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
    title={Théorème}}
\newtcolorbox{exemple}{lecbox, colback=green!6, colframe=green!55!black,
    title={Exemple}}
\newtcolorbox{remarque}{lecbox, colback=gray!8, colframe=gray!60!black,
    title={Remarque}}
% Application : reformulation « sur la figure », sans titre, en gris.
\newtcolorbox{application}{enhanced, boxrule=0pt, colback=gray!5,
    borderline west={2pt}{0pt}{gray!50}, left=10pt, right=8pt, top=4pt,
    bottom=4pt, arc=1pt, coltext=black!75}
% Compétence : SEULE boîte à argument — \begin{competence}{intitulé}. Elle DOIT
% vivre ici et jamais dans un corps : pandoc ne sait pas lire une définition de
% macro à paramètre (#1) et abandonne tout le fichier. Côté HTML, pandoc rend
% l'argument en <span> de tête, que _competence_titre() transforme en titre.
\newtcolorbox{competence}[1]{colback=green!4, colframe=green!45!black,
    boxrule=0.6pt, arc=2pt, left=5pt, right=5pt, top=3pt, bottom=3pt,
    title={\textbf{Compétence — #1}}, fonttitle=\small,
    coltitle=white, colbacktitle=green!45!black}
% Symboles maths courants écrits en UNICODE dans le corps (→ copiables en HTML,
% pandoc les passe tels quels) et rendus en PDF via newunicodechar. Évite le
% mode math $...$ qui casse le copier-coller (MathJax non copiable).
\usepackage{newunicodechar}
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\notin}}
\newunicodechar{⊥}{\ensuremath{\perp}}
\newunicodechar{≈}{\ensuremath{\approx}}
\newunicodechar{×}{\ensuremath{\times}}
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leqslant}}
\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geqslant}}
\newunicodechar{°}{\ifmmode{^\circ}\else\textdegree\fi}
\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}}
\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}}
\newunicodechar{÷}{\ensuremath{\div}}
\newunicodechar{−}{\ensuremath{-}}
% numeration : tableau de numération centré. En PDF, simple \begin{center} ;
% en HTML, pandoc émet <div class="numeration"> stylé par css2026/lecon.css
% (couleurs des cellules, perdues sinon car pandoc ignore \cellcolor).
\newenvironment{numeration}{\begin{center}}{\end{center}}
% pose : opération posée (addition/multiplication). En PDF, tabular en
% \ttfamily centré ; en HTML pandoc émet <div class="pose"> (monospace +
% colonnes alignées via css2026/lecon.css). Chiffres copiables.
\newenvironment{pose}{\begin{center}\ttfamily}{\end{center}}
% calcul : un calcul isolé, centré, seul sur sa ligne (jamais coupé en plein
% milieu). En PDF \begin{center}\large ; en HTML pandoc émet <div class="calcul">
% (centré, sans retour ligne interne) via css2026/lecon.css.
\newenvironment{calcul}{\begin{center}\large}{\par\end{center}}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\newcommand{\pt}[2]{\draw[line width=0.7pt] ($(#1)!3.4pt!90:(#2)$)--($(#1)!3.4pt!-90:(#2)$);}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc,angles,quotes}
\providecommand{\ra}[3]{\draw ($(#1)!0.32cm!(#2)$)--($($(#1)!0.32cm!(#2)$)!0.32cm!90:(#2)$)--($(#1)!0.32cm!90:(#2)$);}
\providecommand{\tk}[2]{\draw[line width=0.7pt] ($($(#1)!.5!(#2)$)!4pt!90:(#2)$)--($($(#1)!.5!(#2)$)!4pt!-90:(#2)$);}
\tikzset{aa/.style={draw,angle radius=13pt,font=\footnotesize,"#1"}}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc,angles,quotes}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc,angles,quotes,arrows.meta}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc}
% \ra : petit carré de l'angle droit en #1, entre les directions #2 et #3
\providecommand{\ra}[3]{\draw ($(#1)!0.28cm!(#2)$)--($($(#1)!0.28cm!(#2)$)!0.28cm!-90:(#2)$)--($(#1)!0.28cm!(#3)$);}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc}
% \tk : codage « même longueur »
\providecommand{\tk}[2]{\draw[line width=0.7pt] ($($(#1)!.5!(#2)$)!4pt!90:(#2)$)--($($(#1)!.5!(#2)$)!4pt!-90:(#2)$);}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc}
\providecommand{\tk}[2]{\draw[line width=0.7pt] ($($(#1)!.5!(#2)$)!4pt!90:(#2)$)--($($(#1)!.5!(#2)$)!4pt!-90:(#2)$);}
\usepackage{tikz}\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{calc}
\providecommand{\tk}[2]{\draw[line width=0.7pt] ($($(#1)!.5!(#2)$)!4pt!90:(#2)$)--($($(#1)!.5!(#2)$)!4pt!-90:(#2)$);}
\providecommand{\ra}[3]{\draw ($(#1)!0.28cm!(#2)$)--($($(#1)!0.28cm!(#2)$)!0.28cm!-90:(#2)$)--($(#1)!0.28cm!(#3)$);}
\newcommand{\titre}{Triangles et angles}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 — Cinquième · Géométrie}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/triangles_angles.php}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} LEC5TRIA}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

% Corps maître « Triangles et angles » (5e). TRANSCRIPTION FIDÈLE du HTML.
% Types d'angles + triangles d'exemples en TikZ. Égalités seules sur leur ligne
% (\[ \] ou align*). Notation d'angle \widehat ; ° et × via newunicodechar.

\section{Angles et activité}

\subsection{Les différents types d'angles}

\begin{center}\small
\setlength{\tabcolsep}{3pt}\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{@{}l|*{5}{>{\centering\arraybackslash}p{2.35cm}}@{}}
$\widehat{AOB}$ & \textbf{Nul} & \textbf{Aigu} & \textbf{Droit} & \textbf{Obtus} & \textbf{Plat} \\ \hline
Figure &
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{2.2cm}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (B) at (1.9,0); \coordinate (A) at (3,0);
  \draw (O)--(A);
  \pt{A}{O}\pt{B}{O}\fill (O) circle(1.6pt);
  \node[below=2pt] at (O){O}; \node[below=2pt] at (B){B}; \node[above=2pt] at (A){A};
\end{tikzpicture}}} &
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{2.2cm}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (B) at (3,0); \coordinate (A) at (55:3);
  \fill[red!22] (O)--(0:0.9) arc(0:55:0.9)--cycle;
  \draw (A)--(O)--(B);
  \pt{A}{O}\pt{B}{O}\fill (O) circle(1.6pt);
  \node[below=2pt] at (O){O}; \node[right] at (B){B}; \node[above right] at (A){A};
\end{tikzpicture}}} &
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{2.2cm}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (B) at (3,0); \coordinate (A) at (0,3);
  \fill[red!22] (0,0)--(0.55,0)--(0.55,0.55)--(0,0.55)--cycle;
  \draw (0.55,0)--(0.55,0.55)--(0,0.55);
  \draw (A)--(O)--(B);
  \pt{A}{O}\pt{B}{O}\fill (O) circle(1.6pt);
  \node[below left] at (O){O}; \node[right] at (B){B}; \node[above] at (A){A};
\end{tikzpicture}}} &
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{2.2cm}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (B) at (3,0); \coordinate (A) at (125:3);
  \fill[red!22] (O)--(0:0.9) arc(0:125:0.9)--cycle;
  \draw (A)--(O)--(B);
  \pt{A}{O}\pt{B}{O}\fill (O) circle(1.6pt);
  \node[below=2pt] at (O){O}; \node[right] at (B){B}; \node[above left] at (A){A};
\end{tikzpicture}}} &
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{2.2cm}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (B) at (3,0); \coordinate (A) at (-3,0);
  \fill[red!22] (O)--(0:0.9) arc(0:180:0.9)--cycle;
  \draw (A)--(O)--(B);
  \pt{A}{O}\pt{B}{O}\fill (O) circle(1.6pt);
  \node[below=3pt] at (O){O}; \node[right] at (B){B}; \node[left] at (A){A};
\end{tikzpicture}}} \\ \hline
Mesure & $0°$ & entre $0°$ et $90°$ & $90°$ & entre $90°$ et $180°$ & $180°$ \\ \hline
Remarque & A, O, B alignés & plus petit qu'un droit & (OA) ⊥ (OB) & plus grand qu'un droit & A, O, B alignés, O entre A et B \\
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Activité}

Trace, dans ton cahier d'exercices, un triangle tel que deux de ses angles
soient obtus.

\subsection*{Bilan}

C'est impossible ! Pourquoi ? (À débattre.)

\subsection{Angles et parallélisme}

Quand deux droites $(d)$ et $(d')$ sont coupées par une troisième droite
$(\Delta)$, appelée \textbf{sécante}, il se forme des angles qui vont nous
renseigner sur le \textbf{parallélisme} de $(d)$ et $(d')$.

\subsubsection{Angles alternes-internes}

\begin{definition}
Deux angles \textbf{alternes-internes} sont situés \textbf{entre} les deux
droites (« internes ») et \textbf{de part et d'autre} de la sécante
(« alternes »).
\end{definition}

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A)   at (-0.6,0);      % (d)  ∩ sécante
  \coordinate (B)   at (0.8,2.6);     % (d') ∩ sécante
  \coordinate (Rd)  at (3.4,0);
  \coordinate (Ld)  at (-3.2,0);
  \coordinate (Rdp) at (3.4,2.6);
  \coordinate (Ldp) at (-3.2,2.6);
  \draw (Ld)--(Rd) node[right]{$(d)$};
  \draw (Ldp)--(Rdp) node[right]{$(d')$};
  \draw[blue!65!black] ($(A)!-0.45!(B)$)--($(B)!-0.55!(A)$) node[above right]{$(\Delta)$};
  % alternes-internes : de part et d'autre de la sécante, entre (d) et (d')
  \path pic[draw=red!80!black,line width=1pt,angle radius=21pt,
            "\small$\widehat{1}$"]{angle=Rd--A--B};
  \path pic[draw=red!80!black,line width=1pt,angle radius=21pt,
            "\small$\widehat{2}$"]{angle=Ldp--B--A};
  \fill (A) circle(1.6pt) node[below left]{A};
  \fill (B) circle(1.6pt) node[above left]{B};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

Sur la figure, $\widehat{1}$ et $\widehat{2}$ sont alternes-internes.

\subsubsection{Angles correspondants}

\begin{definition}
Deux angles \textbf{correspondants} sont situés du \textbf{même côté} de la
sécante, l'un entre les deux droites, l'autre à l'extérieur : ils occupent la
même position en A et en B.
\end{definition}

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A)   at (-0.6,0);
  \coordinate (B)   at (0.8,2.6);
  \coordinate (Rd)  at (3.4,0);
  \coordinate (Ld)  at (-3.2,0);
  \coordinate (Rdp) at (3.4,2.6);
  \coordinate (Ldp) at (-3.2,2.6);
  \coordinate (Bh)  at ($(B)!-0.55!(A)$);   % sécante au-dessus de B
  \draw (Ld)--(Rd) node[right]{$(d)$};
  \draw (Ldp)--(Rdp) node[right]{$(d')$};
  \draw[blue!65!black] ($(A)!-0.45!(B)$)--(Bh) node[above right]{$(\Delta)$};
  % correspondants : même position par rapport à la sécante, en A et en B
  \path pic[draw=green!45!black,line width=1pt,angle radius=21pt,
            "\small$\widehat{3}$"]{angle=Rd--A--B};
  \path pic[draw=green!45!black,line width=1pt,angle radius=21pt,
            "\small$\widehat{4}$"]{angle=Rdp--B--Bh};
  \fill (A) circle(1.6pt) node[below left]{A};
  \fill (B) circle(1.6pt) node[below left]{B};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

Sur la figure, $\widehat{3}$ et $\widehat{4}$ sont correspondants.

\subsubsection{Propriétés}

\begin{propriete}
\textbf{1.} Si deux droites sont \textbf{parallèles}, alors les angles
alternes-internes formés avec une sécante ont \textbf{la même mesure}. Il en va
de même pour les angles correspondants.

\smallskip
\textbf{2. Réciproque :} si deux angles alternes-internes (ou deux angles
correspondants) ont la même mesure, alors les deux droites sont
\textbf{parallèles}.
\end{propriete}

\begin{remarque}
La propriété 1 sert à \textbf{calculer} un angle quand on sait que les droites
sont parallèles. La réciproque sert à \textbf{démontrer} que deux droites sont
parallèles quand on connaît les angles.
\end{remarque}

\subsubsection{Exercice classique}

Sur la figure, $(d)$ et $(d')$ sont parallèles. Calculer $x$.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick,>=Stealth]
  \coordinate (A)   at (-0.6,0);
  \coordinate (B)   at (0.8,2.6);
  \coordinate (Rd)  at (3.4,0);
  \coordinate (Ld)  at (-3.2,0);
  \coordinate (Rdp) at (3.4,2.6);
  \coordinate (Ldp) at (-3.2,2.6);
  % codage du parallélisme : simple chevron sur chaque droite
  \draw (Ld)--(Rd) node[right]{$(d)$};
  \draw (Ldp)--(Rdp) node[right]{$(d')$};
  \draw[gray!75,line width=1pt] (-2.6,0.2)--(-2.35,0)--(-2.6,-0.2);
  \draw[gray!75,line width=1pt] (-2.6,2.8)--(-2.35,2.6)--(-2.6,2.4);
  \draw[blue!65!black] ($(A)!-0.45!(B)$)--($(B)!-0.55!(A)$) node[above right]{$(\Delta)$};
  \path pic[draw=red!80!black,line width=1pt,angle radius=21pt,
            "\small$62^{\circ}$"]{angle=Rd--A--B};
  \path pic[draw=red!80!black,line width=1pt,angle radius=21pt,
            "\small$x$"]{angle=Ldp--B--A};
  \fill (A) circle(1.6pt) node[below left]{A};
  \fill (B) circle(1.6pt) node[above left]{B};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\begin{exemple}
Les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles, et les angles de $62°$ et $x$ sont
\textbf{alternes-internes} (entre les deux droites, de part et d'autre de la
sécante). D'après la propriété 1, ils ont donc la même mesure :

\begin{calcul}$x = 62°$\end{calcul}
\end{exemple}

\section{La somme des angles d'un triangle}

\subsection{Propriété}

\begin{propriete}
La somme des angles d'un triangle est égale à $180°$ :
\[ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180° \]
\end{propriete}

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.32\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (0.3,2.7);\coordinate (B) at (-2.3,0);\coordinate (C) at (2.9,0);
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  \path pic[draw,angle radius=15pt]{angle=B--A--C};
  \path pic[draw,angle radius=15pt]{angle=C--B--A};
  \path pic[draw,angle radius=15pt]{angle=A--C--B};
  \node[above] at (A){A};\node[below left] at (B){B};\node[below right] at (C){C};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\subsection{Démonstration}

Traçons la droite $(d)$, \textbf{parallèle} à $(BC)$ et passant par A.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (-0.3,4.0);
  \coordinate (B) at (-2.0,0);
  \coordinate (C) at (3.0,0);
  \coordinate (W) at (-2.9,4.0);   % parallèle à (BC) passant par A
  \coordinate (E) at (2.3,4.0);
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  \draw[blue!65!black] (W)--(E) node[right]{$(d)$};
  % angles de base, reportés en A par les alternes-internes
  \path pic[draw=blue!70!black,line width=0.9pt,angle radius=15pt]{angle=C--B--A};
  \path pic[draw=blue!70!black,line width=0.9pt,angle radius=15pt]{angle=W--A--B};
  \path pic[draw=red!75!black,line width=0.9pt,angle radius=15pt]{angle=A--C--B};
  \path pic[draw=red!75!black,line width=0.9pt,angle radius=15pt]{angle=C--A--E};
  \path pic[draw=black,line width=0.9pt,angle radius=22pt]{angle=B--A--C};
  \fill (A) circle(1.6pt) node[above=6pt]{A};
  \fill (B) circle(1.6pt) node[below left]{B};
  \fill (C) circle(1.6pt) node[below right]{C};
  \node[font=\small,align=center] at (0.5,-1.0)
    {$(d)$ est la parallèle à $(BC)$ passant par A};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

La droite $(AB)$ est une sécante aux deux droites parallèles $(d)$ et $(BC)$ :
l'angle $\widehat{B}$ du triangle et l'angle qu'il reporte en A (en bleu) sont
\textbf{alternes-internes}, donc ils ont la même mesure.

\smallskip
De la même façon, $(AC)$ est une sécante aux deux parallèles : l'angle
$\widehat{C}$ et l'angle qu'il reporte en A (en rouge) sont alternes-internes,
donc ils ont la même mesure.

\smallskip
Or, en A, ces trois angles (bleu, noir, rouge) forment un \textbf{angle plat} :
leur somme vaut $180°$. Comme le bleu vaut $\widehat{B}$ et le rouge
$\widehat{C}$ :

\begin{calcul}$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$\end{calcul}

\begin{remarque}
C'est la propriété des angles alternes-internes (partie I.C) qui permet de
« remonter » les deux angles de base en A, là où ils se recollent en un angle
plat.
\end{remarque}

\subsection{Conséquence}

L'activité précédente était donc vouée à l'échec : un triangle avec deux angles
obtus n'existe pas, car la somme de leurs mesures dépasserait déjà $180°$.

\section{Exemples de calcul d'angles dans quelques triangles}

\subsection{Dans un triangle quelconque}

Si on connaît deux angles, on en déduit le troisième.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.34\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (0,2.6);\coordinate (B) at (-2.4,0);\coordinate (C) at (3,0);
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  \path pic[aa={$41°$}]{angle=B--A--C};
  \path pic[aa={$68°$}]{angle=C--B--A};
  \path pic[aa={?}]{angle=A--C--B};
  \node[above] at (A){A};\node[below left] at (B){B};\node[below right] at (C){C};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

(Les mesures d'angles ne sont pas respectées sur le schéma.)
\begin{align*}
\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} &= 180° \\
41° + 68° + \widehat{C} &= 180° \\
109° + \widehat{C} &= 180° \\
\widehat{C} &= 180° - 109° = 71°
\end{align*}

\subsection{Dans un triangle rectangle}

\subsubsection{Exercice classique}

ABC est un triangle rectangle en A tel que $\widehat{ABC} = 54°$. Après un
schéma, calculer $\widehat{BCA}$.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.3\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (0,0);\coordinate (B) at (3.4,0);\coordinate (C) at (0,2.4);
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  \ra{A}{B}{C}
  \path pic[aa={$54°$}]{angle=C--B--A};
  \path pic[aa={?}]{angle=A--C--B};
  \node[below left] at (A){A};\node[below right] at (B){B};\node[above] at (C){C};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\subsubsection{Correction}

\begin{align*}
\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} &= 180° \\
90° + 54° + \widehat{C} &= 180° \\
144° + \widehat{C} &= 180° \\
\widehat{C} &= 180° - 144° = 36°
\end{align*}

\subsubsection{Remarque}

\begin{definition}
Deux angles sont \textbf{complémentaires} lorsque leur somme est $90°$.
\end{definition}

\begin{propriete}
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.
\end{propriete}

Méthode alternative :
\begin{align*}
\widehat{B} + \widehat{C} &= 90° \\
54° + \widehat{C} &= 90° \\
\widehat{C} &= 90° - 54° = 36°
\end{align*}

\subsection{Dans un triangle isocèle}

\subsubsection{Un peu de vocabulaire}

Un \textbf{triangle isocèle} a deux côtés égaux ; leur point d'intersection est
le \textbf{sommet principal} (ici A). Les deux autres angles sont les
\textbf{angles de base}, et ils sont égaux : $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.28\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (0,2.9);\coordinate (B) at (-1.9,0);\coordinate (C) at (1.9,0);
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  \tk{A}{B}\tk{A}{C}
  \path pic[draw,angle radius=15pt]{angle=C--B--A};
  \path pic[draw,angle radius=15pt]{angle=A--C--B};
  \node[above] at (A){A};\node[below left] at (B){B};\node[below right] at (C){C};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\subsubsection{Quand on connaît l'un des angles de base}

Dans le triangle DEF isocèle en D, les angles de base sont égaux :
$\widehat{DEF} = \widehat{DFE} = 65°$.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.3\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (D) at (0,2.8);\coordinate (E) at (-1.8,0);\coordinate (F) at (1.8,0);
  \draw (D)--(E)--(F)--cycle;
  \tk{D}{E}\tk{D}{F}
  \path pic[aa={$65°$}]{angle=F--E--D};
  \path pic[aa={$65°$}]{angle=D--F--E};
  \node[above] at (D){D};\node[below left] at (E){E};\node[below right] at (F){F};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\begin{align*}
\widehat{DEF} + \widehat{DFE} + \widehat{EDF} &= 180° \\
65° + 65° + \widehat{EDF} &= 180° \\
130° + \widehat{EDF} &= 180° \\
\widehat{EDF} &= 180° - 130° = 50°
\end{align*}

\subsubsection{Quand on connaît l'angle du sommet principal}

Dans le triangle JKL isocèle en J, les angles de base sont égaux
($\widehat{JLK} = \widehat{LKJ}$) et $\widehat{KJL} = 48°$.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.3\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (J) at (0,2.9);\coordinate (K) at (-1.6,0);\coordinate (L) at (1.6,0);
  \draw (J)--(K)--(L)--cycle;
  \tk{J}{K}\tk{J}{L}
  \path pic[aa={$48°$}]{angle=K--J--L};
  \node[above] at (J){J};\node[below left] at (K){K};\node[below right] at (L){L};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\begin{align*}
\widehat{KJL} + 2 × \widehat{JLK} &= 180° \\
48° + 2 × \widehat{JLK} &= 180° \\
2 × \widehat{JLK} &= 132° \\
\widehat{JLK} &= \dfrac{132°}{2} = 66°
\end{align*}

\subsection{Le triangle rectangle isocèle}

Dans le triangle RST rectangle et isocèle en R, les angles de base sont égaux et
complémentaires.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.28\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (R) at (0,0);\coordinate (S) at (2.6,0);\coordinate (T) at (0,2.6);
  \draw (R)--(S)--(T)--cycle;
  \ra{R}{S}{T}\tk{R}{S}\tk{R}{T}
  \path pic[aa={$45°$}]{angle=T--S--R};
  \path pic[aa={$45°$}]{angle=R--T--S};
  \node[below left] at (R){R};\node[below right] at (S){S};\node[above] at (T){T};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\begin{align*}
\widehat{RST} + \widehat{RTS} &= 90° \\
\widehat{RST} = \widehat{RTS} &= \dfrac{90°}{2} = 45°
\end{align*}

\subsection{Le triangle équilatéral}

Les trois angles du triangle équilatéral XYZ sont égaux et leur somme vaut
$180°$.

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.28\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (X) at (0,2.4);\coordinate (Y) at (-1.5,0);\coordinate (Z) at (1.5,0);
  \draw (X)--(Y)--(Z)--cycle;
  \tk{X}{Y}\tk{Y}{Z}\tk{Z}{X}
  \path pic[aa={$60°$}]{angle=Y--X--Z};
  \path pic[aa={$60°$}]{angle=Z--Y--X};
  \path pic[aa={$60°$}]{angle=X--Z--Y};
  \node[above] at (X){X};\node[below left] at (Y){Y};\node[below right] at (Z){Z};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}

\begin{align*}
\widehat{ZXY} = \widehat{XYZ} = \widehat{YZX} &= \dfrac{180°}{3} = 60°
\end{align*}

\section{Droites remarquables du triangle}

\subsection{Les hauteurs}

\begin{definition}
La \textbf{hauteur issue de A} est la droite qui passe par A et qui est
\textbf{perpendiculaire} au côté opposé $[BC]$. Elle coupe $(BC)$ en un point H,
appelé le \textbf{pied} de la hauteur.
\end{definition}

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (-0.3,4.0);
  \coordinate (B) at (-2.0,0);
  \coordinate (C) at (3.0,0);
  \coordinate (H) at ($(B)!(A)!(C)$);   % pied de la hauteur issue de A
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  \draw[red!75!black] (A)--(H);
  \ra{H}{A}{C}
  \fill (A) circle(1.6pt) node[above]{A};
  \fill (B) circle(1.6pt) node[below left]{B};
  \fill (C) circle(1.6pt) node[below right]{C};
  \fill[red!75!black] (H) circle(1.6pt) node[below]{H};
  \node[red!75!black,right,font=\small] at ($(A)!0.5!(H)+(0.15,0)$) {hauteur issue de A};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\begin{propriete}
Les \textbf{trois hauteurs} d'un triangle sont \textbf{concourantes} : elles se
coupent toutes les trois en un même point.
\end{propriete}

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (-0.3,4.0);
  \coordinate (B) at (-2.0,0);
  \coordinate (C) at (3.0,0);
  \coordinate (Ha) at ($(B)!(A)!(C)$);   % pieds des trois hauteurs
  \coordinate (Hb) at ($(A)!(B)!(C)$);
  \coordinate (Hc) at ($(A)!(C)!(B)$);
  \coordinate (O)  at (intersection of A--Ha and B--Hb);
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  \draw[red!75!black] (A)--(Ha);
  \draw[red!75!black] (B)--(Hb);
  \draw[red!75!black] (C)--(Hc);
  \fill (A) circle(1.6pt) node[above]{A};
  \fill (B) circle(1.6pt) node[below left]{B};
  \fill (C) circle(1.6pt) node[below right]{C};
  \fill[blue!70!black] (O) circle(2.2pt) node[above right=1pt,blue!70!black,font=\small]{H};
  \node[font=\small,align=center] at (0.5,-1.0) {les trois hauteurs se coupent en un même point};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\begin{remarque}
Quand un angle du triangle est obtus, le pied de la hauteur sort du côté : il
faut alors \textbf{prolonger} ce côté pour aller y placer l'angle droit.
\end{remarque}

\subsection{Les médianes}

\begin{definition}
La \textbf{médiane issue de A} est la droite qui passe par A et par le
\textbf{milieu} M du côté opposé $[BC]$.
\end{definition}

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (-0.3,4.0);
  \coordinate (B) at (-2.0,0);
  \coordinate (C) at (3.0,0);
  \coordinate (M) at ($(B)!0.5!(C)$);   % milieu de [BC]
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  \draw[green!45!black] (A)--(M);
  \tk{B}{M}\tk{M}{C}
  \fill (A) circle(1.6pt) node[above]{A};
  \fill (B) circle(1.6pt) node[below left]{B};
  \fill (C) circle(1.6pt) node[below right]{C};
  \fill[green!45!black] (M) circle(1.6pt) node[below]{M};
  \node[green!45!black,right,font=\small] at ($(A)!0.55!(M)+(0.15,0)$) {médiane issue de A};
  \node[font=\small] at (0.5,-1.0) {M est le milieu de $[BC]$};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\begin{propriete}
Les \textbf{trois médianes} d'un triangle sont \textbf{concourantes}.
\end{propriete}

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (-0.3,4.0);
  \coordinate (B) at (-2.0,0);
  \coordinate (C) at (3.0,0);
  \coordinate (M) at ($(B)!0.5!(C)$);   % milieux des trois côtés
  \coordinate (N) at ($(A)!0.5!(C)$);
  \coordinate (P) at ($(A)!0.5!(B)$);
  \coordinate (G) at (intersection of A--M and B--N);
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  \draw[green!45!black] (A)--(M);
  \draw[green!45!black] (B)--(N);
  \draw[green!45!black] (C)--(P);
  \fill (A) circle(1.6pt) node[above]{A};
  \fill (B) circle(1.6pt) node[below left]{B};
  \fill (C) circle(1.6pt) node[below right]{C};
  \fill (M) circle(1.4pt) node[below]{M};
  \fill (N) circle(1.4pt) node[right]{N};
  \fill (P) circle(1.4pt) node[left]{P};
  \fill[blue!70!black] (G) circle(2.2pt) node[above right=1pt,blue!70!black,font=\small]{G};
  \node[font=\small] at (0.5,-1.0) {les trois médianes se coupent en un même point};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\subsection{Une médiane partage le triangle en deux aires égales}

\begin{propriete}
Une médiane partage le triangle en \textbf{deux triangles de même aire}.
\end{propriete}

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\begin{tikzpicture}[line cap=round,thick]
  \coordinate (A) at (-0.3,4.0);
  \coordinate (B) at (-2.0,0);
  \coordinate (C) at (3.0,0);
  \coordinate (M) at ($(B)!0.5!(C)$);   % milieu de [BC] : la médiane est [AM]
  \coordinate (H) at ($(B)!(A)!(C)$);   % pied de la hauteur issue de A
  \fill[blue!10] (A)--(B)--(M)--cycle;
  \fill[red!10]  (A)--(M)--(C)--cycle;
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  \draw[green!45!black] (A)--(M);
  \draw[dashed,gray!70!black] (A)--(H) node[midway,left,font=\small,black]{$h$};
  \ra{H}{A}{C}
  \tk{B}{M}\tk{M}{C}
  \fill (A) circle(1.6pt) node[above]{A};
  \fill (B) circle(1.6pt) node[below left]{B};
  \fill (C) circle(1.6pt) node[below right]{C};
  \fill (M) circle(1.6pt) node[below]{M};
  \fill (H) circle(1.4pt) node[below,font=\small]{H};
  \node[blue!60!black,font=\small] at (-1.0,0.9) {ABM};
  \node[red!60!black,font=\small]  at (1.5,0.9) {ACM};
  \node[font=\small,align=center] at (0.5,-1.1)
    {même base : $BM = MC$ \quad·\quad même hauteur : $h$};
\end{tikzpicture}}
\end{center}

\subsubsection{Démonstration}

M est le milieu de $[BC]$ : la médiane $[AM]$ découpe le triangle ABC en deux
triangles, ABM et ACM. Comparons leurs aires.

\begin{itemize}
  \item Ils ont des \textbf{bases de même longueur} : $BM = MC$, puisque M est
        le milieu de $[BC]$.
  \item Ils ont la \textbf{même hauteur} : c'est la distance $h$ du point A à la
        droite $(BC)$, qui est la même pour les deux triangles (leurs bases sont
        toutes les deux portées par la droite $(BC)$).
\end{itemize}

En utilisant la formule de l'aire d'un triangle :

\begin{calcul}$\text{aire}(ABM) = \dfrac{BM × h}{2} \qquad\text{et}\qquad \text{aire}(ACM) = \dfrac{MC × h}{2}$\end{calcul}

Or $BM = MC$ : les deux calculs donnent le même résultat. Les triangles ABM et
ACM ont donc la même aire.

\end{document}
