Aires et périmètres
Aire et périmètre
I. Le polygone quelconque
1. Périmètre d'un polygone quelconque
Définition
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.
On imagine une fourmis qui fait le tour du polygone en calculant sa distance parcourue:
Ici on a P = 5 + 4 + 2,5 + 3 = 14,5 cm
B. Aire d'un polygone quelconque
On ne dispose pas de formule pour calculer l'aire d'un polygone quelconque !
On ne dispose pas de formule pour calculer l'aire d'un polygone quelconque !
II. Le carré
1. Périmètre d'un carré
Le périmètre d'un carré de côté c est donné par la formule suivante :
P = 4 × c
Un carré de coté 5cm a donc un périmètre de 4 × 5 = 20 cm
2. Aire d'un carré
L'aire d'un carré de côté c est donnée par la formule suivante :
A = c × c
Un carré de coté 5cm a donc une aire de 5 × 5 = 25 cm
2
III. Le rectangle
A. Périmètre d'un rectangle
Le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur l est donné par la formule suivante :
P = 2 × (L + l) =2 × L + 2 × l
Ainsi, si on a un rectangle de longueur 7m et de largeur 3m, son périmètre est :
2 × (7 + 3) = 2 × 10 = 20m
ou 2 × 7 + 2 × 3 = 14 + 6 = 20m
B. Aire d'un rectangle
L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l est donnée par la formule suivante :
A = L × l
Ainsi, si on a un rectangle de longueur 7m et de largeur 3m, son aire est :
7 × 3 = 21m
2
IV. Le triangle rectangle
A. Périmètre d'un triangle rectangle
Le périmètre se calcule comme pour tous les polygones quelconques (penser à la fourmis) en
ajoutant les mesures des segments qui le composent:
Ici on a:
P = a + b + c
Ici, si a,b et c sont respectivement égal à 4km, 3km et 5km, le périmètre du triangle est :
P = 4 + 3 + 5 = 12 km
B. Aire d'un triangle rectangle
L'aire d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour mesures a et b est donnée par la
formule suivante :
Ici, si a,b et c sont respectivement égal à 4km, 3km et 5km, l'aire du triangle est :
V. Le triangle quelconque
A. Vocabulaire important
Dans le triangle quelconque ci-dessus
. On dit que
[AH] est la hauteur issue de A
ou que
[AH] est la hauteur relative au coté [BC]
. Le
point H est appelé
pied de la hauteur.
B. Périmètre d'un triangle
Le périmètre se calcule comme pour tous les polygones quelconques en ajoutant les mesures des
segments qui le composent:
Ici on a:
P = a + b + c
C. Aire d'un triangle
L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de la longueur d'un côté pas
sa hauteur relative.
Ici on a :
D. Remarque :
Quand il y a un angle obtus dans le triangle, le pied de la hauteur peut se situer hors du segment :
Mais cela ne change rien, on a encore:
P = a + b + c
et
VI. Le cercle, le disque
A. Définition : Le cercle
Le cercle de centre O et de rayon 5cm (par exemple) est l'ensemble des points situés à 5cm de O.
5cm est
le
rayon du cercle.
B. Définition : Le disque
Le disque de centre O et de rayon 5cm (par exemple) est l'ensemble des points situés à moins de
5cm de O.
5cm est
le
rayon du disque.
C. Un peu de vocabulaire
•
Le point O est
le centre
du cercle, c'est aussi le centre du disque.
•
Les segments [OA], [OB] et [OC] sont
des rayons
du cercle (et du disque.)
•
La longueur OA= OB = OC est
le rayon
du cercle (et du disque.)
•
Le segment [AB] est
un diamètre
du cercle (et du disque.)
•
La longueur AB est
le diamètre
du cercle (et du disque.)
•
Le segment [BC] (pas tracé), qui joint deux points distincts du cercle, est une corde du
cercle (et du disque.)
•
Le diamètre [AB] est la plus grande corde du cercle (et du disque.)
•
La partie du cercle entre A et B est un arc de cercle et se note :
•
.
D. Aire et périmètre
Même si ces deux objets se ressemblent, ils sont très différents. On parlera du
périmètre d'un cercle
et de
l'aire d'un disque.
1. Périmètre de ce cercle.
Le périmètre de ce cercle de centre O, de rayon r et de diamètre d est donné par la formule :
2. Aire de ce disque.
L'aire de ce disque, de rayon r et de diamètre d est donné par la formule :
Officiel :
Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec
des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur
(périmètre), aire, volume, angle - Utiliser le lexique, les unités,
les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs
Ce que sait faire l’élève
•
Il connaît la formule de la longueur d’un cercle et l’utilise. Exemples de réussite
•
Il calcule, à l’aide de la formule et en utilisant 3,14 comme valeur approchée du nombre Pi,
la longueur d’un cercle dont :
•
Le rayon est donné (par exemple par calcul mental dans le cas où le rayon est 5 cm,
ou à l’aide d’une multiplication posée ou de la calculatrice dans le cas où le rayon est
de 7,8 dm) ; (L1 ≈ 2 × 3,14 × 5 cm et L2 ≈ 2 × 3,14 × 7,8 m)
•
Le diamètre est donné (par exemple par calcul mental dans le cas où le diamètre est
20 cm, ou à l’aide d’une multiplication posée ou de la calculatrice dans le cas où le
diamètre est de 9,6 m). (L3 ≈ 3,14 × 20 cm et L4 ≈ 3,14 × 9,6 m)
Aires et périmètres
1
Le polygone quelconque
périmètre d'un polygone
périmètre d'un polygone
périmètre d'un polygone
périmètre d'un polygone
aire d'un polygone
aire d'un polygone
aire d'un polygone