\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,breakable}
\tcbset{lecbox/.style={
    enhanced, breakable, boxrule=0pt, leftrule=4pt, arc=2pt,
    left=10pt, right=8pt, top=6pt, bottom=6pt,
    fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
}}
\newtcolorbox{definition}{lecbox, colback=blue!6, colframe=blue!55!black,
    title={Définition}}
\newtcolorbox{propriete}{lecbox, colback=orange!8, colframe=orange!70!black,
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    title={Exemple}}
\newtcolorbox{remarque}{lecbox, colback=gray!8, colframe=gray!60!black,
    title={Remarque}}
% Application : reformulation « sur la figure », sans titre, en gris.
\newtcolorbox{application}{enhanced, boxrule=0pt, colback=gray!5,
    borderline west={2pt}{0pt}{gray!50}, left=10pt, right=8pt, top=4pt,
    bottom=4pt, arc=1pt, coltext=black!75}
% Symboles maths courants écrits en UNICODE dans le corps (→ copiables en HTML,
% pandoc les passe tels quels) et rendus en PDF via newunicodechar. Évite le
% mode math $...$ qui casse le copier-coller (MathJax non copiable).
\usepackage{newunicodechar}
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\notin}}
\newunicodechar{⊥}{\ensuremath{\perp}}
\newunicodechar{≈}{\ensuremath{\approx}}
\newunicodechar{×}{\ensuremath{\times}}
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leqslant}}
\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geqslant}}
% numeration : tableau de numération centré. En PDF, simple \begin{center} ;
% en HTML, pandoc émet <div class="numeration"> stylé par css2026/lecon.css
% (couleurs des cellules, perdues sinon car pandoc ignore \cellcolor).
\newenvironment{numeration}{\begin{center}}{\end{center}}
% pose : opération posée (addition/multiplication). En PDF, tabular en
% \ttfamily centré ; en HTML pandoc émet <div class="pose"> (monospace +
% colonnes alignées via css2026/lecon.css). Chiffres copiables.
\newenvironment{pose}{\begin{center}\ttfamily}{\end{center}}
% calcul : un calcul isolé, centré, seul sur sa ligne (jamais coupé en plein
% milieu). En PDF \begin{center}\large ; en HTML pandoc émet <div class="calcul">
% (centré, sans retour ligne interne) via css2026/lecon.css.
\newenvironment{calcul}{\begin{center}\large}{\par\end{center}}
\usepackage{xlop}
\opset{decimalsepsymbol={,}}
\newcommand{\titre}{Fractions décimales. Division décimale}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 3 — Sixième · Nombres et calcul}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/division.php}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} LEC6DIV}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

% Corps maître « Fractions décimales. Division décimale » (6e).
% Fractions en \dfrac ; divisions posées en TikZ (xlop \opdiv, potence).
% Le HTML de la page garde son propre rendu .frac-inline (copier-coller a/b).

\section{Fraction décimale}

\subsection{Définition}

\begin{definition}
Une \textbf{fraction décimale} est une fraction dont le dénominateur est égal à
10, 100, 1\,000, etc. (le chiffre 1 suivi d'un ou plusieurs zéros).
\end{definition}

\subsection{Exemples}

Les fractions suivantes sont des fractions décimales :

\begin{calcul}$\dfrac{3}{1\,000} \qquad \dfrac{48}{10\,000} \qquad \dfrac{145}{10}$\end{calcul}

\subsection{Fraction décimale et nombre décimal}

Une fraction décimale est une façon alternative d'écrire un nombre décimal.

\begin{calcul}$\dfrac{3}{1\,000} = 0{,}003$\end{calcul}

Dans ce nombre, 3 est le chiffre des millièmes, et aussi le nombre de millièmes.

\begin{calcul}$\dfrac{48}{10\,000} = 0{,}0048$\end{calcul}

Ici 8 est le chiffre des dix-millièmes, et 48 le nombre de dix-millièmes.

\begin{calcul}$\dfrac{145}{10} = 14{,}5$\end{calcul}

Et là, 5 est le chiffre des dixièmes, et 145 le nombre de dixièmes.

\subsection{Un peu d'histoire}

\begin{remarque}
Vers le X\ieme{} siècle, le mathématicien et astronome arabe Avicenne
(Ibn Sina) a posé les bases de l'usage des fractions décimales : représenter
des quantités plus petites que l'unité à l'aide de dixièmes, centièmes, etc.,
en s'appuyant sur notre système de numération de base 10. La virgule, elle,
ne s'est imposée que bien plus tard (travaux de John Napier au XVII\ieme{}
siècle) ; auparavant, plusieurs notations ont coexisté (point, petit cercle,
barre verticale).
\end{remarque}

\section{La division décimale}

\subsection{Définition}

\begin{definition}
La \textbf{division décimale} est l'opération qui permet de calculer le
quotient décimal (ou une valeur approchée de ce quotient) de deux nombres.
\end{definition}

\subsection{La division longue}

La division longue prolonge la division euclidienne : on poursuit le calcul en
« descendant des zéros », les nouveaux chiffres obtenus s'écrivant après la
virgule du quotient. Exemple avec $23 \div 6$ :

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.24\linewidth}{!}{\opdiv[maxdivstep=3]{23}{6}}}
\end{center}

\subsection{Remarque}

\begin{remarque}
Deux situations peuvent se présenter :
\begin{itemize}
  \item on finit par obtenir un reste nul : le quotient est alors un nombre
        décimal ;
  \item on retombe sur un reste déjà rencontré : la division « ne se termine
        pas », elle boucle à l'infini. Le quotient n'est pas décimal ; on en
        donne un arrondi (une valeur approchée par défaut ou par excès).
\end{itemize}
\end{remarque}

\subsection{Division de deux décimaux}

Un nombre décimal au \emph{dividende} ne pose pas de difficulté : plutôt que de
descendre des zéros, on descend les chiffres des dixièmes, des centièmes, des
millièmes… Exemple avec $23{,}12 \div 6$ :

\begin{center}
  {\shorthandoff{!:;?}\resizebox{0.24\linewidth}{!}{\opdiv[shiftdecimalsep=none,maxdivstep=4]{23.12}{6}}}
\end{center}

Un nombre décimal au \emph{diviseur} se règle en multipliant le dividende et le
diviseur par 10, 100, 1\,000… pour se ramener à un diviseur entier :

\begin{calcul}$\dfrac{2{,}312}{0{,}6} = \dfrac{23{,}12}{6} \approx 3{,}853$\end{calcul}

\end{document}
