\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Les deux bidons}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 239}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/bidons.php?x=239}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} BIDO0239}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Deux bidons sans aucune graduation, une rivière à volonté, et le droit de vider par terre. Obtenir un volume au litre près paraît relever de la chance : c'est en réalité une question d'arithmétique, et certains volumes sont hors d'atteinte quoi qu'on fasse.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Les deux bidons}}
\noindent Vous disposez de deux bidons \textbf{sans aucune graduation} : l'un contient \textbf{10 litres}, l'autre \textbf{4 litres}. Vous êtes au bord d'une rivière.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0169, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (0.6,5.0) -- (0.6,1.4) -- (2.3,1.4) -- (2.3,5.0);
\node at (1.45,0.95) {\scalebox{0.983}{\small 10 L}};
\draw[line width=0.5pt] (3.6,2.84) -- (3.6,1.4) -- (5.3,1.4) -- (5.3,2.84);
\node at (4.45,0.95) {\scalebox{0.983}{\small 4 L}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent Trois gestes seulement sont autorisés :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \textbf{remplir} complètement un bidon à la rivière ;
  \item \textbf{vider} entièrement un bidon par terre ;
  \item \textbf{transvaser} un bidon dans l'autre, jusqu'à ce que le premier soit vide \textbf{ou} que le second soit plein.
\end{itemize}
\noindent Impossible donc de « remplir à moitié » : on ne peut pas mesurer à l'\oe{}il, seuls comptent les bidons pleins ou vides.\par\addvspace{0.35em}
\noindent Les trois questions montent en difficulté : la dernière demande de raisonner sur \textbf{tous} les volumes à la fois.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item \textbf{Pour se lancer :} obtenir exactement \textbf{6 litres} dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes.
  \item Obtenir exactement \textbf{2 litres} dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes — ou \textbf{démontrer que c'est impossible}.
  \item \textbf{Quels sont TOUS les volumes} que l'on peut obtenir avec ces deux bidons ? Justifier.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Les deux bidons — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Comment noter les choses.} On décrit la situation par un couple : le contenu du bidon de 10 L, puis celui du bidon de 4 L. On part de (0 ; 0), et chaque geste fait passer d'un couple au suivant. Le problème devient alors un parcours, et non plus une devinette.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Pour obtenir 6 L :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Geste & \cellcolor{blue!7}\bfseries Bidon de 10 L & \cellcolor{blue!7}\bfseries Bidon de 4 L \\ \hline
Départ & 0 L & 0 L \\ \hline
1. remplir le bidon de 10 L & 10 L & 0 L \\ \hline
2. transvaser le 10 L dans le 4 L & 6 L & 4 L \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries En 2 gestes, on a bien 6 L.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Pour obtenir 2 L :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Geste & \cellcolor{blue!7}\bfseries Bidon de 10 L & \cellcolor{blue!7}\bfseries Bidon de 4 L \\ \hline
Départ & 0 L & 0 L \\ \hline
1. remplir le bidon de 10 L & 10 L & 0 L \\ \hline
2. transvaser le 10 L dans le 4 L & 6 L & 4 L \\ \hline
3. vider le bidon de 4 L & 6 L & 0 L \\ \hline
4. transvaser le 10 L dans le 4 L & 2 L & 4 L \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries En \textbf{4 gestes}, l'un des bidons contient exactement 2 litres.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0169, line join=round, line cap=round]
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,1.4) -- (2.3,1.4) -- (2.3,2.12) -- (0.6,2.12) -- cycle;
\draw[line width=0.5pt] (0.6,5.0) -- (0.6,1.4) -- (2.3,1.4) -- (2.3,5.0);
\node at (1.45,0.95) {\scalebox{0.983}{\small 10 L}};
\node at (1.45,5.4) {\scalebox{0.983}{\small 2 L}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (3.6,1.4) -- (5.3,1.4) -- (5.3,2.84) -- (3.6,2.84) -- cycle;
\draw[line width=0.5pt] (3.6,2.84) -- (3.6,1.4) -- (5.3,1.4) -- (5.3,2.84);
\node at (4.45,0.95) {\scalebox{0.983}{\small 4 L}};
\node at (4.45,3.24) {\scalebox{0.983}{\small 4 L}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent{\small\itshape La situation finale.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la solution la \textbf{plus courte} : aucune suite de moins de 4 gestes n'y parvient. D'autres chemins existent, plus longs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Listons ce que l'on peut atteindre. En explorant toutes les situations possibles, les volumes obtenus sont :\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries 0 L, 2 L, 4 L, 6 L, 8 L, 10 L.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ce sont exactement les \textbf{multiples de 2} compris entre 0 et 10 — et 2 est le \textbf{PGCD de 10 et 4}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Ici PGCD(10 ; 4) = 2 : seuls les multiples de 2 sont réalisables — soit 6 volumes sur les 11 envisageables.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le résultat général.} Avec deux bidons de contenances a et b, on peut obtenir exactement les multiples de PGCD(a ; b), et rien d'autre. En particulier, si a et b n'ont aucun diviseur commun autre que 1, \textbf{tous} les volumes entiers sont atteignables — aussi étonnant que cela paraisse avec deux bidons non gradués.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Pour aller plus loin.} Ce résultat porte un nom : c'est le \textbf{théorème de Bézout}. Obtenir un volume v revient à trouver deux entiers u et w tels que u \(\times\) a + w \(\times\) b = v — remplir u fois le premier bidon et vider w fois le second.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
