\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 216}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur.php?x=216}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULE0216}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier. Les lettres désignent les \textbf{carrefours}, les traits les \textbf{rues}. Il y a \textbf{6 rues} en tout : [AB], [AE], [BC], [CD], [CE], [DE].\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0998, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.41,1.237) -- (2.41,4.237);
\draw[line width=0.5pt] (2.41,4.237) -- (4.41,4.237);
\draw[line width=0.5pt] (1.41,1.237) -- (3.41,2.237);
\draw[line width=0.5pt] (1.41,1.237) -- (4.41,4.237);
\draw[line width=0.5pt] (5.41,1.237) -- (4.41,4.237);
\draw[line width=0.5pt] (3.41,2.237) -- (5.41,1.237);
\fill[red!75!black] (1.41,1.237) circle (0.11);
\node at (1.0,0.95) {\scalebox{0.909}{\small\bfseries A}};
\fill[red!75!black] (3.41,2.237) circle (0.11);
\node at (3.41,1.737) {\scalebox{0.909}{\small\bfseries B}};
\fill[red!75!black] (5.41,1.237) circle (0.11);
\node at (5.819,0.95) {\scalebox{0.909}{\small\bfseries C}};
\fill[red!75!black] (2.41,4.237) circle (0.11);
\node at (2.145,4.661) {\scalebox{0.909}{\small\bfseries D}};
\fill[red!75!black] (4.41,4.237) circle (0.11);
\node at (4.675,4.661) {\scalebox{0.909}{\small\bfseries E}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent Le facteur voudrait \textbf{emprunter chaque rue exactement une fois} — ni deux fois la même, ni en oublier. Il peut passer plusieurs fois par un même carrefour, cela ne le dérange pas.\par\addvspace{0.35em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{La tournée est-elle possible ?} Si oui, en donner une en précisant le point de départ ; si non, le démontrer.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 3 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 12 = 2 \(\times\) 6, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or une tournée n'a qu'\textbf{un seul départ} et \textbf{une seule arrivée}. Il ne peut donc pas y avoir plus de \textbf{deux} carrefours impairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{C'est possible}, mais à une condition : il faut \textbf{partir de C} et \textbf{arriver en E} (ou l'inverse) — les deux carrefours impairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Un itinéraire possible :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\textbf{C \(\rightarrow\) D \(\rightarrow\) E \(\rightarrow\) A \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) C \(\rightarrow\) E}\par\addvspace{0.3em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0998, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.41,1.237) -- (2.41,4.237);
\draw[line width=0.5pt] (2.41,4.237) -- (4.41,4.237);
\draw[line width=0.5pt] (1.41,1.237) -- (3.41,2.237);
\draw[line width=0.5pt] (1.41,1.237) -- (4.41,4.237);
\draw[line width=0.5pt] (5.41,1.237) -- (4.41,4.237);
\draw[line width=0.5pt] (3.41,2.237) -- (5.41,1.237);
\fill[red!75!black] (1.41,1.237) circle (0.11);
\node at (1.0,0.95) {\scalebox{0.909}{\small\bfseries A}};
\fill[red!75!black] (3.41,2.237) circle (0.11);
\node at (3.41,1.737) {\scalebox{0.909}{\small\bfseries B}};
\fill[red!75!black] (5.41,1.237) circle (0.11);
\node at (5.819,0.95) {\scalebox{0.909}{\small\bfseries C}};
\fill[red!75!black] (2.41,4.237) circle (0.11);
\node at (2.145,4.661) {\scalebox{0.909}{\small\bfseries D}};
\fill[red!75!black] (4.41,4.237) circle (0.11);
\node at (4.675,4.661) {\scalebox{0.909}{\small\bfseries E}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Le plan : les 6 rues sont toutes parcourues une fois par cet itinéraire.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cet itinéraire comporte 6 étapes, soit exactement les 6 rues, chacune une seule fois.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Attention au point de départ.} Partir d'un carrefour pair condamnerait la tournée : on peut vérifier qu'aucun itinéraire complet ne commence ailleurs qu'en C ou E.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le critère d'Euler, à retenir.} Si le plan est d'un seul tenant, la tournée est possible \textbf{si et seulement si} le nombre de carrefours impairs vaut \textbf{0} (on revient au départ) ou \textbf{2} (on part de l'un et on finit à l'autre). Dans tous les autres cas, c'est impossible.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Un peu d'histoire.} Ce problème est né à Königsberg en 1736 : les habitants cherchaient une promenade franchissant les sept ponts de la ville une seule fois chacun. Euler démontra que c'était impossible — les quatre quartiers avaient tous un nombre impair de ponts. C'est l'acte de naissance de la \textbf{théorie des graphes}.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
