\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 0}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=0}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0000}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7753, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.677,11.444) -- (9.368,11.43) -- (9.059,11.409) -- (8.75,11.38) -- (8.443,11.344) -- (8.136,11.301) -- (7.83,11.251) -- (7.526,11.194) -- (7.223,11.13) -- (6.921,11.058) -- (6.622,10.979) -- (6.324,10.894) -- (6.029,10.801) -- (5.736,10.702) -- (5.445,10.595) -- (5.132,10.607) -- (4.82,10.625) -- (4.508,10.651) -- (4.197,10.685) -- (3.887,10.726) -- (3.577,10.774) -- (3.269,10.829) -- (2.962,10.892) -- (2.657,10.961) -- (2.354,11.038) -- (2.052,11.122) -- (1.753,11.213) -- (1.455,11.311) -- (1.161,11.416);
\draw[line width=0.5pt] (9.677,11.444) -- (9.355,11.01) -- (9.024,10.584) -- (8.682,10.166) -- (8.33,9.755) -- (7.969,9.354) -- (7.598,8.96) -- (7.218,8.576) -- (6.829,8.2) -- (6.432,7.834) -- (6.026,7.478) -- (5.612,7.13) -- (5.19,6.793) -- (4.76,6.466) -- (4.323,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (1.161,11.416) -- (1.327,11.008) -- (1.503,10.605) -- (1.689,10.205) -- (1.884,9.81) -- (2.089,9.419) -- (2.302,9.033) -- (2.525,8.653) -- (2.756,8.277) -- (2.996,7.908) -- (3.245,7.544) -- (3.502,7.186) -- (3.768,6.834) -- (4.041,6.489) -- (4.323,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (10.05,6.37) -- (9.647,6.292) -- (9.241,6.223) -- (8.835,6.164) -- (8.426,6.115) -- (8.017,6.075) -- (7.607,6.045) -- (7.196,6.024) -- (6.784,6.013) -- (6.373,6.012) -- (5.962,6.02) -- (5.551,6.038) -- (5.141,6.066) -- (4.731,6.103) -- (4.323,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (10.05,6.37) -- (9.898,6.1) -- (9.752,5.827) -- (9.613,5.55) -- (9.481,5.27) -- (9.355,4.987) -- (9.235,4.7) -- (9.123,4.411) -- (9.017,4.12) -- (8.918,3.826) -- (8.826,3.53) -- (8.741,3.232) -- (8.663,2.932) -- (8.592,2.63) -- (8.529,2.327);
\draw[line width=0.5pt] (1.616,6.232) -- (1.809,6.256) -- (2.002,6.275) -- (2.196,6.29) -- (2.39,6.3) -- (2.584,6.306) -- (2.779,6.306) -- (2.973,6.303) -- (3.167,6.295) -- (3.361,6.282) -- (3.555,6.265) -- (3.748,6.243) -- (3.94,6.216) -- (4.132,6.185) -- (4.323,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (1.616,6.232) -- (1.55,5.895) -- (1.492,5.556) -- (1.442,5.216) -- (1.4,4.875) -- (1.366,4.533) -- (1.339,4.19) -- (1.321,3.846) -- (1.311,3.502) -- (1.31,3.158) -- (1.316,2.814) -- (1.33,2.471) -- (1.352,2.127) -- (1.383,1.785) -- (1.422,1.444);
\draw[line width=0.5pt] (4.323,6.15) -- (4.663,5.925) -- (4.997,5.692) -- (5.326,5.451) -- (5.65,5.203) -- (5.967,4.946) -- (6.278,4.683) -- (6.583,4.412) -- (6.882,4.134) -- (7.174,3.849) -- (7.459,3.558) -- (7.738,3.259) -- (8.009,2.955) -- (8.272,2.644) -- (8.529,2.327);
\draw[line width=0.5pt] (4.323,6.15) -- (4.066,5.848) -- (3.816,5.54) -- (3.573,5.227) -- (3.338,4.907) -- (3.11,4.582) -- (2.89,4.252) -- (2.678,3.916) -- (2.474,3.576) -- (2.278,3.231) -- (2.089,2.882) -- (1.91,2.528) -- (1.738,2.17) -- (1.576,1.809) -- (1.422,1.444);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.837,11.444) -- (9.815,11.524) -- (9.757,11.582) -- (9.677,11.604) -- (9.597,11.582) -- (9.538,11.524) -- (9.517,11.444) -- (9.538,11.364) -- (9.597,11.305) -- (9.677,11.284) -- (9.757,11.305) -- (9.815,11.364) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.321,11.416) -- (1.299,11.496) -- (1.241,11.555) -- (1.161,11.576) -- (1.081,11.555) -- (1.022,11.496) -- (1.001,11.416) -- (1.022,11.336) -- (1.081,11.278) -- (1.161,11.256) -- (1.241,11.278) -- (1.299,11.336) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.21,6.37) -- (10.189,6.45) -- (10.13,6.509) -- (10.05,6.53) -- (9.97,6.509) -- (9.912,6.45) -- (9.89,6.37) -- (9.912,6.29) -- (9.97,6.232) -- (10.05,6.21) -- (10.13,6.232) -- (10.189,6.29) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.776,6.232) -- (1.755,6.312) -- (1.696,6.371) -- (1.616,6.392) -- (1.536,6.371) -- (1.478,6.312) -- (1.456,6.232) -- (1.478,6.152) -- (1.536,6.094) -- (1.616,6.072) -- (1.696,6.094) -- (1.755,6.152) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.483,6.15) -- (4.461,6.23) -- (4.403,6.289) -- (4.323,6.31) -- (4.243,6.289) -- (4.184,6.23) -- (4.163,6.15) -- (4.184,6.07) -- (4.243,6.011) -- (4.323,5.99) -- (4.403,6.011) -- (4.461,6.07) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.689,2.327) -- (8.667,2.407) -- (8.609,2.466) -- (8.529,2.487) -- (8.449,2.466) -- (8.39,2.407) -- (8.369,2.327) -- (8.39,2.247) -- (8.449,2.188) -- (8.529,2.167) -- (8.609,2.188) -- (8.667,2.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.582,1.444) -- (1.56,1.524) -- (1.502,1.582) -- (1.422,1.604) -- (1.342,1.582) -- (1.283,1.524) -- (1.262,1.444) -- (1.283,1.364) -- (1.342,1.305) -- (1.422,1.284) -- (1.502,1.305) -- (1.56,1.364) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.835,10.279) -- (5.789,10.449) -- (5.665,10.574) -- (5.495,10.619) -- (5.325,10.574) -- (5.2,10.449) -- (5.155,10.279) -- (5.2,10.109) -- (5.325,9.985) -- (5.495,9.939) -- (5.665,9.985) -- (5.789,10.109) -- cycle;
\node at (5.495,10.279) {\scalebox{1.29}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.783,8.348) -- (7.738,8.518) -- (7.613,8.643) -- (7.443,8.688) -- (7.273,8.643) -- (7.149,8.518) -- (7.103,8.348) -- (7.149,8.178) -- (7.273,8.054) -- (7.443,8.008) -- (7.613,8.054) -- (7.738,8.178) -- cycle;
\node at (7.443,8.348) {\scalebox{1.29}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.139,8.817) -- (3.093,8.987) -- (2.969,9.112) -- (2.799,9.157) -- (2.629,9.112) -- (2.505,8.987) -- (2.459,8.817) -- (2.505,8.647) -- (2.629,8.523) -- (2.799,8.477) -- (2.969,8.523) -- (3.093,8.647) -- cycle;
\node at (2.799,8.817) {\scalebox{1.29}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.548,5.704) -- (7.502,5.874) -- (7.378,5.999) -- (7.208,6.044) -- (7.038,5.999) -- (6.914,5.874) -- (6.868,5.704) -- (6.914,5.534) -- (7.038,5.41) -- (7.208,5.364) -- (7.378,5.41) -- (7.502,5.534) -- cycle;
\node at (7.208,5.704) {\scalebox{1.29}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.762,4.299) -- (9.717,4.469) -- (9.592,4.593) -- (9.422,4.639) -- (9.252,4.593) -- (9.128,4.469) -- (9.082,4.299) -- (9.128,4.129) -- (9.252,4.004) -- (9.422,3.959) -- (9.592,4.004) -- (9.717,4.129) -- cycle;
\node at (9.422,4.299) {\scalebox{1.29}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.323,6.623) -- (3.277,6.793) -- (3.153,6.917) -- (2.983,6.963) -- (2.813,6.917) -- (2.688,6.793) -- (2.643,6.623) -- (2.688,6.453) -- (2.813,6.328) -- (2.983,6.283) -- (3.153,6.328) -- (3.277,6.453) -- cycle;
\node at (2.983,6.623) {\scalebox{1.29}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.981,3.833) -- (1.936,4.003) -- (1.811,4.127) -- (1.641,4.173) -- (1.471,4.127) -- (1.347,4.003) -- (1.301,3.833) -- (1.347,3.663) -- (1.471,3.539) -- (1.641,3.493) -- (1.811,3.539) -- (1.936,3.663) -- cycle;
\node at (1.641,3.833) {\scalebox{1.29}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.139,4.649) -- (7.093,4.819) -- (6.969,4.943) -- (6.799,4.989) -- (6.629,4.943) -- (6.504,4.819) -- (6.459,4.649) -- (6.504,4.479) -- (6.629,4.354) -- (6.799,4.309) -- (6.969,4.354) -- (7.093,4.479) -- cycle;
\node at (6.799,4.649) {\scalebox{1.29}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.29,3.749) -- (3.245,3.919) -- (3.12,4.043) -- (2.95,4.089) -- (2.78,4.043) -- (2.656,3.919) -- (2.61,3.749) -- (2.656,3.579) -- (2.78,3.454) -- (2.95,3.409) -- (3.12,3.454) -- (3.245,3.579) -- cycle;
\node at (2.95,3.749) {\scalebox{1.29}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.023,5.85) -- (4.623,5.85) -- (4.623,6.45) -- (4.023,6.45) -- cycle;
\node at (4.323,6.15) {\scalebox{1.29}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.604,6.73) -- (2.204,6.73) -- (2.204,7.33) -- (1.604,7.33) -- cycle;
\node at (1.904,7.03) {\scalebox{1.29}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.895,4.671) -- (8.495,4.671) -- (8.495,5.271) -- (7.895,5.271) -- cycle;
\node at (8.195,4.971) {\scalebox{1.29}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.706,2.844) -- (1.306,2.844) -- (1.306,3.444) -- (0.706,3.444) -- cycle;
\node at (1.006,3.144) {\scalebox{1.29}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.439,3.749) -- (8.039,3.749) -- (8.039,4.349) -- (7.439,4.349) -- cycle;
\node at (7.739,4.049) {\scalebox{1.29}{\small e}};
\node at (10.089,11.906) {\scalebox{1.29}{\small A}};
\node at (0.765,11.893) {\scalebox{1.29}{\small B}};
\node at (10.67,6.356) {\scalebox{1.29}{\small C}};
\node at (0.998,6.19) {\scalebox{1.29}{\small D}};
\node at (3.739,5.941) {\scalebox{1.29}{\small E}};
\node at (8.912,1.84) {\scalebox{1.29}{\small F}};
\node at (1.046,0.95) {\scalebox{1.29}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.35,10.494) -- (11.35,11.594);
\draw[line width=0.5pt] (11.119,11.209) -- (11.35,11.594) -- (11.581,11.209);
\draw[line width=0.5pt] (11.048,11.044) -- (11.653,11.044);
\node at (11.35,11.979) {\scalebox{1.29}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Mairie & ⑥ rue Basse & Ⓐ Place Sainte-Croix & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑦ rue du Pont & Ⓑ Place aux Herbes & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ rue des Jardins & ⑧ rue Neuve & Ⓒ Place de la Fontaine & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ passage du Marché & ⑨ allée des Tilleuls & Ⓓ Place du Vieux-Puits & \textbf{d} le cimetière \\ \hline
⑤ rue de la Poste &  & Ⓔ Rond-point du Stade & \textbf{e} la gendarmerie \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place des Tanneurs &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6937, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.677,11.444) -- (9.368,11.43) -- (9.059,11.409) -- (8.75,11.38) -- (8.443,11.344) -- (8.136,11.301) -- (7.83,11.251) -- (7.526,11.194) -- (7.223,11.13) -- (6.921,11.058) -- (6.622,10.979) -- (6.324,10.894) -- (6.029,10.801) -- (5.736,10.702) -- (5.445,10.595) -- (5.132,10.607) -- (4.82,10.625) -- (4.508,10.651) -- (4.197,10.685) -- (3.887,10.726) -- (3.577,10.774) -- (3.269,10.829) -- (2.962,10.892) -- (2.657,10.961) -- (2.354,11.038) -- (2.052,11.122) -- (1.753,11.213) -- (1.455,11.311) -- (1.161,11.416);
\draw[line width=0.5pt] (9.677,11.444) -- (9.355,11.01) -- (9.024,10.584) -- (8.682,10.166) -- (8.33,9.755) -- (7.969,9.354) -- (7.598,8.96) -- (7.218,8.576) -- (6.829,8.2) -- (6.432,7.834) -- (6.026,7.478) -- (5.612,7.13) -- (5.19,6.793) -- (4.76,6.466) -- (4.323,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (1.161,11.416) -- (1.327,11.008) -- (1.503,10.605) -- (1.689,10.205) -- (1.884,9.81) -- (2.089,9.419) -- (2.302,9.033) -- (2.525,8.653) -- (2.756,8.277) -- (2.996,7.908) -- (3.245,7.544) -- (3.502,7.186) -- (3.768,6.834) -- (4.041,6.489) -- (4.323,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (10.05,6.37) -- (9.647,6.292) -- (9.241,6.223) -- (8.835,6.164) -- (8.426,6.115) -- (8.017,6.075) -- (7.607,6.045) -- (7.196,6.024) -- (6.784,6.013) -- (6.373,6.012) -- (5.962,6.02) -- (5.551,6.038) -- (5.141,6.066) -- (4.731,6.103) -- (4.323,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (10.05,6.37) -- (9.898,6.1) -- (9.752,5.827) -- (9.613,5.55) -- (9.481,5.27) -- (9.355,4.987) -- (9.235,4.7) -- (9.123,4.411) -- (9.017,4.12) -- (8.918,3.826) -- (8.826,3.53) -- (8.741,3.232) -- (8.663,2.932) -- (8.592,2.63) -- (8.529,2.327);
\draw[line width=0.5pt] (1.616,6.232) -- (1.809,6.256) -- (2.002,6.275) -- (2.196,6.29) -- (2.39,6.3) -- (2.584,6.306) -- (2.779,6.306) -- (2.973,6.303) -- (3.167,6.295) -- (3.361,6.282) -- (3.555,6.265) -- (3.748,6.243) -- (3.94,6.216) -- (4.132,6.185) -- (4.323,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (1.616,6.232) -- (1.55,5.895) -- (1.492,5.556) -- (1.442,5.216) -- (1.4,4.875) -- (1.366,4.533) -- (1.339,4.19) -- (1.321,3.846) -- (1.311,3.502) -- (1.31,3.158) -- (1.316,2.814) -- (1.33,2.471) -- (1.352,2.127) -- (1.383,1.785) -- (1.422,1.444);
\draw[line width=0.5pt] (4.323,6.15) -- (4.663,5.925) -- (4.997,5.692) -- (5.326,5.451) -- (5.65,5.203) -- (5.967,4.946) -- (6.278,4.683) -- (6.583,4.412) -- (6.882,4.134) -- (7.174,3.849) -- (7.459,3.558) -- (7.738,3.259) -- (8.009,2.955) -- (8.272,2.644) -- (8.529,2.327);
\draw[line width=0.5pt] (4.323,6.15) -- (4.066,5.848) -- (3.816,5.54) -- (3.573,5.227) -- (3.338,4.907) -- (3.11,4.582) -- (2.89,4.252) -- (2.678,3.916) -- (2.474,3.576) -- (2.278,3.231) -- (2.089,2.882) -- (1.91,2.528) -- (1.738,2.17) -- (1.576,1.809) -- (1.422,1.444);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.837,11.444) -- (9.815,11.524) -- (9.757,11.582) -- (9.677,11.604) -- (9.597,11.582) -- (9.538,11.524) -- (9.517,11.444) -- (9.538,11.364) -- (9.597,11.305) -- (9.677,11.284) -- (9.757,11.305) -- (9.815,11.364) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.321,11.416) -- (1.299,11.496) -- (1.241,11.555) -- (1.161,11.576) -- (1.081,11.555) -- (1.022,11.496) -- (1.001,11.416) -- (1.022,11.336) -- (1.081,11.278) -- (1.161,11.256) -- (1.241,11.278) -- (1.299,11.336) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.21,6.37) -- (10.189,6.45) -- (10.13,6.509) -- (10.05,6.53) -- (9.97,6.509) -- (9.912,6.45) -- (9.89,6.37) -- (9.912,6.29) -- (9.97,6.232) -- (10.05,6.21) -- (10.13,6.232) -- (10.189,6.29) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.776,6.232) -- (1.755,6.312) -- (1.696,6.371) -- (1.616,6.392) -- (1.536,6.371) -- (1.478,6.312) -- (1.456,6.232) -- (1.478,6.152) -- (1.536,6.094) -- (1.616,6.072) -- (1.696,6.094) -- (1.755,6.152) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.483,6.15) -- (4.461,6.23) -- (4.403,6.289) -- (4.323,6.31) -- (4.243,6.289) -- (4.184,6.23) -- (4.163,6.15) -- (4.184,6.07) -- (4.243,6.011) -- (4.323,5.99) -- (4.403,6.011) -- (4.461,6.07) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.689,2.327) -- (8.667,2.407) -- (8.609,2.466) -- (8.529,2.487) -- (8.449,2.466) -- (8.39,2.407) -- (8.369,2.327) -- (8.39,2.247) -- (8.449,2.188) -- (8.529,2.167) -- (8.609,2.188) -- (8.667,2.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.582,1.444) -- (1.56,1.524) -- (1.502,1.582) -- (1.422,1.604) -- (1.342,1.582) -- (1.283,1.524) -- (1.262,1.444) -- (1.283,1.364) -- (1.342,1.305) -- (1.422,1.284) -- (1.502,1.305) -- (1.56,1.364) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.835,10.279) -- (5.789,10.449) -- (5.665,10.574) -- (5.495,10.619) -- (5.325,10.574) -- (5.2,10.449) -- (5.155,10.279) -- (5.2,10.109) -- (5.325,9.985) -- (5.495,9.939) -- (5.665,9.985) -- (5.789,10.109) -- cycle;
\node at (5.495,10.279) {\scalebox{1.442}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.783,8.348) -- (7.738,8.518) -- (7.613,8.643) -- (7.443,8.688) -- (7.273,8.643) -- (7.149,8.518) -- (7.103,8.348) -- (7.149,8.178) -- (7.273,8.054) -- (7.443,8.008) -- (7.613,8.054) -- (7.738,8.178) -- cycle;
\node at (7.443,8.348) {\scalebox{1.442}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.139,8.817) -- (3.093,8.987) -- (2.969,9.112) -- (2.799,9.157) -- (2.629,9.112) -- (2.505,8.987) -- (2.459,8.817) -- (2.505,8.647) -- (2.629,8.523) -- (2.799,8.477) -- (2.969,8.523) -- (3.093,8.647) -- cycle;
\node at (2.799,8.817) {\scalebox{1.442}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.548,5.704) -- (7.502,5.874) -- (7.378,5.999) -- (7.208,6.044) -- (7.038,5.999) -- (6.914,5.874) -- (6.868,5.704) -- (6.914,5.534) -- (7.038,5.41) -- (7.208,5.364) -- (7.378,5.41) -- (7.502,5.534) -- cycle;
\node at (7.208,5.704) {\scalebox{1.442}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.762,4.299) -- (9.717,4.469) -- (9.592,4.593) -- (9.422,4.639) -- (9.252,4.593) -- (9.128,4.469) -- (9.082,4.299) -- (9.128,4.129) -- (9.252,4.004) -- (9.422,3.959) -- (9.592,4.004) -- (9.717,4.129) -- cycle;
\node at (9.422,4.299) {\scalebox{1.442}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.323,6.623) -- (3.277,6.793) -- (3.153,6.917) -- (2.983,6.963) -- (2.813,6.917) -- (2.688,6.793) -- (2.643,6.623) -- (2.688,6.453) -- (2.813,6.328) -- (2.983,6.283) -- (3.153,6.328) -- (3.277,6.453) -- cycle;
\node at (2.983,6.623) {\scalebox{1.442}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.981,3.833) -- (1.936,4.003) -- (1.811,4.127) -- (1.641,4.173) -- (1.471,4.127) -- (1.347,4.003) -- (1.301,3.833) -- (1.347,3.663) -- (1.471,3.539) -- (1.641,3.493) -- (1.811,3.539) -- (1.936,3.663) -- cycle;
\node at (1.641,3.833) {\scalebox{1.442}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.139,4.649) -- (7.093,4.819) -- (6.969,4.943) -- (6.799,4.989) -- (6.629,4.943) -- (6.504,4.819) -- (6.459,4.649) -- (6.504,4.479) -- (6.629,4.354) -- (6.799,4.309) -- (6.969,4.354) -- (7.093,4.479) -- cycle;
\node at (6.799,4.649) {\scalebox{1.442}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.29,3.749) -- (3.245,3.919) -- (3.12,4.043) -- (2.95,4.089) -- (2.78,4.043) -- (2.656,3.919) -- (2.61,3.749) -- (2.656,3.579) -- (2.78,3.454) -- (2.95,3.409) -- (3.12,3.454) -- (3.245,3.579) -- cycle;
\node at (2.95,3.749) {\scalebox{1.442}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.023,5.85) -- (4.623,5.85) -- (4.623,6.45) -- (4.023,6.45) -- cycle;
\node at (4.323,6.15) {\scalebox{1.442}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.604,6.73) -- (2.204,6.73) -- (2.204,7.33) -- (1.604,7.33) -- cycle;
\node at (1.904,7.03) {\scalebox{1.442}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.895,4.671) -- (8.495,4.671) -- (8.495,5.271) -- (7.895,5.271) -- cycle;
\node at (8.195,4.971) {\scalebox{1.442}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.706,2.844) -- (1.306,2.844) -- (1.306,3.444) -- (0.706,3.444) -- cycle;
\node at (1.006,3.144) {\scalebox{1.442}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.439,3.749) -- (8.039,3.749) -- (8.039,4.349) -- (7.439,4.349) -- cycle;
\node at (7.739,4.049) {\scalebox{1.442}{\small e}};
\node at (10.089,11.906) {\scalebox{1.442}{\small A}};
\node at (0.765,11.893) {\scalebox{1.442}{\small B}};
\node at (10.67,6.356) {\scalebox{1.442}{\small C}};
\node at (0.998,6.19) {\scalebox{1.442}{\small D}};
\node at (3.739,5.941) {\scalebox{1.442}{\small E}};
\node at (8.912,1.84) {\scalebox{1.442}{\small F}};
\node at (1.046,0.95) {\scalebox{1.442}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.35,10.494) -- (11.35,11.594);
\draw[line width=0.5pt] (11.119,11.209) -- (11.35,11.594) -- (11.581,11.209);
\draw[line width=0.5pt] (11.048,11.044) -- (11.653,11.044);
\node at (11.35,11.979) {\scalebox{1.442}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Stade \textbf{(E)}, prend la \textbf{rue Verte ②} vers le nord-est et atteint Place Sainte-Croix \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ③}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ④}, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ⑤}, vers le sud, jusqu'à Place du Marché \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ⑧}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Basse ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(G)}.
  \item Il prend dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑨}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
