\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 1}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=1}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0001}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7162, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.678,11.383) -- (9.436,11.358) -- (9.194,11.328) -- (8.953,11.293) -- (8.713,11.251) -- (8.474,11.204) -- (8.236,11.152) -- (7.999,11.094) -- (7.764,11.03) -- (7.53,10.961) -- (7.299,10.886) -- (7.068,10.806) -- (6.84,10.721) -- (6.614,10.63) -- (6.391,10.534);
\draw[line width=0.5pt] (9.678,11.383) -- (9.446,11.003) -- (9.206,10.63) -- (8.956,10.262) -- (8.698,9.9) -- (8.432,9.544) -- (8.157,9.194) -- (7.874,8.851) -- (7.583,8.515) -- (7.284,8.186) -- (6.977,7.863) -- (6.663,7.549) -- (6.342,7.241) -- (6.014,6.942) -- (5.679,6.65);
\draw[line width=0.5pt] (9.678,11.383) -- (9.618,11.043) -- (9.567,10.703) -- (9.523,10.361) -- (9.487,10.019) -- (9.46,9.675) -- (9.441,9.331) -- (9.429,8.987) -- (9.426,8.642) -- (9.431,8.297) -- (9.444,7.953) -- (9.465,7.609) -- (9.494,7.266) -- (9.531,6.924) -- (9.577,6.582);
\draw[line width=0.5pt] (6.391,10.534) -- (6.383,10.251) -- (6.368,9.968) -- (6.347,9.685) -- (6.319,9.403) -- (6.284,9.122) -- (6.243,8.842) -- (6.195,8.563) -- (6.141,8.284) -- (6.08,8.008) -- (6.012,7.732) -- (5.939,7.459) -- (5.858,7.187) -- (5.772,6.918) -- (5.679,6.65);
\draw[line width=0.5pt] (5.679,6.65) -- (5.954,6.603) -- (6.231,6.562) -- (6.509,6.527) -- (6.787,6.5) -- (7.066,6.478) -- (7.345,6.464) -- (7.625,6.455) -- (7.905,6.454) -- (8.185,6.459) -- (8.464,6.47) -- (8.743,6.489) -- (9.022,6.513) -- (9.3,6.545) -- (9.577,6.582);
\draw[line width=0.5pt] (5.679,6.65) -- (5.403,6.569) -- (5.126,6.494) -- (4.846,6.426) -- (4.565,6.365) -- (4.283,6.31) -- (3.999,6.261) -- (3.714,6.22) -- (3.429,6.185) -- (3.142,6.157) -- (2.856,6.135) -- (2.568,6.121) -- (2.281,6.113) -- (1.993,6.112) -- (1.706,6.117);
\draw[line width=0.5pt] (5.679,6.65) -- (6.014,6.293) -- (6.358,5.945) -- (6.711,5.604) -- (7.071,5.272) -- (7.439,4.948) -- (7.814,4.633) -- (8.197,4.327) -- (8.587,4.03) -- (8.984,3.742) -- (9.387,3.463) -- (9.797,3.195) -- (10.213,2.936) -- (10.635,2.687) -- (11.062,2.448);
\draw[line width=0.5pt] (5.679,6.65) -- (5.425,6.229) -- (5.162,5.813) -- (4.888,5.404) -- (4.605,5.002) -- (4.312,4.606) -- (4.01,4.217) -- (3.7,3.835) -- (3.38,3.461) -- (3.051,3.094) -- (2.714,2.735) -- (2.369,2.384) -- (2.016,2.042) -- (1.655,1.708) -- (1.286,1.383);
\draw[line width=0.5pt] (1.706,6.117) -- (1.624,5.786) -- (1.551,5.454) -- (1.485,5.119) -- (1.427,4.783) -- (1.377,4.445) -- (1.335,4.107) -- (1.3,3.767) -- (1.274,3.427) -- (1.256,3.086) -- (1.246,2.745) -- (1.244,2.404) -- (1.25,2.063) -- (1.264,1.723) -- (1.286,1.383);
\draw[line width=0.5pt] (11.062,2.448) -- (10.649,2.38) -- (10.233,2.322) -- (9.817,2.274) -- (9.399,2.236) -- (8.981,2.207) -- (8.561,2.189) -- (8.142,2.18) -- (7.722,2.181) -- (7.303,2.192) -- (6.884,2.213) -- (6.465,2.244) -- (6.048,2.284) -- (5.632,2.335) -- (5.217,2.395) -- (4.927,2.366) -- (4.638,2.331) -- (4.35,2.288) -- (4.063,2.239) -- (3.777,2.183) -- (3.493,2.12) -- (3.21,2.051) -- (2.928,1.975) -- (2.649,1.892) -- (2.371,1.803) -- (2.096,1.708) -- (1.823,1.606) -- (1.553,1.497) -- (1.286,1.383);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.838,11.383) -- (9.816,11.463) -- (9.758,11.521) -- (9.678,11.543) -- (9.598,11.521) -- (9.539,11.463) -- (9.518,11.383) -- (9.539,11.303) -- (9.598,11.244) -- (9.678,11.223) -- (9.758,11.244) -- (9.816,11.303) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.551,10.534) -- (6.529,10.614) -- (6.471,10.672) -- (6.391,10.694) -- (6.311,10.672) -- (6.252,10.614) -- (6.231,10.534) -- (6.252,10.454) -- (6.311,10.395) -- (6.391,10.374) -- (6.471,10.395) -- (6.529,10.454) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.839,6.65) -- (5.817,6.73) -- (5.759,6.789) -- (5.679,6.81) -- (5.599,6.789) -- (5.54,6.73) -- (5.519,6.65) -- (5.54,6.57) -- (5.599,6.512) -- (5.679,6.49) -- (5.759,6.512) -- (5.817,6.57) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.737,6.582) -- (9.715,6.662) -- (9.657,6.721) -- (9.577,6.742) -- (9.497,6.721) -- (9.438,6.662) -- (9.417,6.582) -- (9.438,6.502) -- (9.497,6.444) -- (9.577,6.422) -- (9.657,6.444) -- (9.715,6.502) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.866,6.117) -- (1.845,6.197) -- (1.786,6.256) -- (1.706,6.277) -- (1.626,6.256) -- (1.567,6.197) -- (1.546,6.117) -- (1.567,6.037) -- (1.626,5.979) -- (1.706,5.957) -- (1.786,5.979) -- (1.845,6.037) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.222,2.448) -- (11.201,2.528) -- (11.142,2.586) -- (11.062,2.608) -- (10.982,2.586) -- (10.924,2.528) -- (10.902,2.448) -- (10.924,2.368) -- (10.982,2.309) -- (11.062,2.288) -- (11.142,2.309) -- (11.201,2.368) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.446,1.383) -- (1.424,1.463) -- (1.366,1.521) -- (1.286,1.543) -- (1.206,1.521) -- (1.147,1.463) -- (1.126,1.383) -- (1.147,1.303) -- (1.206,1.244) -- (1.286,1.223) -- (1.366,1.244) -- (1.424,1.303) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.419,10.784) -- (8.374,10.954) -- (8.249,11.078) -- (8.079,11.124) -- (7.909,11.078) -- (7.785,10.954) -- (7.739,10.784) -- (7.785,10.614) -- (7.909,10.489) -- (8.079,10.444) -- (8.249,10.489) -- (8.374,10.614) -- cycle;
\node at (8.079,10.784) {\scalebox{1.396}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.458,8.645) -- (8.412,8.815) -- (8.288,8.939) -- (8.118,8.985) -- (7.948,8.939) -- (7.824,8.815) -- (7.778,8.645) -- (7.824,8.475) -- (7.948,8.35) -- (8.118,8.305) -- (8.288,8.35) -- (8.412,8.475) -- cycle;
\node at (8.118,8.645) {\scalebox{1.396}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.089,8.98) -- (10.044,9.15) -- (9.919,9.274) -- (9.749,9.32) -- (9.579,9.274) -- (9.455,9.15) -- (9.409,8.98) -- (9.455,8.81) -- (9.579,8.685) -- (9.749,8.64) -- (9.919,8.685) -- (10.044,8.81) -- cycle;
\node at (9.749,8.98) {\scalebox{1.396}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.85,8.505) -- (6.804,8.675) -- (6.68,8.799) -- (6.51,8.845) -- (6.34,8.799) -- (6.215,8.675) -- (6.17,8.505) -- (6.215,8.335) -- (6.34,8.21) -- (6.51,8.165) -- (6.68,8.21) -- (6.804,8.335) -- cycle;
\node at (6.51,8.505) {\scalebox{1.396}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.971,6.775) -- (7.925,6.945) -- (7.801,7.07) -- (7.631,7.115) -- (7.461,7.07) -- (7.336,6.945) -- (7.291,6.775) -- (7.336,6.605) -- (7.461,6.481) -- (7.631,6.435) -- (7.801,6.481) -- (7.925,6.605) -- cycle;
\node at (7.631,6.775) {\scalebox{1.396}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.097,5.903) -- (4.051,6.073) -- (3.927,6.197) -- (3.757,6.243) -- (3.587,6.197) -- (3.463,6.073) -- (3.417,5.903) -- (3.463,5.733) -- (3.587,5.608) -- (3.757,5.563) -- (3.927,5.608) -- (4.051,5.733) -- cycle;
\node at (3.757,5.903) {\scalebox{1.396}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.734,4.579) -- (8.689,4.749) -- (8.564,4.874) -- (8.394,4.919) -- (8.224,4.874) -- (8.1,4.749) -- (8.054,4.579) -- (8.1,4.409) -- (8.224,4.285) -- (8.394,4.239) -- (8.564,4.285) -- (8.689,4.409) -- cycle;
\node at (8.394,4.579) {\scalebox{1.396}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.285,3.63) -- (4.24,3.8) -- (4.115,3.925) -- (3.945,3.97) -- (3.775,3.925) -- (3.651,3.8) -- (3.605,3.63) -- (3.651,3.46) -- (3.775,3.336) -- (3.945,3.29) -- (4.115,3.336) -- (4.24,3.46) -- cycle;
\node at (3.945,3.63) {\scalebox{1.396}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.959,3.739) -- (1.914,3.909) -- (1.789,4.033) -- (1.619,4.079) -- (1.449,4.033) -- (1.325,3.909) -- (1.279,3.739) -- (1.325,3.569) -- (1.449,3.445) -- (1.619,3.399) -- (1.789,3.445) -- (1.914,3.569) -- cycle;
\node at (1.619,3.739) {\scalebox{1.396}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.543,2.075) -- (5.497,2.245) -- (5.373,2.37) -- (5.203,2.415) -- (5.033,2.37) -- (4.908,2.245) -- (4.863,2.075) -- (4.908,1.905) -- (5.033,1.781) -- (5.203,1.735) -- (5.373,1.781) -- (5.497,1.905) -- cycle;
\node at (5.203,2.075) {\scalebox{1.396}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.378,11.083) -- (9.978,11.083) -- (9.978,11.683) -- (9.378,11.683) -- cycle;
\node at (9.678,11.383) {\scalebox{1.396}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,2.861) -- (1.2,2.861) -- (1.2,3.461) -- (0.6,3.461) -- cycle;
\node at (0.9,3.161) {\scalebox{1.396}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.136,2.323) -- (3.736,2.323) -- (3.736,2.923) -- (3.136,2.923) -- cycle;
\node at (3.436,2.623) {\scalebox{1.396}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.994,8.196) -- (8.594,8.196) -- (8.594,8.796) -- (7.994,8.796) -- cycle;
\node at (8.294,8.496) {\scalebox{1.396}{\small d}};
\node at (10.015,11.903) {\scalebox{1.396}{\small A}};
\node at (6.377,11.154) {\scalebox{1.396}{\small B}};
\node at (5.079,6.805) {\scalebox{1.396}{\small C}};
\node at (10.196,6.61) {\scalebox{1.396}{\small D}};
\node at (1.087,6.075) {\scalebox{1.396}{\small E}};
\node at (11.53,2.04) {\scalebox{1.396}{\small F}};
\node at (0.841,0.95) {\scalebox{1.396}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.362,10.433) -- (12.362,11.533);
\draw[line width=0.5pt] (12.131,11.148) -- (12.362,11.533) -- (12.593,11.148);
\draw[line width=0.5pt] (12.06,10.983) -- (12.665,10.983);
\node at (12.362,11.918) {\scalebox{1.396}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Stade & ⑥ avenue de la Gare & Ⓐ Carrefour de la Mairie & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Puits & ⑦ quai aux Fleurs & Ⓑ Place des Tanneurs & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ rue de la Poste & ⑧ rue des Écoles & Ⓒ Rond-point de la Gare & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ rue de la Mairie & ⑨ rue des Jardins & Ⓓ Place du Marché & \textbf{d} l'école \\ \hline
⑤ rue Verte & ⑩ chemin du Lavoir & Ⓔ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point du Pont &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6408, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.678,11.383) -- (9.436,11.358) -- (9.194,11.328) -- (8.953,11.293) -- (8.713,11.251) -- (8.474,11.204) -- (8.236,11.152) -- (7.999,11.094) -- (7.764,11.03) -- (7.53,10.961) -- (7.299,10.886) -- (7.068,10.806) -- (6.84,10.721) -- (6.614,10.63) -- (6.391,10.534);
\draw[line width=0.5pt] (9.678,11.383) -- (9.446,11.003) -- (9.206,10.63) -- (8.956,10.262) -- (8.698,9.9) -- (8.432,9.544) -- (8.157,9.194) -- (7.874,8.851) -- (7.583,8.515) -- (7.284,8.186) -- (6.977,7.863) -- (6.663,7.549) -- (6.342,7.241) -- (6.014,6.942) -- (5.679,6.65);
\draw[line width=0.5pt] (9.678,11.383) -- (9.618,11.043) -- (9.567,10.703) -- (9.523,10.361) -- (9.487,10.019) -- (9.46,9.675) -- (9.441,9.331) -- (9.429,8.987) -- (9.426,8.642) -- (9.431,8.297) -- (9.444,7.953) -- (9.465,7.609) -- (9.494,7.266) -- (9.531,6.924) -- (9.577,6.582);
\draw[line width=0.5pt] (6.391,10.534) -- (6.383,10.251) -- (6.368,9.968) -- (6.347,9.685) -- (6.319,9.403) -- (6.284,9.122) -- (6.243,8.842) -- (6.195,8.563) -- (6.141,8.284) -- (6.08,8.008) -- (6.012,7.732) -- (5.939,7.459) -- (5.858,7.187) -- (5.772,6.918) -- (5.679,6.65);
\draw[line width=0.5pt] (5.679,6.65) -- (5.954,6.603) -- (6.231,6.562) -- (6.509,6.527) -- (6.787,6.5) -- (7.066,6.478) -- (7.345,6.464) -- (7.625,6.455) -- (7.905,6.454) -- (8.185,6.459) -- (8.464,6.47) -- (8.743,6.489) -- (9.022,6.513) -- (9.3,6.545) -- (9.577,6.582);
\draw[line width=0.5pt] (5.679,6.65) -- (5.403,6.569) -- (5.126,6.494) -- (4.846,6.426) -- (4.565,6.365) -- (4.283,6.31) -- (3.999,6.261) -- (3.714,6.22) -- (3.429,6.185) -- (3.142,6.157) -- (2.856,6.135) -- (2.568,6.121) -- (2.281,6.113) -- (1.993,6.112) -- (1.706,6.117);
\draw[line width=0.5pt] (5.679,6.65) -- (6.014,6.293) -- (6.358,5.945) -- (6.711,5.604) -- (7.071,5.272) -- (7.439,4.948) -- (7.814,4.633) -- (8.197,4.327) -- (8.587,4.03) -- (8.984,3.742) -- (9.387,3.463) -- (9.797,3.195) -- (10.213,2.936) -- (10.635,2.687) -- (11.062,2.448);
\draw[line width=0.5pt] (5.679,6.65) -- (5.425,6.229) -- (5.162,5.813) -- (4.888,5.404) -- (4.605,5.002) -- (4.312,4.606) -- (4.01,4.217) -- (3.7,3.835) -- (3.38,3.461) -- (3.051,3.094) -- (2.714,2.735) -- (2.369,2.384) -- (2.016,2.042) -- (1.655,1.708) -- (1.286,1.383);
\draw[line width=0.5pt] (1.706,6.117) -- (1.624,5.786) -- (1.551,5.454) -- (1.485,5.119) -- (1.427,4.783) -- (1.377,4.445) -- (1.335,4.107) -- (1.3,3.767) -- (1.274,3.427) -- (1.256,3.086) -- (1.246,2.745) -- (1.244,2.404) -- (1.25,2.063) -- (1.264,1.723) -- (1.286,1.383);
\draw[line width=0.5pt] (11.062,2.448) -- (10.649,2.38) -- (10.233,2.322) -- (9.817,2.274) -- (9.399,2.236) -- (8.981,2.207) -- (8.561,2.189) -- (8.142,2.18) -- (7.722,2.181) -- (7.303,2.192) -- (6.884,2.213) -- (6.465,2.244) -- (6.048,2.284) -- (5.632,2.335) -- (5.217,2.395) -- (4.927,2.366) -- (4.638,2.331) -- (4.35,2.288) -- (4.063,2.239) -- (3.777,2.183) -- (3.493,2.12) -- (3.21,2.051) -- (2.928,1.975) -- (2.649,1.892) -- (2.371,1.803) -- (2.096,1.708) -- (1.823,1.606) -- (1.553,1.497) -- (1.286,1.383);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.838,11.383) -- (9.816,11.463) -- (9.758,11.521) -- (9.678,11.543) -- (9.598,11.521) -- (9.539,11.463) -- (9.518,11.383) -- (9.539,11.303) -- (9.598,11.244) -- (9.678,11.223) -- (9.758,11.244) -- (9.816,11.303) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.551,10.534) -- (6.529,10.614) -- (6.471,10.672) -- (6.391,10.694) -- (6.311,10.672) -- (6.252,10.614) -- (6.231,10.534) -- (6.252,10.454) -- (6.311,10.395) -- (6.391,10.374) -- (6.471,10.395) -- (6.529,10.454) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.839,6.65) -- (5.817,6.73) -- (5.759,6.789) -- (5.679,6.81) -- (5.599,6.789) -- (5.54,6.73) -- (5.519,6.65) -- (5.54,6.57) -- (5.599,6.512) -- (5.679,6.49) -- (5.759,6.512) -- (5.817,6.57) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.737,6.582) -- (9.715,6.662) -- (9.657,6.721) -- (9.577,6.742) -- (9.497,6.721) -- (9.438,6.662) -- (9.417,6.582) -- (9.438,6.502) -- (9.497,6.444) -- (9.577,6.422) -- (9.657,6.444) -- (9.715,6.502) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.866,6.117) -- (1.845,6.197) -- (1.786,6.256) -- (1.706,6.277) -- (1.626,6.256) -- (1.567,6.197) -- (1.546,6.117) -- (1.567,6.037) -- (1.626,5.979) -- (1.706,5.957) -- (1.786,5.979) -- (1.845,6.037) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.222,2.448) -- (11.201,2.528) -- (11.142,2.586) -- (11.062,2.608) -- (10.982,2.586) -- (10.924,2.528) -- (10.902,2.448) -- (10.924,2.368) -- (10.982,2.309) -- (11.062,2.288) -- (11.142,2.309) -- (11.201,2.368) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.446,1.383) -- (1.424,1.463) -- (1.366,1.521) -- (1.286,1.543) -- (1.206,1.521) -- (1.147,1.463) -- (1.126,1.383) -- (1.147,1.303) -- (1.206,1.244) -- (1.286,1.223) -- (1.366,1.244) -- (1.424,1.303) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.419,10.784) -- (8.374,10.954) -- (8.249,11.078) -- (8.079,11.124) -- (7.909,11.078) -- (7.785,10.954) -- (7.739,10.784) -- (7.785,10.614) -- (7.909,10.489) -- (8.079,10.444) -- (8.249,10.489) -- (8.374,10.614) -- cycle;
\node at (8.079,10.784) {\scalebox{1.561}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.458,8.645) -- (8.412,8.815) -- (8.288,8.939) -- (8.118,8.985) -- (7.948,8.939) -- (7.824,8.815) -- (7.778,8.645) -- (7.824,8.475) -- (7.948,8.35) -- (8.118,8.305) -- (8.288,8.35) -- (8.412,8.475) -- cycle;
\node at (8.118,8.645) {\scalebox{1.561}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.089,8.98) -- (10.044,9.15) -- (9.919,9.274) -- (9.749,9.32) -- (9.579,9.274) -- (9.455,9.15) -- (9.409,8.98) -- (9.455,8.81) -- (9.579,8.685) -- (9.749,8.64) -- (9.919,8.685) -- (10.044,8.81) -- cycle;
\node at (9.749,8.98) {\scalebox{1.561}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.85,8.505) -- (6.804,8.675) -- (6.68,8.799) -- (6.51,8.845) -- (6.34,8.799) -- (6.215,8.675) -- (6.17,8.505) -- (6.215,8.335) -- (6.34,8.21) -- (6.51,8.165) -- (6.68,8.21) -- (6.804,8.335) -- cycle;
\node at (6.51,8.505) {\scalebox{1.561}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.971,6.775) -- (7.925,6.945) -- (7.801,7.07) -- (7.631,7.115) -- (7.461,7.07) -- (7.336,6.945) -- (7.291,6.775) -- (7.336,6.605) -- (7.461,6.481) -- (7.631,6.435) -- (7.801,6.481) -- (7.925,6.605) -- cycle;
\node at (7.631,6.775) {\scalebox{1.561}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.097,5.903) -- (4.051,6.073) -- (3.927,6.197) -- (3.757,6.243) -- (3.587,6.197) -- (3.463,6.073) -- (3.417,5.903) -- (3.463,5.733) -- (3.587,5.608) -- (3.757,5.563) -- (3.927,5.608) -- (4.051,5.733) -- cycle;
\node at (3.757,5.903) {\scalebox{1.561}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.734,4.579) -- (8.689,4.749) -- (8.564,4.874) -- (8.394,4.919) -- (8.224,4.874) -- (8.1,4.749) -- (8.054,4.579) -- (8.1,4.409) -- (8.224,4.285) -- (8.394,4.239) -- (8.564,4.285) -- (8.689,4.409) -- cycle;
\node at (8.394,4.579) {\scalebox{1.561}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.285,3.63) -- (4.24,3.8) -- (4.115,3.925) -- (3.945,3.97) -- (3.775,3.925) -- (3.651,3.8) -- (3.605,3.63) -- (3.651,3.46) -- (3.775,3.336) -- (3.945,3.29) -- (4.115,3.336) -- (4.24,3.46) -- cycle;
\node at (3.945,3.63) {\scalebox{1.561}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.959,3.739) -- (1.914,3.909) -- (1.789,4.033) -- (1.619,4.079) -- (1.449,4.033) -- (1.325,3.909) -- (1.279,3.739) -- (1.325,3.569) -- (1.449,3.445) -- (1.619,3.399) -- (1.789,3.445) -- (1.914,3.569) -- cycle;
\node at (1.619,3.739) {\scalebox{1.561}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.543,2.075) -- (5.497,2.245) -- (5.373,2.37) -- (5.203,2.415) -- (5.033,2.37) -- (4.908,2.245) -- (4.863,2.075) -- (4.908,1.905) -- (5.033,1.781) -- (5.203,1.735) -- (5.373,1.781) -- (5.497,1.905) -- cycle;
\node at (5.203,2.075) {\scalebox{1.561}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.378,11.083) -- (9.978,11.083) -- (9.978,11.683) -- (9.378,11.683) -- cycle;
\node at (9.678,11.383) {\scalebox{1.561}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,2.861) -- (1.2,2.861) -- (1.2,3.461) -- (0.6,3.461) -- cycle;
\node at (0.9,3.161) {\scalebox{1.561}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.136,2.323) -- (3.736,2.323) -- (3.736,2.923) -- (3.136,2.923) -- cycle;
\node at (3.436,2.623) {\scalebox{1.561}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.994,8.196) -- (8.594,8.196) -- (8.594,8.796) -- (7.994,8.796) -- cycle;
\node at (8.294,8.496) {\scalebox{1.561}{\small d}};
\node at (10.015,11.903) {\scalebox{1.561}{\small A}};
\node at (6.377,11.154) {\scalebox{1.561}{\small B}};
\node at (5.079,6.805) {\scalebox{1.561}{\small C}};
\node at (10.196,6.61) {\scalebox{1.561}{\small D}};
\node at (1.087,6.075) {\scalebox{1.561}{\small E}};
\node at (11.53,2.04) {\scalebox{1.561}{\small F}};
\node at (0.841,0.95) {\scalebox{1.561}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.362,10.433) -- (12.362,11.533);
\draw[line width=0.5pt] (12.131,11.148) -- (12.362,11.533) -- (12.593,11.148);
\draw[line width=0.5pt] (12.06,10.983) -- (12.665,10.983);
\node at (12.362,11.918) {\scalebox{1.561}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 6 & 2 & 2 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{A}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{G}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{A}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en G}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour de la Mairie \textbf{(A)}, prend la \textbf{rue du Stade ①} vers l'ouest et atteint Place des Tanneurs \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ④}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Puits ②}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue de la Poste ③}, vers le sud, jusqu'à Place du Marché \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ⑤}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑨}, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑩}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{G} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
