\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 10}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=10}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0010}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7017, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.891,8.336) -- (5.052,8.244) -- (5.216,8.154) -- (5.381,8.069) -- (5.548,7.988) -- (5.717,7.911) -- (5.888,7.837) -- (6.061,7.768) -- (6.235,7.703) -- (6.411,7.642) -- (6.588,7.585) -- (6.767,7.532) -- (6.946,7.483) -- (7.127,7.439) -- (7.308,7.399);
\draw[line width=0.5pt] (4.891,8.336) -- (4.903,8.094) -- (4.909,7.851) -- (4.91,7.608) -- (4.905,7.365) -- (4.894,7.122) -- (4.877,6.879) -- (4.854,6.637) -- (4.826,6.395) -- (4.793,6.154) -- (4.753,5.915) -- (4.708,5.676) -- (4.658,5.438) -- (4.601,5.201) -- (4.539,4.966);
\draw[line width=0.5pt] (1.337,7.606) -- (1.334,7.421) -- (1.335,7.235) -- (1.341,7.05) -- (1.351,6.864) -- (1.366,6.679) -- (1.385,6.494) -- (1.408,6.31) -- (1.435,6.127) -- (1.467,5.944) -- (1.503,5.761) -- (1.543,5.58) -- (1.588,5.4) -- (1.637,5.221) -- (1.69,5.043);
\draw[line width=0.5pt] (1.337,7.606) -- (1.593,7.454) -- (1.845,7.296) -- (2.093,7.132) -- (2.338,6.962) -- (2.579,6.787) -- (2.815,6.605) -- (3.047,6.419) -- (3.275,6.226) -- (3.498,6.029) -- (3.716,5.826) -- (3.93,5.619) -- (4.138,5.406) -- (4.341,5.189) -- (4.539,4.966);
\draw[line width=0.5pt] (7.308,7.399) -- (7.085,7.257) -- (6.866,7.109) -- (6.65,6.957) -- (6.438,6.799) -- (6.229,6.637) -- (6.024,6.469) -- (5.823,6.297) -- (5.627,6.12) -- (5.434,5.938) -- (5.246,5.753) -- (5.063,5.562) -- (4.883,5.368) -- (4.709,5.169) -- (4.539,4.966);
\draw[line width=0.5pt] (11.337,5.047) -- (11.114,4.975) -- (10.888,4.909) -- (10.662,4.848) -- (10.434,4.793) -- (10.204,4.743) -- (9.974,4.698) -- (9.742,4.659) -- (9.51,4.625) -- (9.277,4.596) -- (9.043,4.573) -- (8.809,4.556) -- (8.575,4.544) -- (8.34,4.538) -- (8.106,4.537) -- (7.858,4.607) -- (7.608,4.67) -- (7.357,4.728) -- (7.104,4.779) -- (6.851,4.825) -- (6.596,4.865) -- (6.34,4.899) -- (6.084,4.927) -- (5.827,4.949) -- (5.57,4.964) -- (5.312,4.974) -- (5.054,4.978) -- (4.797,4.975) -- (4.539,4.966);
\draw[line width=0.5pt] (11.337,5.047) -- (11.234,4.796) -- (11.137,4.544) -- (11.045,4.289) -- (10.96,4.032) -- (10.881,3.772) -- (10.808,3.512) -- (10.741,3.249) -- (10.68,2.985) -- (10.626,2.719) -- (10.578,2.453) -- (10.536,2.185) -- (10.5,1.917) -- (10.471,1.648) -- (10.448,1.378);
\draw[line width=0.5pt] (1.69,5.043) -- (1.893,5.069) -- (2.096,5.09) -- (2.3,5.106) -- (2.504,5.117) -- (2.709,5.124) -- (2.913,5.125) -- (3.118,5.122) -- (3.322,5.114) -- (3.527,5.102) -- (3.73,5.084) -- (3.934,5.062) -- (4.136,5.035) -- (4.338,5.003) -- (4.539,4.966);
\draw[line width=0.5pt] (4.539,4.966) -- (4.721,4.733) -- (4.908,4.503) -- (5.1,4.278) -- (5.298,4.058) -- (5.5,3.842) -- (5.708,3.631) -- (5.921,3.425) -- (6.138,3.224) -- (6.361,3.028) -- (6.587,2.838) -- (6.818,2.652) -- (7.054,2.473) -- (7.293,2.299) -- (7.536,2.131) -- (7.751,2.109) -- (7.965,2.083) -- (8.178,2.051) -- (8.391,2.014) -- (8.603,1.973) -- (8.814,1.926) -- (9.023,1.874) -- (9.232,1.818) -- (9.439,1.757) -- (9.644,1.69) -- (9.848,1.619) -- (10.05,1.544) -- (10.25,1.463) -- (10.448,1.378);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.051,8.336) -- (5.03,8.416) -- (4.971,8.475) -- (4.891,8.496) -- (4.811,8.475) -- (4.753,8.416) -- (4.731,8.336) -- (4.753,8.256) -- (4.811,8.198) -- (4.891,8.176) -- (4.971,8.198) -- (5.03,8.256) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.497,7.606) -- (1.476,7.686) -- (1.417,7.745) -- (1.337,7.766) -- (1.257,7.745) -- (1.198,7.686) -- (1.177,7.606) -- (1.198,7.526) -- (1.257,7.468) -- (1.337,7.446) -- (1.417,7.468) -- (1.476,7.526) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.468,7.399) -- (7.447,7.479) -- (7.388,7.537) -- (7.308,7.559) -- (7.228,7.537) -- (7.17,7.479) -- (7.148,7.399) -- (7.17,7.319) -- (7.228,7.26) -- (7.308,7.239) -- (7.388,7.26) -- (7.447,7.319) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.497,5.047) -- (11.476,5.127) -- (11.417,5.185) -- (11.337,5.207) -- (11.257,5.185) -- (11.198,5.127) -- (11.177,5.047) -- (11.198,4.967) -- (11.257,4.908) -- (11.337,4.887) -- (11.417,4.908) -- (11.476,4.967) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.85,5.043) -- (1.829,5.123) -- (1.77,5.182) -- (1.69,5.203) -- (1.61,5.182) -- (1.551,5.123) -- (1.53,5.043) -- (1.551,4.963) -- (1.61,4.905) -- (1.69,4.883) -- (1.77,4.905) -- (1.829,4.963) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.699,4.966) -- (4.678,5.046) -- (4.619,5.105) -- (4.539,5.126) -- (4.459,5.105) -- (4.401,5.046) -- (4.379,4.966) -- (4.401,4.886) -- (4.459,4.828) -- (4.539,4.806) -- (4.619,4.828) -- (4.678,4.886) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.608,1.378) -- (10.587,1.458) -- (10.528,1.517) -- (10.448,1.538) -- (10.368,1.517) -- (10.309,1.458) -- (10.288,1.378) -- (10.309,1.298) -- (10.368,1.239) -- (10.448,1.218) -- (10.528,1.239) -- (10.587,1.298) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.517,8.066) -- (6.471,8.236) -- (6.347,8.361) -- (6.177,8.406) -- (6.007,8.361) -- (5.882,8.236) -- (5.837,8.066) -- (5.882,7.896) -- (6.007,7.772) -- (6.177,7.726) -- (6.347,7.772) -- (6.471,7.896) -- cycle;
\node at (6.177,8.066) {\scalebox{1.425}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.513,6.604) -- (5.467,6.774) -- (5.343,6.898) -- (5.173,6.944) -- (5.003,6.898) -- (4.878,6.774) -- (4.833,6.604) -- (4.878,6.434) -- (5.003,6.309) -- (5.173,6.264) -- (5.343,6.309) -- (5.467,6.434) -- cycle;
\node at (5.173,6.604) {\scalebox{1.425}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.065,6.354) -- (2.019,6.524) -- (1.895,6.648) -- (1.725,6.694) -- (1.555,6.648) -- (1.43,6.524) -- (1.385,6.354) -- (1.43,6.184) -- (1.555,6.059) -- (1.725,6.014) -- (1.895,6.059) -- (2.019,6.184) -- cycle;
\node at (1.725,6.354) {\scalebox{1.425}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.591,6.665) -- (3.545,6.835) -- (3.421,6.96) -- (3.251,7.005) -- (3.081,6.96) -- (2.956,6.835) -- (2.911,6.665) -- (2.956,6.495) -- (3.081,6.371) -- (3.251,6.325) -- (3.421,6.371) -- (3.545,6.495) -- cycle;
\node at (3.251,6.665) {\scalebox{1.425}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.375,6.056) -- (6.329,6.226) -- (6.205,6.351) -- (6.035,6.396) -- (5.865,6.351) -- (5.74,6.226) -- (5.695,6.056) -- (5.74,5.886) -- (5.865,5.762) -- (6.035,5.716) -- (6.205,5.762) -- (6.329,5.886) -- cycle;
\node at (6.035,6.056) {\scalebox{1.425}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.4,4.22) -- (8.355,4.39) -- (8.23,4.515) -- (8.06,4.56) -- (7.89,4.515) -- (7.766,4.39) -- (7.72,4.22) -- (7.766,4.05) -- (7.89,3.926) -- (8.06,3.88) -- (8.23,3.926) -- (8.355,4.05) -- cycle;
\node at (8.06,4.22) {\scalebox{1.425}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.392,3.174) -- (11.347,3.344) -- (11.222,3.468) -- (11.052,3.514) -- (10.882,3.468) -- (10.758,3.344) -- (10.712,3.174) -- (10.758,3.004) -- (10.882,2.879) -- (11.052,2.834) -- (11.222,2.879) -- (11.347,3.004) -- cycle;
\node at (11.052,3.174) {\scalebox{1.425}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.467,5.442) -- (3.421,5.612) -- (3.297,5.737) -- (3.127,5.782) -- (2.957,5.737) -- (2.832,5.612) -- (2.787,5.442) -- (2.832,5.272) -- (2.957,5.148) -- (3.127,5.102) -- (3.297,5.148) -- (3.421,5.272) -- cycle;
\node at (3.127,5.442) {\scalebox{1.425}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.999,2.426) -- (7.953,2.596) -- (7.829,2.721) -- (7.659,2.766) -- (7.489,2.721) -- (7.364,2.596) -- (7.319,2.426) -- (7.364,2.256) -- (7.489,2.132) -- (7.659,2.086) -- (7.829,2.132) -- (7.953,2.256) -- cycle;
\node at (7.659,2.426) {\scalebox{1.425}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.239,4.666) -- (4.839,4.666) -- (4.839,5.266) -- (4.239,5.266) -- cycle;
\node at (4.539,4.966) {\scalebox{1.425}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (2.833,5.372) -- (3.433,5.372) -- (3.433,5.972) -- (2.833,5.972) -- cycle;
\node at (3.133,5.672) {\scalebox{1.425}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.539,7.225) -- (5.139,7.225) -- (5.139,7.825) -- (4.539,7.825) -- cycle;
\node at (4.839,7.525) {\scalebox{1.425}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.096,9.072) -- (6.696,9.072) -- (6.696,9.672) -- (6.096,9.672) -- cycle;
\node at (6.396,9.372) {\scalebox{1.425}{\small d}};
\node at (4.664,8.913) {\scalebox{1.425}{\small A}};
\node at (0.765,7.846) {\scalebox{1.425}{\small B}};
\node at (7.695,7.883) {\scalebox{1.425}{\small C}};
\node at (11.953,4.974) {\scalebox{1.425}{\small D}};
\node at (1.077,4.951) {\scalebox{1.425}{\small E}};
\node at (3.988,4.684) {\scalebox{1.425}{\small F}};
\node at (10.897,0.95) {\scalebox{1.425}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.637,7.386) -- (12.637,8.486);
\draw[line width=0.5pt] (12.406,8.101) -- (12.637,8.486) -- (12.868,8.101);
\draw[line width=0.5pt] (12.334,7.936) -- (12.939,7.936);
\node at (12.637,8.871) {\scalebox{1.425}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin des Vignes & ⑥ sentier des Prés & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Haute & ⑦ allée des Tilleuls & Ⓑ Place de l'Église & \textbf{b} l'école \\ \hline
③ chemin Creux & ⑧ chemin de Ronde & Ⓒ Place Sainte-Croix & \textbf{c} la pharmacie \\ \hline
④ quai aux Fleurs & ⑨ passage du Marché & Ⓓ Place de la Fontaine & \textbf{d} la bibliothèque \\ \hline
⑤ rue de l'Église &  & Ⓔ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6278, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.891,8.336) -- (5.052,8.244) -- (5.216,8.154) -- (5.381,8.069) -- (5.548,7.988) -- (5.717,7.911) -- (5.888,7.837) -- (6.061,7.768) -- (6.235,7.703) -- (6.411,7.642) -- (6.588,7.585) -- (6.767,7.532) -- (6.946,7.483) -- (7.127,7.439) -- (7.308,7.399);
\draw[line width=0.5pt] (4.891,8.336) -- (4.903,8.094) -- (4.909,7.851) -- (4.91,7.608) -- (4.905,7.365) -- (4.894,7.122) -- (4.877,6.879) -- (4.854,6.637) -- (4.826,6.395) -- (4.793,6.154) -- (4.753,5.915) -- (4.708,5.676) -- (4.658,5.438) -- (4.601,5.201) -- (4.539,4.966);
\draw[line width=0.5pt] (1.337,7.606) -- (1.334,7.421) -- (1.335,7.235) -- (1.341,7.05) -- (1.351,6.864) -- (1.366,6.679) -- (1.385,6.494) -- (1.408,6.31) -- (1.435,6.127) -- (1.467,5.944) -- (1.503,5.761) -- (1.543,5.58) -- (1.588,5.4) -- (1.637,5.221) -- (1.69,5.043);
\draw[line width=0.5pt] (1.337,7.606) -- (1.593,7.454) -- (1.845,7.296) -- (2.093,7.132) -- (2.338,6.962) -- (2.579,6.787) -- (2.815,6.605) -- (3.047,6.419) -- (3.275,6.226) -- (3.498,6.029) -- (3.716,5.826) -- (3.93,5.619) -- (4.138,5.406) -- (4.341,5.189) -- (4.539,4.966);
\draw[line width=0.5pt] (7.308,7.399) -- (7.085,7.257) -- (6.866,7.109) -- (6.65,6.957) -- (6.438,6.799) -- (6.229,6.637) -- (6.024,6.469) -- (5.823,6.297) -- (5.627,6.12) -- (5.434,5.938) -- (5.246,5.753) -- (5.063,5.562) -- (4.883,5.368) -- (4.709,5.169) -- (4.539,4.966);
\draw[line width=0.5pt] (11.337,5.047) -- (11.114,4.975) -- (10.888,4.909) -- (10.662,4.848) -- (10.434,4.793) -- (10.204,4.743) -- (9.974,4.698) -- (9.742,4.659) -- (9.51,4.625) -- (9.277,4.596) -- (9.043,4.573) -- (8.809,4.556) -- (8.575,4.544) -- (8.34,4.538) -- (8.106,4.537) -- (7.858,4.607) -- (7.608,4.67) -- (7.357,4.728) -- (7.104,4.779) -- (6.851,4.825) -- (6.596,4.865) -- (6.34,4.899) -- (6.084,4.927) -- (5.827,4.949) -- (5.57,4.964) -- (5.312,4.974) -- (5.054,4.978) -- (4.797,4.975) -- (4.539,4.966);
\draw[line width=0.5pt] (11.337,5.047) -- (11.234,4.796) -- (11.137,4.544) -- (11.045,4.289) -- (10.96,4.032) -- (10.881,3.772) -- (10.808,3.512) -- (10.741,3.249) -- (10.68,2.985) -- (10.626,2.719) -- (10.578,2.453) -- (10.536,2.185) -- (10.5,1.917) -- (10.471,1.648) -- (10.448,1.378);
\draw[line width=0.5pt] (1.69,5.043) -- (1.893,5.069) -- (2.096,5.09) -- (2.3,5.106) -- (2.504,5.117) -- (2.709,5.124) -- (2.913,5.125) -- (3.118,5.122) -- (3.322,5.114) -- (3.527,5.102) -- (3.73,5.084) -- (3.934,5.062) -- (4.136,5.035) -- (4.338,5.003) -- (4.539,4.966);
\draw[line width=0.5pt] (4.539,4.966) -- (4.721,4.733) -- (4.908,4.503) -- (5.1,4.278) -- (5.298,4.058) -- (5.5,3.842) -- (5.708,3.631) -- (5.921,3.425) -- (6.138,3.224) -- (6.361,3.028) -- (6.587,2.838) -- (6.818,2.652) -- (7.054,2.473) -- (7.293,2.299) -- (7.536,2.131) -- (7.751,2.109) -- (7.965,2.083) -- (8.178,2.051) -- (8.391,2.014) -- (8.603,1.973) -- (8.814,1.926) -- (9.023,1.874) -- (9.232,1.818) -- (9.439,1.757) -- (9.644,1.69) -- (9.848,1.619) -- (10.05,1.544) -- (10.25,1.463) -- (10.448,1.378);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.051,8.336) -- (5.03,8.416) -- (4.971,8.475) -- (4.891,8.496) -- (4.811,8.475) -- (4.753,8.416) -- (4.731,8.336) -- (4.753,8.256) -- (4.811,8.198) -- (4.891,8.176) -- (4.971,8.198) -- (5.03,8.256) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.497,7.606) -- (1.476,7.686) -- (1.417,7.745) -- (1.337,7.766) -- (1.257,7.745) -- (1.198,7.686) -- (1.177,7.606) -- (1.198,7.526) -- (1.257,7.468) -- (1.337,7.446) -- (1.417,7.468) -- (1.476,7.526) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.468,7.399) -- (7.447,7.479) -- (7.388,7.537) -- (7.308,7.559) -- (7.228,7.537) -- (7.17,7.479) -- (7.148,7.399) -- (7.17,7.319) -- (7.228,7.26) -- (7.308,7.239) -- (7.388,7.26) -- (7.447,7.319) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.497,5.047) -- (11.476,5.127) -- (11.417,5.185) -- (11.337,5.207) -- (11.257,5.185) -- (11.198,5.127) -- (11.177,5.047) -- (11.198,4.967) -- (11.257,4.908) -- (11.337,4.887) -- (11.417,4.908) -- (11.476,4.967) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.85,5.043) -- (1.829,5.123) -- (1.77,5.182) -- (1.69,5.203) -- (1.61,5.182) -- (1.551,5.123) -- (1.53,5.043) -- (1.551,4.963) -- (1.61,4.905) -- (1.69,4.883) -- (1.77,4.905) -- (1.829,4.963) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.699,4.966) -- (4.678,5.046) -- (4.619,5.105) -- (4.539,5.126) -- (4.459,5.105) -- (4.401,5.046) -- (4.379,4.966) -- (4.401,4.886) -- (4.459,4.828) -- (4.539,4.806) -- (4.619,4.828) -- (4.678,4.886) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.608,1.378) -- (10.587,1.458) -- (10.528,1.517) -- (10.448,1.538) -- (10.368,1.517) -- (10.309,1.458) -- (10.288,1.378) -- (10.309,1.298) -- (10.368,1.239) -- (10.448,1.218) -- (10.528,1.239) -- (10.587,1.298) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.517,8.066) -- (6.471,8.236) -- (6.347,8.361) -- (6.177,8.406) -- (6.007,8.361) -- (5.882,8.236) -- (5.837,8.066) -- (5.882,7.896) -- (6.007,7.772) -- (6.177,7.726) -- (6.347,7.772) -- (6.471,7.896) -- cycle;
\node at (6.177,8.066) {\scalebox{1.593}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.513,6.604) -- (5.467,6.774) -- (5.343,6.898) -- (5.173,6.944) -- (5.003,6.898) -- (4.878,6.774) -- (4.833,6.604) -- (4.878,6.434) -- (5.003,6.309) -- (5.173,6.264) -- (5.343,6.309) -- (5.467,6.434) -- cycle;
\node at (5.173,6.604) {\scalebox{1.593}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.065,6.354) -- (2.019,6.524) -- (1.895,6.648) -- (1.725,6.694) -- (1.555,6.648) -- (1.43,6.524) -- (1.385,6.354) -- (1.43,6.184) -- (1.555,6.059) -- (1.725,6.014) -- (1.895,6.059) -- (2.019,6.184) -- cycle;
\node at (1.725,6.354) {\scalebox{1.593}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.591,6.665) -- (3.545,6.835) -- (3.421,6.96) -- (3.251,7.005) -- (3.081,6.96) -- (2.956,6.835) -- (2.911,6.665) -- (2.956,6.495) -- (3.081,6.371) -- (3.251,6.325) -- (3.421,6.371) -- (3.545,6.495) -- cycle;
\node at (3.251,6.665) {\scalebox{1.593}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.375,6.056) -- (6.329,6.226) -- (6.205,6.351) -- (6.035,6.396) -- (5.865,6.351) -- (5.74,6.226) -- (5.695,6.056) -- (5.74,5.886) -- (5.865,5.762) -- (6.035,5.716) -- (6.205,5.762) -- (6.329,5.886) -- cycle;
\node at (6.035,6.056) {\scalebox{1.593}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.4,4.22) -- (8.355,4.39) -- (8.23,4.515) -- (8.06,4.56) -- (7.89,4.515) -- (7.766,4.39) -- (7.72,4.22) -- (7.766,4.05) -- (7.89,3.926) -- (8.06,3.88) -- (8.23,3.926) -- (8.355,4.05) -- cycle;
\node at (8.06,4.22) {\scalebox{1.593}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.392,3.174) -- (11.347,3.344) -- (11.222,3.468) -- (11.052,3.514) -- (10.882,3.468) -- (10.758,3.344) -- (10.712,3.174) -- (10.758,3.004) -- (10.882,2.879) -- (11.052,2.834) -- (11.222,2.879) -- (11.347,3.004) -- cycle;
\node at (11.052,3.174) {\scalebox{1.593}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.467,5.442) -- (3.421,5.612) -- (3.297,5.737) -- (3.127,5.782) -- (2.957,5.737) -- (2.832,5.612) -- (2.787,5.442) -- (2.832,5.272) -- (2.957,5.148) -- (3.127,5.102) -- (3.297,5.148) -- (3.421,5.272) -- cycle;
\node at (3.127,5.442) {\scalebox{1.593}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.999,2.426) -- (7.953,2.596) -- (7.829,2.721) -- (7.659,2.766) -- (7.489,2.721) -- (7.364,2.596) -- (7.319,2.426) -- (7.364,2.256) -- (7.489,2.132) -- (7.659,2.086) -- (7.829,2.132) -- (7.953,2.256) -- cycle;
\node at (7.659,2.426) {\scalebox{1.593}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.239,4.666) -- (4.839,4.666) -- (4.839,5.266) -- (4.239,5.266) -- cycle;
\node at (4.539,4.966) {\scalebox{1.593}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (2.833,5.372) -- (3.433,5.372) -- (3.433,5.972) -- (2.833,5.972) -- cycle;
\node at (3.133,5.672) {\scalebox{1.593}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.539,7.225) -- (5.139,7.225) -- (5.139,7.825) -- (4.539,7.825) -- cycle;
\node at (4.839,7.525) {\scalebox{1.593}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.096,9.072) -- (6.696,9.072) -- (6.696,9.672) -- (6.096,9.672) -- cycle;
\node at (6.396,9.372) {\scalebox{1.593}{\small d}};
\node at (4.664,8.913) {\scalebox{1.593}{\small A}};
\node at (0.765,7.846) {\scalebox{1.593}{\small B}};
\node at (7.695,7.883) {\scalebox{1.593}{\small C}};
\node at (11.953,4.974) {\scalebox{1.593}{\small D}};
\node at (1.077,4.951) {\scalebox{1.593}{\small E}};
\node at (3.988,4.684) {\scalebox{1.593}{\small F}};
\node at (10.897,0.95) {\scalebox{1.593}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.637,7.386) -- (12.637,8.486);
\draw[line width=0.5pt] (12.406,8.101) -- (12.637,8.486) -- (12.868,8.101);
\draw[line width=0.5pt] (12.334,7.936) -- (12.939,7.936);
\node at (12.637,8.871) {\scalebox{1.593}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 6 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point des Vaches \textbf{(F)}, prend la \textbf{rue Haute ②} vers le nord et atteint Coin du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ①}, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑤}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ③}, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑧}, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{sentier des Prés ⑥}, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ⑨}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
